МЕтодическая разработка урока "Решение задач на применение производной"

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ Цели занятия:   Обучающие: o Знание  –  студент знает определение критической (стационарной) точки,  признаки возрастания и убывания функции и признаки максимума и  минимума функции, алгоритмы нахождения промежутков монотонности и  точек экстремума функции. o Понимание  –  студент имеет представление о применение данной темы в  экономических процессах. o Применение   –  студент применяет изученный материал при  непосредственном нахождении промежутков монотонности и точек  экстремума функций.  Развивающие o Анализ  –  студент сравнивает ранее известную информацию с новой,  понимает необходимость изучения данной темы для дальнейшего роста как специалиста в области экономики и бизнеса. o Синтез  –  студент  умеет применять  знания в конкретной ситуации,  правильно формулировать задачи и излагать мысли.  Воспиттельные: o Оценка  –  студент выделяет ошибки в рассуждениях, научился отвергать  ненужную или неверную информацию, учится критически мыслить. Вид занятия: ознакомление с новым материалом. Метод: РКМЧП: лекция с остановками, прием «Корзина», прием «Кластер» Время: 80 мин. Оборудование: мультимедийный комплекс (компьютер, проектор). ХОД ЗАНЯТИЯ I. Организационная часть (1 мин)  Приветствие. Отметить отсутствующих. 1 II. Стадия вызова  (8 мин)  Прием «Корзина».  На доске в центре изображена корзина. Цель: Актуализация опыта и предыдущих знаний обучаемых. Преподаватель: О каких свойствах функции вам уже известно? В течение 1 мин  вспомните и запишите в тетради все, что помните и знаете.  Преподаватель: Теперь в течение 2 мин обменяйтесь информацией с товарищем. Преподаватель: Назовите  какое­то одно сведение от каждой пары,  не повторяясь.  Преподаватель записывает эти сведения в корзину. (Приложение 1) III. Стадия осмысления (63 мин)  –  прием лекция с остановками  Преподаватель: Какие из этих свойств вы не можете определять алгебраическим  способом?  Преподаватель: Правильно,  сегодня мы научимся находить возрастание и убывание,  максимум и минимум функции. Запишите тему нашего занятия. Сейчас вы прочитаете  первую часть лекции и запишите в тетради 1­я часть. Исследование  функции на возрастание и убывание (монотонность). Определение. Точка называется критической (стационарной), если она является  внутренней точкой области определения и производная в ней равна нулю или не  существует. Признаки возрастания и убывания функции: Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а;  в),   т.е.f'(x) > 0,  то функция в этом интервале возрастает.  Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в),  т.е.f'(x) < 0, то функция в этом интервале убывает. Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания Образец решения 2 1. Найти Д(f). 2. Найти f'(x). 3. Найти стационарные  точки, т.е. точки,  где  f'(x) = 0 или f'(x) не существует. (Производная равна 0 в нулях числителя,  производная не существует в нулях  знаменателя) 4. Расположить Д(f) и эти точки на  координатной прямой. 5. Определить знаки производной на     каждом из интервалов 6. Применить признаки. 7. Записать ответ. –  А теперь ответьте на вопросы. Вопросы к первой части: 1. Как найти область определения следующих функций? (Приложение 2) 2. Что можно сказать о функции, если отсутствуют критические точки? 3. Как найти стационарные точки, в которых производная не существует? 4. Как определять знаки производной на интервалах? – Сейчас вы прочитаете вторую часть лекции и запишите в тетради. 2­я часть. Исследование  функции  на экстремум с помощью  производной Признаки  максимума и минимума функции: Если при переходе через стационарную точку х0  производная f'(x)  данной функции  меняет знак с « – » на « + »,  то функция в этой точке х0 имеет минимум. Если при  переходе через стационарную точку х0  производная f'(x) данной функции меняет знак с  « + » на « – »,  то функция в этой точке х0 имеет максимум.  Алгоритм нахождения максимума и минимума функции. Образец решения 3 1. Найти Д(f). 2. Найти f'(x). 3. Найти стационарные  точки, т.е. точки, где   f'(x) = 0 или  f'(x) не существует. 4. Расположить Д(f) и эти точки на  координатной прямой. 5. Определить знаки производной на каждом из интервалов. 6. Применить признаки. 7. Найти уmax , уmin 8. Записать ответ. Вопросы ко второй части:  1. Что вы можете сказать о точках экстремума, если отсутствуют критические  точки? 2. Что вы можете сказать о функции, если все знаки на промежутках одного вида? 3. Как находить вторую координату точки экстремума? IV. Практическая часть Задание 1. Исследовать на возрастание и убывание  следующие функции: 1)  Решение. D(f): х =/= 0. > 0  при х =/= 0. Ответ: функция возрастает на (–   ; 0) и (0;  +  ). 2) f(x)  =  x3 – 27x 4 Решение. D(f): R. критические точки Ответ: функция возрастает на (–   ;  – 3] и [3;  +  ), убывает [ – 3; 3].  Задание 2. Исследовать на максимум и минимум следующие функцию. Решение. D(f): х =/= ± 2. Ответ: экстремумов нет. Преподаватель: У вас, наверное, возникает вопрос, какое отношение имеет данная  тема для будущей нашей профессии? Сегодня у вас в гостях студенты старшего курса.  Они расскажут, где применяется данная тема в экономике.  