Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."
Оценка 4.6

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Оценка 4.6
Разработки уроков
doc
математика
9 кл
06.01.2017
Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."
Методическая разработка открытого урока по геометрии в 9 классе по теме " Применение теорем синусов и косинусов при решении задач". Содержит практическое приложение, которое необходимо распечатать. Задачи подобраны таким образом, чтобы продемонстрировать их значимость при решении жизненных задач, развивать любознательность и любовь к математике.Методическая разработка урока.
Применение теорем синусов и косинусов при решении задач Разработка урока геометрии..doc
МОУ СОШ №3 г.Пугачева Открытый урок по геометрии в 9 классе «Применение теорем синусов и косинусов  при решении задач» Подготовила учитель математики: Ларина О.С. Тема:                     «Применение теорем синусов и косинусов при решении задач»           2017 Цель    :  1) Образовательная: выявить  усвоение программных знаний и умений учащихся по данным  темам. 2) Развивающая:  ознакомить учащихся с методами измерительных работ и показать применение  теорем синусов и косинусов при их выполнении;  формировать   связь между науками ­  тригонометрией и геометрией; активизировать  познавательную деятельность; развивать  познавательную активность.  3) Воспитательная: воспитывать культуру математической речи; интерес к изучению геометрии;  любознательность и любовь к математике.   Тип урока  ­ Урок ­ практикум. Структура урока – Урок обобщающего и развивающего типа обучения.  Индивидуальная и  групповая формы работы. Актуализация опорных знаний    .   Повторение. 1)Историческая справка. О тригонометрии. 2)Математический диктант. а) Геометрический клубок; б) Восстановите формулы. 2. ТЕСТ - (дифференцированный подход) 3) Теорема косинусов. Определение видов треугольников по сторонам и по значению косинусов  углов. 4) Решение задач по готовым чертежам.  ­нахождение третьей стороны треугольника по данным двум сторонам и углу между ними. 5) Теорема синусов. 6) Решение задач по готовым чертежам.   ­ составление пропорции по данным треугольника  для вычисления   неизвестной стороны  треугольника. 7) Задачи практического содержания. ­ расстояние от доступной точки ­ нахождение  длины участка Оборудование: линейка, карандаш, таблица  Брадиса, микрокалькулятор, информационные и  обучающие плакаты. Таблицы, карточки с заданиями. Карточки с вариантами ответов. Ход урока. I. Организационный момент II.Актуализация знаний учащихся А) Мультимедийные презентации информационного характера об историческом происхождении  терминов: синус и косинус. Теорема синусов и косинусов.                                                (3­4минуты)    Тригонометрия ­ «измерение треугольников» ­ развивалась, прежде всего,  в связи с  потребностями астрономии, географии, навигации. Поэтому её зачатки были в Древнем Вавилоне,  где астрономия получила значительное развитие. Синус и косинус появляются в астрономических  сочинениях индийских ученных 9­10вв. Тангенс появился в связи с задачей определения высоты Солнца по длине  тени, решение которой  необходимо для изготовления солнечных часов. Выделение тригонометрии в специальный раздел  математики связано с именем выдающегося персидского ученого Н а с и р э д д и н а  Т у с и (1201­ 1274). В Европе первое изложение тригонометрии было дано в 15в. немецким ученым   Р е г и о м о н т а н о м ( 1436­1476). Современный вид тригонометрия получила в трудах  крупнейшего математика 18в. Леонарда Э й л е р а (1707­1783).     Теорема синусов была впервые получена и доказана в XI в. выдающимся среднеазиатским  ученым Б и р у н и. Открытие этой теоремы сыграло важнейшую роль в развитии тригонометрии.  Теорему косинусов    знали еще древние греки, ее доказательство содержится во 2 книге «Начал»    Евклида как обобщенная теорема Пифагора. Решить треугольник – значит найти одни элементы треугольника, зная другие его элементы. Цель урока – проверить практическое применение теоремы синусов и косинусов. Без теории вы знаете, нет практики. И теорию мы с вами проверим и повторим через  математический диктант и тест.               (Найди правильный ответ!) Работать будем дифференцированно:  На столах у вас приготовлены тесты, выполнить которые необходимо за то время, за которое  другие ребята ответят на вопросы математического диктанта. Б)   Проверка знаний.  .­ (для среднего  и сильного учеников)  Математический диктант     Задание  предлагается –  1) Распутать  геометрический клубок слов, которые используются при определении теорем:  [треугольник,  стороны, углы, соответственно,   пропорциональны, квадрат, сумма, произведение, косинус,  синус, теорема,  удвоенное (без удвоенного), равны, противолежащие] а) записать формулировку теоремы косинусов; б) записать формулировку теоремы синусов. 