Методическая разработка урока "Тригонометрические неравенства"

КРАТКИЙ ПЛАН­КОНСПЕКТ УРОКА Предмет: математика Дата проведения: _____________ Тема занятия: Тригонометрические неравенства и их системы Цели урока: Образовательные: *Обобщить и систематизировать знания учащихся о видах   тригонометрических неравенств и их систем, способах их  решения. *Обогатить и углубить знания учащихся применением  тригонометрических неравенств и их систем в нестандартных  ситуациях. *Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её  применения для выполнения практических заданий стандартного  уровня с переходом на более высокий уровень. Развивательные: *Способствовать развитию умения анализировать, наблюдать и  делать выводы. Воспитательные: *Выработать самооценку в выборе пути, критерии оценки своей  работы и работы товарища. *Повысить интерес учащихся к нестандартным задачам,  сформировать у них положительный мотив учения. Тип занятия: формирование практических умений и навыков Форма занятия: урок­семинар 1 Деятельность учителя 1)      Организационный момент 2)      Основная часть Занятие посвящено обобщению и  систематизации знаний по теме «Решение  тригонометрических неравенств и их  систем». В ходе работы обобщим  основные виды тригонометрических  неравенств, систем неравенств и методы  их решения, а также дополним наши  знания применением тригонометрических неравенств в нестандартных ситуациях. I. Обобщение решения простейших тригонометрических  неравенств. 1. Актуализация знаний 1. Какие неравенства называются  простейшими? 2. Приведите примеры простейших  тригонометрических неравенств. 3. Чем можно пользоваться при решении  тригонометрических неравенств? Задание 1.  Необходимо напомнить алгоритм  решения тригонометрических  неравенств с помощью единичной  окружности на конкретном примере. Задание 2.  Необходимо напомнить алгоритм  Деятельность ученика ­неравенства вида sinx>(<)a;cosx>(<)a; tgx>(<)a;ctgx>(<)a. ­ sin x  1 2 ; cos x  ;0 ctgx   и др. 1 3 ­тригонометрическим кругом или графиком  тригонометрических функций. ­ ученик на примере неравенства  sin x   1 2 рассказывает алгоритм решения неравенств с  помощью единичной окружности, используя  2 решения тригонометрических  неравенств с помощью графика  функции на конкретном примере. презентацию. ­ ученик на примере неравенства  cos x   1 2 1. Выполнение практических заданий. Образцы карточек. Карточка 1.   №1. Запишите все решения,  соответствующие дуге, изображённой на  рисунке. а)                                                     б)    рассказывает алгоритм решения неравенств с  помощью графика функции, используя  презентацию. Ученики выполняют индивидуальную работу  по карточкам. После выполнения работы  самостоятельно себя оценивают, сравнивая  свои решения с правильными  решениями  (правильные решения вместе с критерием  оценки раздаются ученикам после выполнения работы или появляются на доске). Оценку  заносят в рабочую карту урока.  №2.Решите неравенство  sin x   с  1 2 помощью единичной окружности. 3 №3.  Решите неравенство    графически. Карточка2. №1. Запишите все решения,  соответствующие дуге, изображённой на  рисунке. а)                                                       б) №2.Решите неравенство  sin x   с  1 2 помощью единичной окружности. 4 №3.  Решите неравенство    ctgx 1 графически. II. Обобщение решения неравенств,  сводящихся к простейшим. Следующий тип неравенств, о которых  пойдёт речь ­ это неравенства, сводящиеся к простейшим разными способами.   1. Актуализация знаний 1. Какими способами можно привести  неравенство к простейшему виду?  Приведите примеры таких неравенств. Вспомним суть данного метода в ходе  выполнения задания. Задание. Решить неравенство а) С помощью замены переменной t=ax+b. Н­р; неравенства вида  sin    2 x   4    1 2 ; 3cos x  2 2 ;  и др. tg    x   3    2 Ученики записывают решение в тетрадь. Один ученик с места комментирует решение: 1. Учитывая, что y=cost – чётная функция,  запишем неравенство в виде    cos  4 x   3    4 7 . 