Методические указания по практическим работам по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ХАБАРОВСКОГО КРАЯ ВАНИНСКИЙ ФИЛИАЛ КРАЕВОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ  «СОВЕТСКО­ГАВАНСКИЙ ПРОМЫШЛЕННО­ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ» (ВФ КГБ ПОУ СГПТТ) МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ обучающимся по выполнению практических работ учебной дисциплины: ЕН.03Теория вероятностей и математическая статистика профессии/специальности: 09.02.04 Информационные системы (по отраслям) Одобрена Предметной (цикловой) комиссией дисциплин технического цикла п. Ванино 2016 Разработана на основе ФГОС по профессии/  специальности 09.02.04  Информационные системы (по  отраслям) Автор: _______________________ Рекомендована: Протокол Протокол №_______ От «____»  ______________20___ г. Председатель предметной (цикловой)  комиссии ______________________________ Подпись Ф.И.О. Начальник  УМО ВФ КГБ ПОУ СПГПТТ _____________________________ Подпись Ф.И.О. Составитель: Соломатина А. В., преподаватель ВФ КГБ ПОУ СГПТТ                                Ф.И.О., ученая степень, звание, должность Рецензент: Кованцев Н. Н., преподаватель КГБ ПОУ СГПТТ                           Ф.И.О., ученая степень, звание, должность Пояснительная записка Разработанные методические указания предназначены для обучающихся образовательных   учреждений   среднего   профессионального   образования, изучающих данную дисциплину по специальности 09.02.04 Информационные системы (по отраслям). Цель   методических   указаний   –   обеспечение   поддержки   учебного процесса по технологиям открытого образования. Они могут применяться для различных   форм   обучения   (аудиторной   и   внеаудиторной).   Также   пособие предназначено для обучающихся, которые не имеют возможности прослушать весь   курс   в   полном   объеме   (например,   по   состоянию   здоровья).   Пособие включает в себя информационный блок, примеры решения задач, вопросы для самоконтроля   и   задания   для   самостоятельного   решения.   Методические указания разработаны на основе технологии модульного обучения и содержит основные   сведения,   необходимые   для   организации   и   выполнения   учебных действий обучающимися как на уроках, так и во внеаудиторное время. Наличие   теоретического   материала   и   компонентов,   адресованных учащимся с различным уровнем способностей способствует формированию знаний,   умений   и   навыков   по   теме   «Элементы   комбинаторики, математической статистики и теории вероятности» Структурирование   пособия   поможет   преподавателям   и   обучающимся преобразовать   учебный   процесс   так,   что   обучающийся   самостоятельно (полностью   или   частично)   сможет   обучаться   по   целевой индивидуализированной программе, а это создаст предпосылки не только для освоения   конкретных   предметных   знаний   и   навыков   в   рамках   отдельной дисциплины, но и для формирования совокупности “универсальных учебных действий”, обеспечивающих компетенцию “научить учиться”. Перечень практических работ: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Практическая работа №1 «Элементы комбинаторики» Практическая работа №2 ««Вероятность случайного события» Практическая работа №3 «Вероятность сложных событий» Практическая работа №4 «Полная вероятность. Формула Байеса» Практическая работа №5 «Повторение испытаний» Практическая работа №6 «Распределение дискретной случайной величины» 7. Практическая работа №7 «Математическое ожидание дискретной случайной величины» 8. Практическая   работа   №8   «Дисперсия   дискретной   случайной величины» 9. Практическая   работа   №9   «Характеристики   непрерывной случайной величины» 10. Практическая   работа   №10   «Характеристики   непрерывной случайной величины» 11. Контрольная работа №1 «Случайная величина» 12. Практическая работа №11 «Построение полигона и гистограммы» 13. Практическая   работа   №12   «Точечные   и   интервальные   оценки параметров распределения» 14. Практическая работа №13 «Метод произведений для вычисления выборочной средней и дисперсии » 15. Практическая   работа   №14   «Проверка   гипотезы   о   законе распределения на основе согласия Пирсона» 16. Практическая работа №15 «Моделирование случайных величин» Порядок проведения практической работы: 1. Опрос студентов по теме практической работы в различных формах 2. Краткое сообщение преподавателя о целях практического занятия, порядке его проведения и оформления работы 3. Выдачу вариантов заданий 4. Выполнение практической работы студентами 5. Подведение итогов практического занятия преподавателем Оформление практической работы: 1. Задания выполняются в специально отведенной тетради. 