2)  Дано: а,b, с, ∠А, ∠В, ∠С. Используя математические символы. Заполните пустые пропуски.    Восстановите формулы.      а) по теореме косинусов: сosC =  cosB = …2+c2−… 2…c ,   …2+b2−… 2…b , cosA = b2+…2−… 2b… ,                                                                                          а2 = b2+…­ 2…c cos...,       b2 =…+ c2 – 2a… cos…,        с2 = a2+… ­ …ab cos…  б) по теореме синусов:  а sinA= … sinB= с …=…R   … sinA= b sinB= с …=…R … sinB= c sinC=…R    Тест. (Выбрать правильный ответ) – для слабых учащихся 1. Теорема косинусов.   А) с2 = a2+ b2 + 2ab cosC                 В) с2 = a2+ b2 ­ 2ab cosC    С) с2 = a2+ b2 ­ b cosB                     Д) с2 = a2+ b2 ­ 2ab cosA 2. Стороны треугольника пропорциональны …      А) тангенсам противолежащих углов      В)  косинусам противолежащих углов      С) синусам противолежащих углов      Д) котангенсам противолежащих углов 3. Теорема синусов. а sinA= b sinB= с sinA c =sinB sinC=2R   a =sinC c =R   А)           С)           В)  sinA= a c sinB= b bc sinA=sinB sinC=R                            ac = ab sinC=2R                                 Д)  4.Против большего угла лежит… А) меньшая сторона                 В) большая сторона  С) меньший угол                       Д) центр противоположной стороны                                                                                                                                                                                                                         (Ответы: 1­Б, 2­С, 3­А, 4­В                                                                                                                    Сдают результаты ответов.)                                                                                                      Вывешиваются плакаты с теоремами. УСТНО. Вопросы.  1.Как найти а,b,c по теореме косинусов через формулу, если все необходимые данные  есть?  2. Равенство двух отношений называется…? (пропорцией). Основное свойство пропорции? В какой  теореме это свойство применяется? 3.  Устно.  Если с2  ¿ a2 + b2, то ∠С ­…                       Если с2  ¿ a2 + b2, то ∠С ­…                      Если с2  ¿ a2 + b2, то ∠С ­…       cos C … 0 cos C … 0                            cos C … 0              → → →  . Обобщение изученного материала. Практическое решение задач.  III  Накануне сегодняшнего урока вы получили задание выступить с сообщением о том, как  1. Определить высоту предмета в случае, если основание предмета доступно?  (Котаева Милана) 2. Как измерить расстояние до недоступной точки?   (Жигалина Екатерина) Рассмотрим,  каким образом эти теоретические знания могут пригодиться на практике, для этого  решим задачу № 1036.                    (1­й ученик)                          № 1037.                    (2­й ученик)                           № 1038                      (3­й ученик) Особенно интересна задача                           № 1033.                       (4­й ученик)               Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру  описанной окружности. (Чертёж выполнен на доске заранее.) Доказательство: Пусть  R­ радиус окружности, описанной около  треугольника АВС. Докажем, что,   ВС=2R sinA.  Проведём диаметр ВА1 и рассмотрим треугольник А1ВС. Угол С этого треугольника  прямой, поэтому ВС=ВА1sinA1. Но sinA1=sinA/Действительно точка А1лежит на дуге ВАС, тогда угол А1равен углу А, (а если на дуге ВДС то угол А1 равен  сто восемьдесят вычесть угол А).  Следовательно, ВС=ВА1 sinA.  Или ВС=2R sinA. Итак, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру  описанной окружности. Задача. В равнобедренном треугольнике основание равно 5 cм, а угол при основании равен 750.  Найдите радиус описанной окружности.(объясните, составьте логическую цепочку хода решения) 5√3 3 Ответ:   А)      Б) 10    В) 5    Г) 2,5 Решение: сумма углов при основании 750 ∙ 2= 1500, третий угол 1800 ­1500 =300. а sinA=2R   2 =5cм      Ответ:  (В) 2sin 300=5∙2  → R = а 5 2sinA =  B                                                                       O• R 750            A 5 C В завершении урока рассмотрим ещё одну жизненную задачу.                                                     Вопрос инспектора ГАИ. В 1200 нарушитель свернул с основной магистрали и помчался по шоссе со скоростью 140 км/ч. В  1200 инспектор ГАИ помчался по проселку со скоростью 70км/ч  наперерез нарушителю. Успеет ли  инспектор остановить нарушителя у перекрестка?                                            