2. Пусть  4 x  t  3 ,  тогда неравенство примет  ­простейшее. вид  cos t 4 7 5 cos     3  4 x    4 7 . Учитель следит за решением, пошагово  демонстрирует его с помощью  презентации. 3. Воспользуемся алгоритмом решения  простейших тригонометрических неравенств  (проговаривает…). 4. Найдём значения переменной t,  удовлетворяющие неравенству. 5. Вернёмся к переменной х и найдём её  значения. 6. Запишем ответ. б) С помощью основных тригонометрических  формул. Мы повторили первый способ сведения  неравенств к простейшему виду. Как ещё  можно привести неравенство к  простейшему виду? Ученики ведут диалог с учителем, после  обсуждения записывают решение в тетрадь. Ещё раз обратим внимание на решение  неравенств с использованием основных  тригонометрических формул.  Учитель обсуждает решение неравенства  с учениками, используя  4 sin x  4 cos x  5 8 при этом презентацию. * Вспомним, неравенства какого вида  можно свести к простейшим введением  вспомогательного угла? * В чём состоит общий метод решения  таких неравенств? Задание.    Решить неравенство sin2 sin32 cos .12  x  2 x x  ­ неравенства вида Аsinx+Bcosx>C, где А,В,С­ данные числа и АВ .0   ­Ученик, используя презентацию, рассказывает  суть данного метода. ­нет, т.к. оно пока не имеет вид  Аsinx+Bcosx>C. Учитель ведёт беседу с классом, на  экране поэтапно появляется решение. ­можно. ­перенести 1 в левую часть и применить  6 * Можно ли данное неравенство сразу  решать введением вспомогательного  угла?  * Можно ли каким­то образом  преобразовать данное неравенство? * Что для этого нужно сделать? * Можно ли последнее неравенство решать  введением вспомогательного угла? *  Что для этого нужно сделать? * Какой вид имеет последнее  неравенство? * Ещё раз напомним решение данного  типа неравенств. * Решим данное неравенство. формулы двойного угла:   и 2sin x  sin2 x cos x . Тогда неравенство примет вид ; 2 sin2 x 1 3  sin2 x cos x  2 или   cos 2 x  2sin3 x  ;2   2sin3 x  cos 2 x  .2 ­ да. ­ разделить обе части неравенства на  Тогда неравенство примет вид  2 1 .2 4 3    2 3 2 2sin x  1 2 cos 2 x  2 2 . Учтём, что  cos  6  3 2 и sin  6  1 2 , получим  2sin x cos cos 2 x sin  6  2 2 ;   6    6  2 2 . sin    2 x  ­ неравенство, сводящиеся к простейшему  введением новой переменной. ­ введём новую переменную  , тогда  t  x 2  6 неравенство примет вид  sin t 2 2 . 7 2. Выполнение практических заданий. (работа в группах) Класс делится на 3­4 группы. Каждой  группе даётся карточка заданий (на  обороте указать фамилии участников  группы). Группы выполняют задание,  затем меняются решениями (I­II­III­IV­I)  и проверяют работу друг друга  (взаимоконтроль). Оценку заносят в  рабочую карту с пометкой «в/к» (на  обороте указать «Проверяли…»).  Учитель затем перепроверяет решение и  оценивание. III. Обобщение методов решения  неравенств с помощью замены  переменной. 1. Актуализация знаний 1. В каком случае удобно использовать  замену t=f(x), где f(x)­ одна из  Далее ученики самостоятельно решают  неравенство, затем проверяют себя по  решению на экране. Карточка 1. x      .1 sin2.1 2 4   1 32  x tgx tg  x  1 sin.3 x cos  .2 . 2 .2 sin Карточка     2. 1 x 1  .1 . 38 76 38  .5,1 cos x 2.2  2 sin32.3 x 2 sin2 x cos x  .13  Карточка   3.      3.1 6     tg  3 x .1 .2 cos x 3cos x  sin x 3sin x  2 2 .  .0    3 126 .  x 4 sin3.3 cos x  4. Карточка      22 x 3 1 63 sin.2 cos cos 22    .1  x 4 4  x 3 2 x sin3.3  sin32 . 1 2 x cos x  3 cos 2 x  .0 8 тригонометрических функций? 2. В каком случае можно использовать  замену t=sinx+cosx? Повторим решение данного типа неравенств  на конкретных примерах. На доске записаны 3 неравенства. По  желанию ученики поочерёдно выходят к  доске и решают неравенства, комментируя  каждый шаг. Остальные ученики записывают решения, стараясь делать самостоятельно. Далее рассмотрим более сложное  неравенство, которое также удобно решать  заменой переменной. Задание.    