2. Указывается тема практической работы и вариант. 3.   Условия   заданий   не   переписываются,   указывая,   номер   задания, выполняется решение, в конце которого записывается ответ. 4. Все рисунки и схемы выполняются карандашом, с помощью линейки. 5. Задания можно выполнять в произвольном порядке. Практическая работа №1 «Элементы  комбинаторики» 1 Цель: повторение темы “Комбинаторика”, ее истории, основные понятия и задачи,   использование   в   практических   целях   и   в   жизни   человека; формирование умений проводить исследования по данной теме; закрепление умений решения заданий по теме “Комбинаторика”. 2   Оборудование:  канцелярские   принадлежности,   калькулятор,   черновые листы. 3   Условия   проведения:  для   удобства   проведения   данной   практической работы, необходим кабинет «Математических дисциплин». 4 Текст практической работы:  Вариант 1 1.Вычислить  2.Упростить  3.Вычислить  4.Вычислить  !4!6  !3 )!1n( )!2n(   P  6 P 4 ;  4 8A P 5 4 10C 5.Сколькими  способами могут разместиться 5 человек вокруг  круглого   стола? 6.Сколько  двузначных  чисел можно составить из цифр 1,2,3,8,9 так, чтобы  в  каждом  числе не  было одинаковых  цифр? 7.Решить  уравнение Вариант 2 1.Вычислить  2.Упростить  3.Вычислить  !3!5 !6 1  !n 1  )!1n( P 6 P  4 P 3 4.Вычислить  ;  4 8C 5 13A 5.Сколькими  способами можно расставить на полке 6 книг? 6.Сколько  флажков 3 разных цветов можно составить из 5 флажков разного  цвета? 7.Решить  уравнение  C2 x  153 1.Вычислить  2.Упростить  3.Вычислить  4.Вычислить  Вариант 3 !5  !4!3 !n  )!2n( P 20  PP 16 4 ;  2 25A 5 36C 5.Сколькими  способами собрание, состоящее из 18 человек, может выбрать  из своего состава председателя собрания и секретаря? 6. Сколькими  способами можно выбрать 3х дежурных, если в классе 30  человек? 7.Решить  уравнение  2x  C2 21 Вариант 4 1.Вычислить  2.Упростить  !5!7  !6 1  )!1n( 3.Вычислить  4.Вычислить  P 5 6  P !5 ;  5 13A 8 10C 5.Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5  при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется? 6. Сколько вариантов распределения 3х путевок в санаторий различного  профиля можно составить для 5 претендентов? 7.Решить  уравнение  A  3 x 1 20 4 A x 5 Время выполнения: Время на выполнение: 90 минут 6 Требования к оформлению: практическая работа должна быть оформлена на листах А4, рукописный текст, рамка должна быть заполнена. 7 Критерии оценки: Оценка «5» ­  самостоятельная работа  выполнена  в полном  объеме, задачи решены, даны ответы на вопросы, поставленные к задачам. Оценка «4» ­ задачи практической работы решены с недочётами. Оценка «3» ­ допущены ошибки при решении  задач самостоятельной работы. Оценка «2» ­ работа выполнена менее чем наполовину либо не выполнена. 8  Список использованных источников: 1. статистике. – 2014. Соловьев   А.А.   Лекции   по   теории   вероятностей   и   математической Практическая работа №2 «Вероятность случайного события» 1   Цель:  уметь   рассчитывать   вероятность   случайного   события;   уметь рассчитывать в ходе эксперимента частоту определенного события. 2   Оборудование:  канцелярские   принадлежности,   калькулятор,   черновые листы. 3   Условия   проведения:  для   удобства   проведения   данной   практической работы, необходим кабинет «Математических дисциплин». 4 Текст практической работы: 1. При бросании игральной кости вычислить вероятность события «Выпало Вариант 1 2 очка».   2. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубка написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что   на   вытянутых   по   одному   и   расположенных   «в   одну   линию»   кубиков можно будет прочесть слово «спорт». 3. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины. 4.   По   цели   произведено   20   выстрелов,   причем   зарегистрировано   18 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель. 5. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность  того, что все извлеченные детали окажутся окрашены. 6. В окружность вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что эта точка попадает в квадрат. Вариант 2 1. При бросании монеты вычислить вероятность выпадения «решки».   