Методическая разработка урока "Уравнения с параметрами"

Урок по теме: «Уравнения с параметрами»  Цели:  выделить общий метод решения уравнений с параметрами;             формировать умения решать уравнения с параметрами  Задачи:   актуализировать личностный опыт к изучению темы;  вызвать интерес учащихся к занятию, придав ему проблемно­ творческий характер;  способствовать усвоению темы на примерах решения заданий,  отработке практических навыков;  содействовать развитию умений общаться между собой,  воспитывать чувство взаимопомощи. Тип урока: урок изучения новой темы. Продолжительность: 2 урока по 45мин                                         Ход урока 1. Организационный момент. 2. Актуализация знаний учащихся. С понятием «параметр» мы знакомы с 7 класса. Вспомним. Решите уравнения:         х­а=0             Ответ: х=а при а є(­∞;+∞) при а є(­∞;+∞)                                    5х=а              Ответ: х  а 5                                    ах=10            Ответ:  при а є(­∞;0) (0;+∞) υ х 10 а                                    0∙х=а             Ответ: при а≠0 корней нет,                                                                      при а=0 х ­ любое число є к                                                 Ответ:  при а≥0,  х  а х  а                                                                      корней нет при а<0               Ответ: корней нет при а<0                                     х  а       х=±а      при а>0       х=0        при а=0   Решить уравнение с параметром – значит для каждого значения параметра  найти множество всех корней данного уравнения.   Основной принцип решения уравнения с параметром можно сформулировать так: необходимо разбить область изменения параметра на участки, такие, что при изменении параметра на каждом из них получающиеся уравнения можно  решить одним и тем же методом. Отдельно для каждого участка находятся  1 корни уравнения, выраженные через значение параметров. Используемые  для этого приёмы в точности таковы, как и при решении уравнений с  числовыми коэффициентами. Ответ задачи состоит из списка участков  изменения параметра с указанием для каждого участка всех корней  уравнения. Сложность задач с параметрами заключается в том, что, как  правило, вместе с изменениями меняются не только коэффициенты, но и ряд  других характеристик, связанных с параметром. Обычно это приводит к тому,  что при разных значениях параметра приходится использовать различные  методы решения.  В этом и заключается сложность решения уравнений с параметрами.  А существует ли  общий метод для решения уравнений с параметрами?   Цель нашего урока: установить общий метод решения уравнений с  параметрами каждого вида.   3. Объяснение нового материала.     1)Определение: уравнение F(a,x)=0 с двумя переменными а и х называется уравнение с параметром а и переменной х, если для каждого значения  переменной а необходимо решить соответствующие частное уравнение с  переменной х.   Пример:  а  х  (,1 а 2  )4 2  х а а 2 ;6 ах 2  .01 2 х     2)Определение: Область допустимых значений параметра а уравнения  F(a,x)=0 называется множество всех значений параметра, для которых  соответствующие частные уравнения определены.   Пример:   2 а х  а 2   2 ах  2 а  0 3 х а ОДЗП:  а (  )2; )0;2(  )2;0(   Определение: Областью определения уравнения F(a,x)=0 с параметром а и  переменной х называется множество всех упорядоченных пар (аj,х), где а=а1  принадлежит области допустимых значений параметра уравнения, а х  принадлежит области определения соответствующего частного уравнения  F(aj,x)=0.   