Решить неравенство cos2x­cos8x+cos6x<1. Учитель ведёт беседу с классом, записывает  решение на доске. *Какие преобразования необходимо  выполнить? *Что замечаем далее? *Можно ли в данный момент ввести новую  ­когда неравенство содержит одну и ту же  тригонометрическую функцию одного и того  же аргумента. ­когда в неравенство входят выражения  sinx+cosx и sin2x. 11)1 )2 tgx cos )3 sin  x ;6   x 2 ctgx  sin 2 cos x  ;1  x 2sin3 x  .1 Ученики участвуют в беседе, записывают  решение в тетради. ­перенести –cos8x в правую часть неравенства и применить формулу суммы косинусов в  левой части неравенства. cos2x+cos6x<1+cos8x, 8cos 2 2 1  cos cos 2 x 4 x  x 2 9 переменную? *Как можно сделать аргументы  одинаковыми? 1  x  8cos 2 cos 2 x .4 Тогда  2 2 2  x cos 2 x 4 сos  cos 4 2 x x cos  x x cos 4 cos 4 2 cos 2 cos 4 cos 2 4  x  x  ;0 x  ;0  .0   *Далее введём новую переменную t  cos ,2 x где   t 1;1 . В результате   ­нет, т. к. аргументы косинусов различны. 2 2 t     .0  1  21 t получим неравенство   22 t Решите самостоятельно последнее  неравенство и найдите значения переменной  t, удовлетворяющие неравенству.  ­применить формулу косинуса двойного угла cos cos  .1 2 2 4 x x  2 Тогда неравенство примет вид   22 1  21 cos cos cos 2 2 2 x x x    2 2  .0  2 2 t   21 t 2  t  1  ,0 2 t откуда 2  01 или 2 t 2  t  .01 *Возвращаясь к замене, решим полученные  простейшие тригонометрические  неравенства и запишем ответ. 2 2 t  ;1 t 2  1 2 ; t 1  1 2 ; t 2  1 2 . D  ;9 t 3  1 2 ; t 4  .1 1)1  t  1; cos 2 x  1 2  ; cos 2 x  1 2 1 2 . 10   arccos     1 2  3 4 4 ;   2  3 5 4 4  ;      5 4   Znn ,   .   2 n  2 x   ,2 Znn  ;  3 4  3 8   n  x  5 8 )2  1 2  t  ; 1 2 1 2  cos 2 x  1 2 ;   arccos    arccos 2 2  1  ; ;  4  4  2  3   4 ;  2 3   1   4   2 3   2 k  2 x   2 k 2 x   ;2 kk  Z    2 3 3 ; 1 2 и   ,2 kk  Z . 11 IV. Обобщение решения  тригонометрических неравенств методом интервалов. Перед учениками и на доске ­ алгоритм  решения неравенств методом интервалов. Повторение данного метода проводим в  ходе решения неравенства  .0 sin2  1 x x 2 2 cos  1  8   k  x  3   kk ,  Z ;   3   k  x  8   Zkk ,  .    Ответ:      3 8        n ;  5 8   n      8   k ;  3   k      3   k  ;  8   k ; kn  Z .      .,  У доски один ученик решает данное неравенство, демонстрируя шаги алгоритма. Остальные  ученики записывают решение в тетрадь. 1. Рассмотрим функцию  )( xf  sin2 2 cos .  1  1 x x 2 2.Найдём основной период Т функции: T (sin  2  T (cos )   4 ( fT )   .4 ) x x 2 3. Найдём нули функции f(x) на промежутке .4;0   )( xf  sin2;0 x  sin;01 x     1 x n  1  6   Znn ,  . 1 2 ; 12 n  ;0 x     ;4;0 n  ;1 x    ;4;0   6  7 6  11 6  19 6  23 6   6  n  ;2 x n  ;3 x n  ;4 x n  ;5 x     4;0   4;0      4;0   2   4;0  Итак,  x  7 6 19 6 11 6 23 6 ; ; ;  .4;0   4. Найдём точки разрыва функции f(x) на  промежутке   .4;0  2 cos  ;01 cos   ,2 Znn  ; x 2  1 2 ; x 2  3 x 2  2 3 x   ,4 Znn  .    ;4;0 x      ;4;0 n  ;0 x  n  ;1 x n  ;2 x   2 3  2 3  2 3  2 3   10 3  22 3   4     ;4;0 x   4     ;4;0    8    ;4;0 x    8   4;0   2 3  2 3  14 3  26 3 Итак,  x  2 3 10 3 ;  .4;0   5. Найденными точками разделим промежуток  на части, в каждой из которых функция  .4;0   f(x) сохраняет свой знак:     6. Определим знак функции в каждой части  методом пробных точек: 13 Выполнение практических заданий. Каждый ученик получает карточку с  одним неравенством. Карточки разного  уровня сложности. Например, сильные  ученики решают неравенство методом  интервалов, средние и слабые ­ введением новой переменной. Работу оценивает учитель, оценку  заносит в рабочую карту ученика. V. Обобщение решения систем  тригонометрических неравенств.  