2.   Пять   различных   книг   расставлены   наудачу   на   одной   полке.   Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом. 3. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны   9   студентов,   найти   вероятность   того,   что   среди   отобранных студентов 5 отличников. 4.При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась   равной   0,9.   Найти   число   годных   приборов,   если   всего   было проверено 200 приборов. 5. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна розыскиваемая. Из конверта наудачу извлекают 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная. 6. В окружность вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что эта точка попадает в круг. Вариант 3 1.   При   бросании   игральной   кости   вычислить   вероятность   выпадения четного числа очков.  2. В корзине находятся 20 красных, 15 зеленых шаров. Найти вероятность того, что из 4 выбранных наудачу шаров будет 3 зеленых. 3. На каждой из шести карточек написаны буквы А, Б, И, Р, Ж. После тщательного   перемешивания   берут   по   одной   карточке   и   кладут последовательно   рядом.   Найти   вероятность   того,   что   получится   слово «Биржа». 4.   Отдел   технического   контроля   обнаружил   пять   бракованных   книг   в партии   из   случайно   отобранных   100   книг.   Найти   относительную   частоту появления бракованных книг.  5. В партии из ста банок консервов 12 бракованных. Найти вероятность того, что три взятые банки консервов окажутся бракованными. 6. В окружность вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что эта точка попадает в квадрат. Вариант 4 1.   При   бросании   игральной   кости   вычислить   вероятность   выпадения нечетного числа очков.   2.  В коробке   пять  одинаковых   изделий, причем  три  из  них  окрашены. Наудачу   извлечены   два   изделия.   Найти   вероятность   того,   что   среди   двух извлеченных изделий окажется одно окрашенное изделие. 3. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены четыре детали.   Найти   вероятность   того,   что   среди   извлеченных   деталей   нет бракованных. 4.  В  партии   из  100  деталей   отдел   технического   контроля   обнаружил  5 нестандартных   деталей.   Чему   равна   относительная   частота   появления стандартных деталей. 5.   В   канцелярии   народного   суда   находится   26   дел,   среди   которых   17 уголовных. Наудачу для проверки документации извлекается 5 дел. Найти вероятность того, что взятые наудачу дела окажутся не уголовными. 6. В окружность вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что эта точка попадает в круг. 5 Время выполнения: Время на выполнение: 90 минут 6 Требования к оформлению: практическая работа должна быть оформлена на листах А4, рукописный текст, рамка должна быть заполнена. 7 Критерии оценки: Оценка «5» ­  самостоятельная работа  выполнена  в полном  объеме, задачи решены, даны ответы на вопросы, поставленные к задачам. Оценка «4» ­ задачи практической работы решены с недочётами. Оценка «3» ­ допущены ошибки при решении  задач самостоятельной работы. Оценка «2» ­ работа выполнена менее чем наполовину либо не выполнена. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособ. для студ 8  Список использованных источников: 1. втузов/Е.С.Вентцель и др. ­  М.: Издательский центр «Академия», 2014. 2. Практические занятия. – Кишинэу, 2015. Кузнецов   В.М.   Программа,   методические   указания   и   типовые   задачи   по теории вероятностей и математической статистике. – Ростов­на­Дону, 2015. Кирилов   П.В.   Теория   вероятностей   и   математическая   статистика: Практическая работа №3 «Вероятность сложных событий» 1   Цель:  вычисление   вероятностей   сложных   событий   с   использованием формулы полной вероятности, формулы Байеса и Бернулли. 2   Оборудование:  канцелярские   принадлежности,   калькулятор,   черновые листы. 3   Условия   проведения:  для   удобства   проведения   данной   практической работы, необходим кабинет «Математических дисциплин». 4 Текст практической работы: Вариант 1 1.В   электрическую   цепь   последовательно     включены     три     элемента, работающие   независимо   один   от   другого.   Вероятности     отказов     первого­ 0,1,второго­0,15, третьего­0,2. Найти вероятность   того, что тока в цепи   не будет. 2.