Магистраль пост ГАИ                                 200                        2км            500                                                                                        Проселок                                Шоссе  Ответ: успеет Геометрическая разминка. (каждой команде по одной задаче)  На доске прикреплены для каждой команды закрытые ответы к решаемым задачам. Учащиеся  должны будут проверять верность полученных ответов. 2.Решение задач по готовым  чертежам.    По одному представителю к одной задаче, остальные на месте.  а) Найти сторону  ∆обозначеннуюх 5 600 х 3 450 4 √2 6 7 √3 х 300 8 1) х =  √25+9−2∙5∙3∙1 2  =  √19 х          х = √19                          №1 2) х =  √32+36−2∙4√2∙6∙√2 5) х =  √64+147−2∙7√3∙8∙√3 2  =  √20 2  =  √43  х = 2√5                            №2 х = √43                             №3 На доске вывешиваются варианты ответов ­ как ответы к тестам под а) и б)              б) А)  6√3                         В)  2 √3   а)    А)  √43          В)  2 √5                                               С)  4 √3       С)   5       D)  √19                                       D)  6   ­ Какая теорема помогла вам найти третью сторону треугольника? ­ Сформулируйте теорему. б) Примените теорему…   (надо продолжить) №1                                                                                                                    №2 600  300 х                                         18 3 √2 х 1200 №3 600 450 4 √2 135 =sin 450 sin 600 3√2 sin 1200 18 =sin300 x      x=3√2∙2√2 = 6 2√3 √3 x                       x=18∙2 2√3 =2√3               x=2√3    = 18 √3 =6√3                    x=6√3    1)  2)                     x =sin⁡(1800−1350) sin 600 x 3)            x=4√2∙√3∙2 2√2 =4√3                      x=4√3    Проверка ответов. ­ Какая теорема помогла вам найти третью сторону треугольника? ­ Сформулируйте теорему. Дополнительно. Найдите верный ответ. Можно устно объяснить выбор ответа или предоставить  ход решения предварительно письменно. Задача. В равнобедренном треугольнике основание равно 5 cм, а угол при основании равен 750.  Найдите радиус описанной окружности.(объясните, составьте логическую цепочку хода решения) 5√3 3 Ответ:   а)     б) 10   в) 5   г) 2,5 Решение: сумма углов при основании 750 ∙ 2= 1500, третий угол 1800 ­1500 =300. а sinA=2R   2 =5cм      Ответ:  (В)  → R = 5 2sin 300=5∙2 а 2sinA =  B                                                                       O• R          750            A 5 C Переходим к задачам. Рабочие практики сделали необходимые замеры и прислали их, чтобы в  инженерном конструкторском бюро сделали необходимые вычисления и прислали ответ на вопрос.  За каждый верный ответ 10 баллов, что будет соответствовать – 1000тг. За каждый неправильный  ответ сниматься будет 1балл – 100тг. При необходимости можно воспользоваться подсказкой. Атанасян № 1031 (индивид. задание  по 1 ученику) а) Определите градусную меру большего угла. Определите вид треугольника.  Задача 1. Стороны треугольника 5см, 4см, 4см. (Ответ: cosA= Задача 2. Стороны треугольника 17см, 8см, 15см.  (Ответ: cosВ=0, ∠ В = 900) 7 32 , ∠ А – острый) −1 3 , ∠С – тупой) Задача 3. Стороны треугольника 9см, 5см, 6см. (Ответ: cosС= Задача 2. (А.Д.Александров, стр.110, № 8.33) Вопрос инспектора ГАИ.  В 1200 нарушитель свернул с основной магистрали и помчался по шоссе со скоростью 140 км/ч. В  1200 инспектор ГАИ помчался по проселку со скоростью 70км/ч  наперерез нарушителю. Успеет ли  инспектор остановить нарушителя у перекрестка?                                            Магистраль пост ГАИ                                 200                        2км            500                                                                                        Проселок                                Шоссе     Ответ: успеет  .        Подведение итогов. Рефлексия. Оценка учащихся. IV   Итак, на уроке, мы смогли убедиться, что такие сложные теоремы, как то теорема синусов и  косинусов имеют практическое приложение. Применяются не только для вычисления высоты  предмета, нахождения расстояния до недоступной точки, но  даже  для случаев правил дорожного  движения. Таким образом, геометрия применяется астрономии, географии, навигации, архитектуре. Перелистаем странички истории развития и становления геометрических знаний. 1. А с т р о н о м и я                                                                  Т р и г о н о м е т р и я. Н а в и г а ц и я                                                                   Ге о г р а ф и я 2.                  Д р е в н и й                    В а в и л о н                                 А с т р о н о м и я         3.              Синус   и косинус                       Индийские ученые  9­10вв. 4.                          Тангенс   Задача определения высоты Солнца по длине  тени                                          Солнечные часы 5. Персидский ученый   Н а с и р э д д и н   Т у с и (1201­1274) В Европе  ­ в 15в. немецкий ученый Р е г и о м о н т а н ( 1436­1476). т р и г о н о м е т р и я Крупнейший математик  18в.  