Пример:  2 ха  2 х  3 а х  х  2 0 Область определения     3) Равносильные преобразования ),( аха  (  ), ; х  ,0 х  3 2 Определение: Уравнения F(a,x)=0 и G(a,x)=0 называются равносильными  если:   а) ОДЗП уравнения F(a,x)=0 совпадает с ОДЗП уравнения G(a,x)=0;   б) для каждого допустимого значения параметра, а=аj соответствующие  частные уравнения F(aj,x)=0 и G(aj,x)=0 равносильны.     4) Частные уравнения.                                                   (а3 ­4а)х=а+2 а) особое частное уравнение типа Ø. а=2, 0∙х=4 – уравнение типа Ø. б) особое частное уравнение типа ∞. а=­2,  0∙х=0 – уравнение типа ∞.   Всякое частное уравнение F(a,x)=0 не являющееся особым типа Ø и типа ∞,  называется неособым.    5) Определение: В уравнении F(a,x)=0 значение, а=аj называется  контрольным, если для него выполняется одно из следующих условий:   а)  соответствующее частное уравнение не определено.   б) частное уравнение F(a,x)=0 является особым типа Ø или типа ∞.   в) для типа J неособых частных уравнений, содержащего уравнение  F(a0,x)=0, все значения параметра множества АJ удовлетворяет уравнению  ∆(а)=0   Пример:  1  а х  2 а  23 а  0   {a│a≤­2 или а=0} – контрольные значения параметра (частные уравнения не  определены)                                              (а2­4)∙х=а2+а­6 а=­2 – к.з.п., 0∙х=­4 – особое уравнение типа Ø. а=2 – к.з.п.,  0∙х=0 – особое уравнение типа ∞.  Решить уравнение:         (а+1)х=а2­1 аа ( )  ; 1. ОДЗП:  2. На области допустимых значений уравнение приведём к стандартному виду  )1 ( а    aF ( )  ( а  aG ( ) х  2 )1 0 3. Из уравнения f(a)=0 находим к.з.п. а+1=0, а=­1 4. Для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения исследуем отдельно.   Для а=­1,  0∙х=0 – истинное числовое равенство 3    1 аа  Rх   Для а≠­1 уравнение имеет единственное решение х   12 а  а 1  а 1  аа  (  хх   )1; )  а ;1( 1               Ответ:   ; аа   1 аа  Rх  (  хх   )1; )  а ;1( 1          Решить уравнение:                                                           (1)  х 1 12  х  а 1. ОДЗП: а є(­∞;+∞)   Область определения: х є(­∞;+∞) 2. На ОДЗП уравнения (1) равносильно  (х2+1)а=х+1 ах2­х+а­1=0                                       (2)   Данное уравнение, есть бесконечное множество частных уравнений для  конкретных значений а. 3. а=0 – к.з.п. Уравнение (2) линейное: ­х­1=0, х=­1 4. а≠0 Уравнение (2) квадратное и в зависимости от знака дискриминанта  Д=1+4а­4а2 оно имеет решение или нет.   Для всех а, удовлетворяющих Д=1+4а­4а2<0 уравнение (2) не имеет  решений. 2 1 2  ; а 2  2 1  а 1  2     аа  ( ; 1  2 2 )  ( 1  2 2  ) ;     решений нет . При   1  а 2 1  ; а 2  2 2     Д=0          х 1 а 2 4 При  а  1 (  2 2  1 2 )0; х 1 2 ) х 2 1  1  Д Д  2  2 а а а  ;0( Ответ:  1  аа    ;     ;      аа хх   0 1      аа  2        2 1 а 2    хх    1       2 хх 2 0; 1  1  2 2        ;0    Д      2 а     Какие закономерности можно выделить? Определим общую схему решения  всякого уравнения F(a,x)=0: ­   устанавливаются область допустимых значений параметра, область  определения  ­   определяются контрольные значения параметра, разбивающее область  допустимых значений параметра на области однотипности; ­   для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения  исследуются отдельно; ­  находятся  общие решения х=fi(a),…,fk(a) уравнения F(a,x)=0 на  соответствующих множествах Аfi ,…,Afk значений