Старшекурсник: Дифференциальное исчисление  –  широко применяемый для  экономического анализа математический аппарат. Важный раздел методов  дифференциального исчисления, используемых в экономике  –  методы предельного  анализа, т. е. совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или  результатов при изменениях объемов производства, потребления и т. п. на основе  анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции  –  это  ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в  случае функции нескольких переменных). В экономике часто используются средние  величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход,  средняя прибыль и т. д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет  результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится  результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос  получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения  приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект.  5 Большое значение имеет такое понятие, как эластичность функции.  (Приложение 4) Эластичностью функции f(x) в точке x0 называют преде Спрос  –  это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность  спроса ED  – это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение  цены. Если |ED| > 1, то спрос называется эластичным, если |ED| < 1, то неэластичным. В  случае ED = 0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не  приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены  побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей,  говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей  эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию. Пример 1. Пусть цена единицы товара равна С усл.ед., количество единиц  реализованного товара равно V. Доход от реализации товара L = CV. Предельный  доход равен L '(V).  Функция спроса С = 8 – V. Тогда L = (8 – V)V = 8V – V ‘. При этом С > 0,V > 0, 0 < V < 8. Решение.  Спрос  эластичен при | Еc(V) | >1, т.е. | 1 – 8/V | >1  Решение данного неравенства V Є (0; 4), т.е. спрос эластичен при V Є (0; 4). На этом интервале L'(V) = (8V – V 2) ‘ = 8 – 2V >0, т.е.  доход предприятия растет  при снижении цены и продаже дополнительного товара. Спрос неэластичен при | 1 – 8/V | <1 при V Є (4; 8). На этом интервале L'(V) = (8V – V 2) ‘ = 8 – 2V < 0. Следовательно, в случае, когда спрос неэластичен, увеличение объема продажи товара  за счет снижения цены приводит к уменьшению дохода. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение  показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль,  максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение  оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции. 6 2. Максимизация прибыли.  (Приложение 5) Пусть L = L(V)  – функция дохода,  получаемое от реализации V единиц товара; С =  С(V) – функция затрат на производство V единиц товара; П = П(V)  – функция прибыли. Тогда очевидно П(V) =  L(V) –  С(V). Для нахождения максимальной прибыли: П'(V) =  L'(V) –  С'(V). П'(V) = 0 при L'(V) =  С'(V), т.е. предельный доход равен предельным издержкам.  Именно это утверждается в микроэкономике: «Чтобы максимизировать прибыль,  нужно, чтобы предельный доход равнялся предельным издержкам». Пример 2.  Пусть L(V) = 594V – V2 С(V) =  2V3 – 7V2 Решение.  П(V) =  594V – V2 – (2V3 – 7V2) = – 2V3 + 6V2 + 594V П'(V) = – 6V2 + 12V + 594 = – 6(V2 – 2V – 99) = – 6(V – 11)(V + 9) П'(V) = 0.V =  – 9,  V =  11 –  критические точки. Ответ: Пmax(11) = 5929  Максимизация дохода при дополнительном налогообложении предприятия.  (Приложение 6) Пусть: V  – количество единиц выпускаемой продукции; L(V)  – доход предприятия; C(V)  –  затраты предприятия; П(V)  =  L(V) – C(V)  –  прибыль предприятия. Принято решение: ввести дополнительный налог r на каждую  единицу продукции. Каким должен быть налог, чтобы доход R  =  rV1, полученный от  дополнительного налога, был максимальным? Здесь V1 количество единиц продукции,  выпускаемой после введения налога. Затраты предприятия после введения налога  С1  =  C(V) + rV. Прибыль предприятия после введения налога П(V)  =  L(V) –  С1(V)  =  L(V) – C(V) –  rV. Необходимое условие для максимума прибыли П'(V)  =  0. Следовательно, L'(V) – C'(V) –  r  =  0. 7 Отсюда находится V1, –  объем выпуска продукции после введения налога и R max =  rV1 Пример 3. Пусть: L(V) =   – 2V2 + 6V, С(V) =  V2 + 3V + 2.  Найдите величину дополнительного налога r, при котором доход от его введения  максимален. Решение. С1  =  C(V) + rV  –  затраты после введения налога.  Тогда прибыль П(V)  =  L(V) –  С1(V) =   – 2V2 + 6V –  V2 – 3V – 2 –  rV  =   – 3V2 + 3V  + 2 –  rV. П'(V) =  – 6V + 3 – r. Необходимое условие максимума прибыли П'(V)  =  0.  – 6V + 3 –  r  =  0. Отсюда объем выпускаемой продукции после введения налога  . Доход от введения дополнительного налога R  =  rV1  .  R' = 0 при   .  V. Стадия рефлексии (6 мин.)  Составить кластер данной темы. (Приложение 3)  VI. Задание на дом (1 мин.)  1. Исследовать на монотонность  функцию  f(x) = 2x2 – x. 2. Исследовать на экстремум  функцию  f(x)  = – x3 + 3x + 2. 3. Издержки производства некоторой продукции определяется функцией 5х2 + 80х,  где х  – число единиц произведенной за месяц продукции. Эта продукция  продается по цене 280 руб. за изделие. Сколько изделий нужно произвести и  продать, чтобы прибыль была максимальной. VII. Итоги занятия (1 мин.) 8