Леонард Э й л е р  (1707­1783). 6.     Теорема синусов Была впервые получена и доказана в   XI в. выдающимся среднеазиатским ученым Б и р у н и.  7.                                    Теорема косинусов Древние греки. Её доказательство содержится во 2 книге «Начал» Евклида как обобщенная  теорема Пифагора. б) Ответы к «Геометрической разминке» (на доску) а)                   А)  6√3   А)  √43         В)  2 √3   В)  2 √5             С)   5                               С)  4 √3 D)  √19                             D)  6 Приложение. Измерительные инструменты, используемые при измерении на местности:  Рулетка – лента, с нанесёнными на ней делениями, предназначена для измерения расстояния на  местности. Экер – прибор для построения прямых углов на местности. Астролябия – прибор для измерения углов на местности. Вехи (вешки) – колья, которые вбивают в землю. Землемерный циркуль ( полевой циркуль – сажень) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м и шириной 2 м. для измерения расстояния на местности, для учащихся удобнее расстояние между  ножками взять 1 метр. углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые,  проходящие через них, взаимно перпендикулярны.   Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым Астролябия – прибор для измерения углов на местности. Устройство: астролябия состоит из двух частей: диска (лимб), разделённого на градусы, и  вращающейся вокруг центра линейки (алидады). При измерении угла на местности она  наводится на предметы, лежащие на его сторонах. Наведение алидады называется  визированием. Для визирования служат диоптры. Это металлические пластинки с прорезами.  Диоптров два: один с прорезом в виде узкой щели, другой с широким прорезом, посередине  которого натянут волосок. При визировании к узкому прорезу прикладывается глаз  наблюдателя, поэтому диоптр с таким прорезом называется глазным. Диоптр с волоском  направляется к предмету, лежащему на стороне измеряемого; он называется предметным. В  середине алидады прикреплён к ней компас.   Теодолит середины 20­го века Теодолит  Теодолит ­ современный строительно­геодезический прибор для измерения горизонтальных и  вертикальных углов и направлений  Теодолит часто используется так же в топографических, маркшейдерских и опорных съёмках  на местности. Теодолит в работе часто оснащают различными дополнительными  устройствами (ориентир­буссоль, визирные марки, оптическая дальномерная насадка и др.). Теодолит состоит из поворачивающегося вокруг вертикальной оси лимба с алидадой, на  подставке которого располагается горизонтальная ось теодолита. [треугольник,   стороны,          углы,  соответственно, пропорциональны,  квадрат,            сумма, произведение, косинус,                 синус, теорема,  удвоенное       (без  удвоенного),        равны,  противолежащие Восстановите формулы. а) по теореме косинусов:  сosC = …2+b2−… 2…b ,  cosB = …2+c2−… 2…c ,   2b… ,  cosA = b2+…2−…                                            а2 = b2+…­ 2…c cos...,   b2 =…+ c2 – 2a… cos…,   с2 = a2+… ­ …ab cos…  б) по теореме синусов: sinA= … а sinB= с … …R … sinA= b sinB= с …=…..R … sinB= c sinC=…R  Тест. (Выбрать правильный ответ) – для учащихся 1. Теорема косинусов.   А) с2 = a2+ b2 + 2ab cosC                 В) с2 = a2+ b2 ­ 2ab cosC    С) с2 = a2+ b2 ­ b cosB                     Д) с2 = a2+ b2 ­ 2ab cosA 2. Стороны треугольника пропорциональны …      А) тангенсам противолежащих углов      В)  косинусам противолежащих углов      С) синусам противолежащих углов      Д) котангенсам противолежащих углов 3. Теорема синусов.          В)  sinA= a c sinB= b bc sinA=sinB sinC=R                            ac = ab sinC=2R                                 Д)  а sinA= b sinB= с sinA c =sinB sinC=2R   a =sinC c =R   А)           С)  4.Против большего угла лежит… А) меньшая сторона                 В) большая сторона  С) меньший угол                       Д) центр противоположной стороны Учебные пособия. Литература. 1.Учебник.Геометрия  9. И.Бекбоев. Издательство «Мектеп». 2009г 2. Учебник.Геометрия  8­9 . А.Д.Александров. Москва. Просвещение.1991г  3. Учебник. Геометрия 7­9 класса. Л.С.Атанасян.   Москва. Просвещение.1991г  4. «Геометрия 9­11классы». Учебное пособие для вечерней(сменной) школы. Автор К.С. Барыбин.  Издательство «Просвещение», Москва, 1971г. Используемый материал и интернет ресурсы. 1.http://festival.1september.ru/articles/501456/ "Теорема синусов. Решение треугольников"  2.http://geodesiya.ru/category/izmerenie_uglov/

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."

Методическая разработка урока в 9 классе: "Применение теорем синусов и косинусов при решении задач."
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
06.01.2017