Задание. Необходимо напомнить  алгоритм решения систем  тригонометрических неравенств. Далее работаем следующим образом:  каждому ученику, в соответствии с  вариантом, даются 3­4 карточки, на  которых необходимо решить указанную  систему неравенств. Выполнив задание  первой карточки, необходимо отнести её  на проверку (проверяет учитель или  консультант (сильный ученик)). Если  система решена верно, то её оставляют у  проверяющего, приступают к решению  задания следующей карточки. Если  неверно, то карточка возвращается для  исправления ошибки. Время работы  ограничено­10 мин, поэтому ученики  стараются выполнять задания быстро и  по возможности правильно. По истечении времени работы, подводится итог:  4 верно выполненных  задания ­ оценка  «5», 3 верно выполненных  задания ­ оценка  ;0    2 3       2   7  6 3 ;     7 11  6 6 ;     11  6 19 6 ; sin2 x 1 2 cos x 2 1 левая  часть + + + + ­ ­ ­ ­ + + ­ ­                                                                                   10  3  19 6 10 3 23 6    ; ;      ­ ­ + ­ + ­    23 6 4;    + + + 7. Выберем те части, в которых выполняется  исходное неравенство:       19 6   7  6  23 6  2 3    10 3 11 6             4; ;0 х ; ; . 8. Учитывая периодичность функции, запишем  ответ:   Ответ:   ;4 x k  ;4 k  ;4 k  4 k  4 k       11 6      19 6    23 6          4 k  2 3   7  6    4;4 kk , k  4   10 3     Z . 14 «4», 2 верно выполненных  задания ­ оценка  «3», менее 2 выполненных  заданий ­ оценка  «2». Оценка заносится в рабочую карту  ученика. 3)      Углубление знаний по теме  «Решение тригонометрических неравенств и их систем». Заранее две группы учеников провели  дополнительную исследовательскую  работу. Первая группа изучала  использование тригонометрических  неравенств для нахождения области  определения функций, вторая группа  занималась решением неравенств  смешанного типа. На специальном стенде  ученики разместили решения различных  заданий. Желающие могут ознакомиться.  Далее ребята демонстрируют примеры  решений неравенств указанных типов,  используя подготовленные презентации. ­ ученик на примере системы неравенств  рассказывает алгоритм решения  2 2 ;       cos x  sin x  1 2 систем тригонометрических неравенств,  используя презентацию. Задания для карточек. ;    sin x sin x cos x cos x 1 2 ;0 I вариант                     1 3 cos x sin x tgx  3 2 1 2 ctgx     )1 )2 )3 )4 2 2 ; ; ; ; ; 3 3 .8,0 II вариант 15 4)      Систематизация знаний по теме «Решение тригонометрических неравенств и их систем». В ходе занятия мы обобщили знания  о  видах тригонометрических неравенств и  их систем, способах их решения.  Кратко материал нашего урока можно  представить в виде таблицы (см.  приложение), которая будет являться  своеобразной памяткой о видах  тригонометрических неравенств, их  систем и способах их решения. Используя таблицу, ещё раз быстро  повторим материал темы «Решение  тригонометрических неравенств и их  систем». 5) Заключение. В качестве домашнего задания  предлагается индивидуальная  контрольная работа, анализ выполнения  которой покажет степень усвоения  материала данной темы каждым  учеником. ; ; )1                   )2 )3 )4 cos x ;  1 2  sin x x  sin cos 1 2 2 2 ;0 1 2  ctgx ;1  tgx ;0 sin   x x ; cos x  4 9 . 1). Использование тригонометрических  неравенств для нахождения области  определения функции. yа )  tg 2 x  1  sin21 x ; xfб ) )(  sin2 x  3  1 x . 2  8 6 x  2) Неравенства смешанного типа. 2 4 cos x  2   12  cos x 2sin x  cos x а б 2) )   2 ;2 . sin x 16 Каждый ученик получает конспект урока в виде  таблицы. Дома необходимо поработать с ним,  переписав конспект в свою теоретическую  тетрадь. Домашняя контрольная работа (примерное содержание одного из вариантов) 17   6    ;1  2sin2 x  ;0  x 7 cos x ;5,1  ;1 x cos  x sin7 ;5  cos x x ;3  ;01 tg 3 x )2 ctg 3)1     4  14 3)3 7sin  2 cos 2)4 x  3 sin)5 x  2 x 2)6 cos  sin 2sin)7 3sin 5sin     )10    1 2 ;0 cos Найдите x x x sin  ;0 )9  )8 x  y  sin x  x ; область определени я функции 1 cos . x 18