Методическая разработка урока по теме " Решение тригонометрических уравнений " ( Тригонометрия 10, 11 класс)

Алгебра и начала математического 10 112 Урок №______       ___________________________ _________класс                          2019г. Тема: Решение тригонометрических уравнений                                                        (Урок обобщения и систематизации знаний) Планируемые результаты: Предметные.  Выработать    у    учащихся  умения   и  навыки   определения  типа   и  выбора алгоритма решения тригонометрических уравнений. Личностные:  Воспитывать у учащихся целеустремлённость и наблюдательность. Метапредметные:  понимание   сущности   алгоритмических   предписаний   и   умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом. Оборудование:  Учебник  Алгебра   и   начала   математического   анализа,   геометрия. Алгебра и начала   математического анализа 11 класс: учебник для общеобразовательных организаций.   Базовый   и   углублённый   уровни   /   [С.М.   Никольский,   М.К.   Потапов,   Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин], Москва  «Просвещение», 2014. – 464с.: ил.­ (МГУ – школе). Программа соответствует учебному плану МБОУ 1. Сообщение   темы,   цели,   задач   урока   и   мотивация   учебной   деятельности Ход урока. школьников. Тема: Решение тригонометрических уравнений 2.      Воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся. Повторить формулы :  Синус , косинус суммы и разности двух аргументов Сумма и разность косинусов и синусов разных аргументов  Синус и косинус двойного угла . Повторить условия равенства произведения нулю и условие равенства дроби нулю . 3. Повторение и анализ основных фактов, событий, явлений. На прошедших уроках мы рассмотрели два типа тригонометрических примеров. Назовите  их. Мы также подчеркнули , что специального алгоритма решения тригонометрических  уравнений нет. Но общий принцип решения этих уравнений прост – свести к решению  простейших тригонометрических уравнений. 4. Повторение, обобщение и систематизация понятий, усвоение соответствующей  системы знаний, ведущих идей и основных теорий. Типы уравнений: 1. Уравнения, решаемые приведением к одной тригонометрической функции  одинакового аргумента  Уравнения, решаемые разложением на множители.  Дробно – рациональные уравнения. 2. 3. 4. Уравнения, содержащие произведение тригонометрических функций. 5. Уравнения, содержащие сумму тригонометрических функций. 6. Уравнения , решаемые понижением степени . Теоретический материал по каждому типу уравнений. 1 Уравнения, решаемые приведением к одной тригонометрической функции  одинакового аргумента.    Например: Решите уравнение             tg x  + 3 ctg x = 4 tg x  + 3 ctg x = 4 ,     учитывая , что     ctg x =      и сделав соответствующую замену,  Решение. 1 xtg   = 4   ( получили уравнение,  приведённое к одной  1 xtg получим       tg x  + 3  тригонометрической функции ) Пусть  tg x = t , тогда    t2 +  Имеем: 1) tg x = 3 ,      x = arctg 3 +  nπ  , n  Z   +  kπ  ,  k  Z              2)  tg x = 1,       x =  3 t  4  ­ 4 = 0,        t2 – 4t + 3 = 0,        t = 3     и      t = 1.  4   +  kπ  ,  k  Z Ответ:  x = arctg 3 +  nπ  , n  Z ;    x =      Таким образом, для приведения уравнения к одной тригонометрической функции необходимо найти соответствующую тригонометрическую формулу .   На прошлом уроке мы решали уравнение cos 2x + sin x = 0,  приведением её    к  квадратному        2sin2x – sin x – 1 = 0 и получили с одной тригонометрической функцией.  