параметра; ­  составляется модель общих решений, контрольных значений параметра; ­  на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми  общими решениями (области однотипности);                                                                                                            х=fi(a)                                                                                                            x=f1(a)                    а1              а2                    а3                        а4 ­  для контрольных значений параметра и выделенных областей однотипности записываются характеристики всех типов частных уравнений. /Данную схему записать в тетрадь и на доску/ 4.Закрепление изученного материала Фронтально решить уравнение:       (1) 2 а  5 а  6 а  6 х  а 5 18  а 6 ОДЗП:{a/aє(­∞;­3]υ[­2;6)υ(6;+∞)} 5 Уравнение (1) равносильно уравнению:  х 2 а  5 а  6 2 ( а  а  )12  0   а=­2, а=­3 ­ к.з.п.  Для а=­2, х∙0­(4+2­12)=0 – ложное числовое равенство Для а=­3, х∙0­(9+3­12)=0 ­  истинное числовое множество Для  aє(­∞;­3)υ(­2;6)υ(6;+∞) соответствующие частные уравнения имеют  первую степень, их  общим решением является   х  2 а а 2   а  5 а 12  6                              ­3                               ­2                                 6                          типа  ∞                            типа  ø                       не определено        Ответ:   ,6 { aa . определено не  { aa . множество   пустое . типа  { aa  типа )}2;3( { aa }2 }3 a ; ; ; (      xx     )6;2( )3;   )(4 )3 a a (   ( )(3 )2 a a ;6(       )} 5.Работа в парах Решить уравнения: №14.2 а, №14.4 а. После выполнения­ проверка по схеме. 6. Выполнение упражнений Учащиеся составляют схему решения, результаты этапов записываются на  доску.            Решите уравнение: а)  x  ( xa  )1 x 2   2 ( xa 3  2  a )(1 x  )2  Ответ: aa { { xx   }3 }6 ; aa { { xx   }2 }5 ; { aa xx {   }1 }2 ; aa { { xx   }2 }3 ;  { }0 aa корней . нет ; { б)  2 x  2(  a  7  a 2 a    )5 x  2 a  5  2 a  12 a  35 8 a ( x  a 3  )2  0 { aa xx   a a  }0;2;1;2;3 x ;1 }3 6 Решение уравнения б) требует оценки знаков дроби  , используя   a 2  8 a определение модуля  ОДЗП: {a/a є(­8;­2) (2;8)} х 5 )5  7 а а х   2  2 а  12 а  0 35 υ  2  0 2 )5  2(  2(  )( af 1  )( af 2 Д х x   а  а  2 7 5  7 а  a  a Так как х+lа­3l­2≠0, то общее решение х=f1(a) не входит в область определения исходного уравнения для всех значений параметра, удовлетворяющих  уравнению lа­7l+lа­3l­4=0. Данному уравнению удовлетворяют все а є [3;7]. Значит f1(а)=lа­7l­2  ­общее  решение на множестве Аf1={a/a=(­8;­2) (2;3) Общее решение х=f2(а) не входит в область определения исходного уравнения для всех значений параметра, удовлетворяющих уравнению  lа­5l+lа­3l­2=0. Решение уравнения­ а є [3;5], значит f2(а)= lа­5l – общее  решение на Аf2={a/a=(­8;­2) (2;3) Ответ: { aa ( υ(7;8)} υ(5;8)}   ;8( υ υ )}    )3;2( )2;8(   ;2 7 x a   a )}8;7( }5 ;  { ]5;3[ aa . решений нет ; aa { { xx  )}7;5(  a }5     )2;2( )8; . не определено ; aa { { xx 7. Итог урока Повторить общую схему решения уравнения F(а;х)=0. Каковы её преимущества? Что вызывает затруднения? 8. Домашнее задание: п.14.1, записи в тетради              1­ый уровень: №14.5 б, 14.6 б, 14.7 б, 14.8 б.              2­ой уровень:  №14.7 б, 14.8 б              1( (( 2 xa )  )1 a  x )22( xa  ))3 (  a   ( a  4  a )1  0               х (  )3 а  а 2  ах а 2    1  2 ах 2  а  а 4 7 Урок  по теме: «Уравнения с параметрами» Цели:   Повторить алгоритм решения уравнений с параметрами;  Расширить представления учащихся об уравнениях с параметрами и способах их решения;  Развитие исследовательской и познавательной деятельности. Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний.    Ход урока 1. Организационный момент 2. Актуализация знаний учащихся     Проверка домашнего задания ( двое на доске прописывают результаты  этапов общего метода решения)     Теоретический опрос а)Какое уравнение мы называем уравнением с параметром? б)ОДЗП: а2х=а(х+2)­2                  ,   х   33  0 а 2 х 6  х 5   х а  ,0 х 1   1 а  х 1   (2 а ( аа   )1 )2 в)К.з.п.:  а  а 2 2 х  9  а 2 а х  2  а а 3  0 г)Для данного уравнения    2  хаха (  укажите значения параметра когда 2)2  особое частное уравнение типа Ø,  особое частное уравнение типа ∞. 8 3. Изучение нового материала                В уравнения с двумя параметрами последовательность учебных действий  аналогична. Пример 1.           (1) ( аха  в  )2  а х 4( 2   в )  1 Для всех точек прямой   в 2а  частные уравнения не определены,   2 2 а  вва , ­ множество граничных точек уравнения.    а вва , ОДЗП:    После преобразований исходное уравнение равносильно уравнению                    Граничными являются те упорядоченные пары значений параметров для  которых  , т.е. точки параболы  а .          (2) 2 4 а в в   2 , включая     . вва 2  а в  ,4 в  а 2 2 а  в  04 точки(3,5)и (­2,0).  Для точек параболы  в 2 а 4  (а≠­2,3) соответствующие частные уравнения  имеют вид 0∙х=а2­4+а­2.     Правая часть уравнения обращается в нуль при а=2, а=­3. в этом случае, для  точек параболы (2,0) и (­3,5) частные уравнения 0∙х=0­ особые типа ∞. Для  остальных точек параболы получаем особые  частные уравнения типа ø. Для всех точек    из уравнения (2)   есть     , вва 2  а ,4 в  а 2 х  в а 2  а   в 2 4 общее решение. Ответ:     вва 2 , не . определено  а   ,    ;0,2 типа 5,3      , 2 а   ,4 вва , типа . . пустое    3,2,2,3 а множество   ,  вва ,    хх а  в а 2  2 ,2 в  а   в     а 2 4 Выполнение упражнений (подробное решение записывается на доске)  4   . 9 Решить уравнение:   2 ах  2 ( а 6    2 хав )  ав (  ах 2 (  2 а в )  )2 ав  0 ОДЗП:     вва ,  а 2  6                                                 2 ах  2 ( а  2  ) хав ах в   2 ( а  )2 ав  .0 Полученное уравнение равносильно системе  ах ах 2 2 (  а  0 в  ) 2 хав   2 ( а  )2 ав  0 а=0 выделяет линию контрольных значений параметров в первом уравнении. На множестве  .  Функции   D=    вва ,  2 а  ,6 а 0   2 а  2 ав   0 2  х   ваf , 1    ав 2 а и   х   ваf , 2   а  являются общими решениями квадратного уравнения .    На линии а=0 контрольных значений параметров соответствующие частные . В точке (0,0) частная система не определена, на системы имеют вид    0  в    вх 2  .0    вва ,  в ,6 0   общим решением исходного уравнения является х=0.    Для общего решения   х   ваf , 1    ав 2 а   уравнение  G(а,в,f1(а,в))=0 имеет вид 0 ав .Прямая  в   и парабола  а в  а 2  6 пересекаются в точках с абсциссами а=­3,а=2.   Тогда   х  ваf , 1   не   входит   в   область   определения   исходного уравнения на множестве     , ава  ав )0,3( , решение на Аf1=    вва ,  2 а  ,6 а . а  ,0 в .Значит  )2,0(  ­ общее  ваf , 1  2  ав а 10 Общее решение   х   , ваf 2   а   обращает знаменатель в нуль на множестве точек      , вва 2  аа ,  ( )0,3  )3,0( .   Значит      вва ,  2 а  ,6 а  ,0 в . 2 а ­общее   решение   на   Аf2=  ваf 2 , а     В точке(1,1) пересечения прямой   в    а и параболы  в  2а исходное уравнение  не имеет решений, т.