А однородные уравнения через какую функцию мы решаем ? –  Приведением к тангенсу того же  аргумента. 2) Рассмотрим наиболее часто встречающиеся тип уравнений – уравнения, решаемые  разложением на множители.  Причём при этом способе обязательно используется условие  равенства произведения нулю . Пример 1 : Решить уравнение 1 + cos 2x = 2 cos x                   Решение. 1 + cos 2x = 2 cos x , используя формулу тригонометрической единицы и косинуса  двойного угла получим :  cos2 x + sin2 x + cos2 x – sin2 x – 2 cos x = 0  ,                          можно было использовать формулу 2 cos2 x  = 1 + cos 2x    2 cos2 x – 2 cos x = 0     Вынесем общий множитель . 2 cos x ( cos x – 1 ) = 0  Из условия равенства произведения нулю следует :       cos x = 0                 и                cos x = 1  2  Z ;                Z ;                            x =  Ответ:  2 n  , n  x = 2 n  , n  +  k  , k  π  Z ; π π  Z ;        +  k  , k  π  2  Пример 2 : Решить уравнение sin 2x – sin x = 0                    Решение.  sin 2x – sin x = 0 ,         2 sin x ∙ cos x – sin x = 0 ,    (Вынесем общий множитель .)  sin x ( 2 cos x – 1 ) = 0    (Из условия равенства произведения нулю следует :) sin x  = 0                                       2 cos x – 1 = 0 x =    n  , n π  Z                               cos x =                                                 х =                                                .                      3  + k , k Z 1 2  3  + k , k Z .         Ответ :  nπ   , n Z ;          Таким образом , при решении уравнения методом разложения на множители  необходимо все компоненты    перенести в левую часть и найти такие тождественные тригонометрические преобразования , которые позволили бы найти  общие  множители .      3)Дробно – рациональные уравнения.   При решении уравнений данного типа используется условие равенства дроби нулю.     Дробь равна нулю , когда числитель равен нулю , а знаменатель отличен от нуля.  0    из условия равенства дроби нулю данное неравенство   1  1 cos сos 2 х x Например :     равносильно системе    1   1      x 0  0 cos cos 2 x     ;   cos cos 2 x  x 1  1       ;    x x    ; Znn ;    2 Zkk ; .                     Отметим   на единичной окружности точки числителя , исключим  точки знаменателя  и  получим : x =   + 2n , n  Z . Ответ:   + 2n , n  Z .   Обращаю ваше внимание , что мы рассматривали  уравнение,   в   котором левая  часть   ­   дробь , а правая  часть   ­  нуль. Если уравнение дробно – рациональное , но в правой части   Уравнения, содержащие произведение тригонометрических функций. Рассмотрим  решение уравнения    sin 5x ∙ sin 3x + sin 10x ∙ sin 2x = 0  Применяя формулу преобразования произведения синусов в сумму получим : 1 2 1 2 ( cos ( 10x – 2x ) – cos ( 10x + 2x )) = ( cos ( 5x – 3x ) – cos ( 5x + 3x ) )  +  ( cos 8x – cos 12x ) = 0        | ∙ 2 ( cos 2x – cos 8x )  +  1 2 1 2    cos 2x – cos 8x + cos 8x – cos 12x = 0, cos 2x – cos 12x = 0, 2 ­ 2sin x  2 12 x ∙ sin  2 x  12 2 x  = 0, ­ 2 sin 7x ∙ sin (­5x) = 0,   2 sin 7x ∙ sin 5x  = 0, Итак получили уже знакомое вам произведение равное нулю. Отсюда имеем два уравнения: π sin 5x  = 0  , 5x =  n ,  x =   Z ;       π n ,  n 1 5 1 k, k Z. 7 sin 7x  = 0 ,  7x =  k ,  x =  Ответ :  π n ,  n  Z ;  1 5 1 k, k Z. 7 Ребята , для чего мы производили преобразование произведений в сумму?  – для того , чтобы проверить не упростится ли левая часть . Упростилась . Но затем  упрощённую сумму преобразовываем в произведение . Зачем? – чтобы получить произведение равное нулю. Уравнения, содержащие сумму тригонометрических функций.   Рассмотрим  решение уравнения    sin x – sin 2x + sin 5x + sin 8x = 0 Имеем сумму тригонометрических функций разных аргументов . Задача –  преобразовать левую часть уравнения так, чтобы  можно было разложить на множители  и использовать условие равенства произведения нулю.    Произведём перестановку и группировку одночленов, используя формулы  преобразования суммы и разности синусов в произведение получим:  (sin x + sin 5x ) + ( sin 8x – sin 2x )  = 0, 2  sin 5 x ∙  cos x  2 x  2 2 sin 3x∙cos ( ­ 2x) + 2 sin 3x ∙ cos 5x = 0, 2 sin 3x∙ (cos 2x + cos 5x) = 0, 5 x   + 2  sin 8 x 2 x 8 x  cos 2 x  = 0,  2  2 2 x  cos 5 x  = 0,  2 4 sin 3x∙  cos 4 sin 3x ∙ cos  получим: 2 x 7x 2 x 5  2  ∙ cos  3x 2 sin 3x = 0 ,                          cos  7x 2  = 0                                cos  3x 2  = 0  = 0, используя условие равенства произведения нулю n 3  ,                        x2 =  x1 =   Z     первый и третий ответы объединяются в один ответ , но об этом подробнее в другой раз .  ,                            x3 =        n , k , l  7  2 k 7   3 2 l 3 Ответ :    n 3  ,      2 k 7  7     n , k  Z       Уравнения , решаемые понижением степени .  Рассмотрим  решение уравнения    cos2 x + cos2 2x  – cos2 3x  – cos2 4x = 0  Имеем сумму  квадратов  тригонометрических функций разных аргументов .  Задача – преобразовать левую часть уравнения так, чтобы  можно было разложить на  множители и использовать условие равенства произведения нулю. Для решения таких  примеров используются формулы понижения степени . cos2 x =  1  cos 2 x     ,     sin2 x =  1  Решение .  cos2 x + cos2 2x  – cos2 3x  – cos2 4x = 0, 1 cos cos    4 1 2 1 x x 2  +  2 2 2 x cos 2 1 + cos 2x + 1 + cos 4x – 1 – cos 6x – 1 – cos 8x = 0,  ­  cos 6 x  ­  2 1  8cos x 2  = 0   | ∙ 2    cos 2x  + cos 4x – cos 6x  – cos 8x = 0, Какое уравнение получили ?  –  получили уравнение , содержащее сумму тригонометрических функций .   (cos 2x  + cos 4x )  – ( cos 6x + cos 8x ) = 0,  после применения формулы  преобразования суммы косинусов в произведение получим: 2 cos x ( cos 3x – cos 7x ) = 0, 4 cos x ∙ sin 5x ∙ sin 2x = 0 , какое правило применяем ? cos x  = 0,                               sin 5x  = 0,                            sin 2x = 0  π n ,                            x2 =  2 x1 =   Третий ответ «поглощает» точки первого ответа. l 5  ,                              x3 =   Ответ :     , k , l  Z 5. Подведение итогов урока :  ,    k 2 l 5 k 2       n , k , l  Z     Какой общий принцип решения тригонометрических уравнений? – приведение к простейшим . Какой наиболее часто применяемое свойство при решения тригонометрических  уравнений? – свойство произведения равного нулю. 6. Сообщение домашнего задания:  Повторить.  Теоретический материал. Решить.    Вашему вниманию предлагается шесть примеров . По одному по  каждому из типов, в той же очерёдности как и на лекции.  Попробуйте решить  половину из них , продумайте этапы решения остальных .   Cформулируйте наиболее сложные, непонятные моменты. I. sin2 x  = 3 cos2 x II.         3 cos x = 2 sin x ∙ cos x III.          sin  x cos 3sin x x  = 0 IV.       cos x ∙ cos 4x  – cos 5x = 0 V.        cos 7x + sin 8x – cos 3x + sin 2x = 0 VI.      sin2 x  – sin2 3x = 0