к.   х  f 1 ,1)1,1(  x f 2  1)1,1( не входят в область определения.  Ответ:         вва 6 , . определено не а 2   0,0    ,     1,1 реш . нет ,          ,   0   , ,6 в вва    0 хх                                                                          ва ,     ,6 а  ав 2 а      вва ,  а хх  ,0 в , х   2 а   2 а 4. Применение графического метода для решения уравнений с  параметрами Графический метод решения некоторых уравнений с параметрами весьма  эффективен, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в  зависимости от параметра a. Для применения этого метода требуется умение  выполнять построение различных графиков, вести графическое  исследование, соответствующее данным значениям параметра.        1. Сколько корней имеет уравнение | | x | – 2 | = a в зависимости от  параметра a? Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций  y = | | x | – 2 | и y = a. График функции y = | | x | – 2 | изображен на рисунке. 11 Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней  совпадающая (при          a = 0). Из чертежа видно, что: Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции  y = | | x | – 2 | две общие точки; значит, исходное уравнение имеет два корня . Если 0 < a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 |  четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре  корня. Если a = 2, то прямая y = 2 имеет с графиком функции три общие точки. Тогда исходное уравнение имеет три корня. Если a > 2, то прямая y = a будет иметь с графиком исходной функции две  точки, то есть данное уравнение будет иметь два корня. Ответ: если a < 0, то корней нет;  если a = 0, a > 2, то два корня;  если a = 2, то три корня;  если 0 < a < 2, то четыре корня.                   2. При каких значениях параметра a уравнение ax2 + | x – 1 | = 0        имеет три решения? Решение. 1. Контрольным значением параметра для данного уравнения будет  число a = 0, при котором уравнение  примет вид 0 + | x – 1 | = 0, откуда x = 1.  Следовательно, при a = 0 уравнение  имеет один корень, что не  удовлетворяет условию задачи. 2. Рассмотрим случай, когда a ≠ 0. Перепишем уравнение в следующем виде: ax2 = – | x – 1 |. Заметим, что  уравнение будет иметь решения только при a < 0. 12 В системе координат xOy построим графики функций y = | x – 1 | и y = ax2.  График функции y = | x – 1 | изображен на рисунке. Графиком функции y =  ax2 является парабола, ветви которой направлены вниз, так как a < 0.  Вершина параболы — точка (0; 0). Уравнение  будет иметь три решения только тогда, когда прямая y = – x + 1  будет касательной к графику функции y=ax2.   Воспользуемся тем, что если прямая y = kx + b имеет единственную общую  точку с параболой y = ax2 + px + q, то уравнение ax2 + px + q = kx + b должно  иметь единственное решение, то есть его дискриминант равен нулю. В нашем  случае имеем уравнение ax2 = – x + 1 (a≠ 0). Дискриминант уравнения D=1+4a.  D=0 при а= 1 4  Ответ: если a < 0 и а≠ . 1 4     13 3.Найти все значения параметра b, при которых уравнение  2 х  3( b 2 x    2)1 b  4 x 3 2  2  0 имеет одно решение. Решение.  Данное уравнение равносильно системе        х  x  2 x ,2  2 b  ,1 b   3 4 0 x Строим график исходного уравнения. При b=­2 и b=1/2 уравнение имеет единственное решение 5. Итог урока 6. Домашнее задание:  Решите уравнения: п.14.1, пример 5, №14.9 а), 1)  ,  х ( ав  )2  ав  ав  2 1  3  0 2) Сколько корней имеет уравнение        в зависимости от      1 х  х 1  ах параметра а?   14