Среди     100     лотерейных       билетов     есть   5   выигрышных.   Найти   окажутся   наудачу   выбранные     билета   вероятность   выигрышными.    того,   что     2   3. На     стеллаже    библиотеки    в   случайном  порядке    расставлено   15 учебников, причем  5 из  них   в  переплете. Библиотекарь   берёт наудачу 3 учебника. Найти  вероятность  того, что  хотя  бы один  из  взятых  учебников окажется  в  переплёте. 4.Два     спортсмена     независимо     друг     от     друга     стреляют     по   одной мишени. Вероятность попадания  в  мишень  первого ­0.7,  второго­0,8. Какова вероятность того, что мишень будет  поражена? 5.Отдел технического   контроля проверяет   на   стандартность   по   двум параметрам  серию  изделий.  Было  установлено, что  у 8  из   25  изделий  не выдержан   только первый параметр, у   6   изделий ­только   второй, а   у   3 изделий  не  выдержаны  оба   параметра. Наудачу  берется  одно из  изделий. Какова  вероятность  того, что  оно не  удовлетворяет  стандарту? 6.От   здания       аэровокзала     к     трапам   самолётов     отправились     два автобуса.     Вероятность   своевременного   прибытия   каждого   автобуса   к трапам     равна     0,95.   Найти     вероятность     того,   что   хотя     бы   один     из автобусов  прибудет  вовремя.  Вариант 2 1.В   электрическую   цепь   последовательно     включены     три     элемента, работающие   независимо   один   от   другого.   Вероятности     отказов     первого­ 0,1,второго­0,15, третьего­0,2. Найти вероятность   того, что тока в цепи   не будет. 2.Среди     100     лотерейных       билетов     есть   5   выигрышных.   Найти   окажутся   наудачу   выбранные     билета   вероятность   выигрышными.    того,   что     2   3. На     стеллаже    библиотеки    в   случайном  порядке    расставлено   15 учебников, причем  5 из  них   в  переплете. Библиотекарь   берёт наудачу 3 учебника. Найти  вероятность  того, что  хотя  бы один  из  взятых  учебников окажется  в  переплёте. 4.Два     спортсмена     независимо     друг     от     друга     стреляют     по   одной мишени. Вероятность попадания  в  мишень  первого ­0.7,  второго­0,8. Какова вероятность того, что мишень будет  поражена? 5.Отдел технического   контроля проверяет   на   стандартность   по   двум параметрам  серию  изделий.  Было  установлено, что  у 8  из   25  изделий  не выдержан   только первый параметр, у   6   изделий ­только   второй, а   у   3 изделий  не  выдержаны  оба   параметра. Наудачу  берется  одно из  изделий. Какова  вероятность  того, что  оно не  удовлетворяет  стандарту? 6.От   здания       аэровокзала     к     трапам   самолётов     отправились     два автобуса.     Вероятность   своевременного   прибытия   каждого   автобуса   к трапам     равна     0,95.   Найти     вероятность     того,   что   хотя     бы   один     из автобусов  прибудет  вовремя.  5 Время выполнения: 90 минут. 6 Требования к оформлению: практическая работа должна быть оформлена на листах А4, рукописный текст, рамка должна быть заполнена. 7 Критерии оценки: Оценка «5» ­  самостоятельная работа  выполнена  в полном  объеме, задачи решены, даны ответы на вопросы, поставленные к задачам. Оценка «4» ­ задачи практической работы решены с недочётами. Оценка «3» ­ допущены ошибки при решении  задач самостоятельной работы. Оценка «2» ­ работа выполнена менее чем наполовину либо не выполнена. 8 Список использованных источников: Гурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и 1. математической статистике. ­ М.: Высшая школа 2014. Практическая работа №4 «Полная вероятность. Формула Байеса» 1   Цель:  изучение   темы   "Условные   вероятности,   формула   полной вероятности.   Формула   Байеса"   с   точки   зрения   новейших   отечественных   и зарубежных исследований по сходной проблематике. 2   Оборудование:  канцелярские   принадлежности,   калькулятор,   черновые листы. 3   Условия   проведения:  для   удобства   проведения   данной   практической работы, необходим кабинет «Математических дисциплин». 4 Текст практической работы: Вариант 1 1.На трех станках различной марки изготовляется определенная деталь. Производительность первого станка за смену составляет 40 деталей, второго ­ 35 деталей, третьего – 25 деталей. Установлено, что 2, 3 и 5% продукции этих станков соответственно имеют скрытые дефекты. В конце смены на контроль взята одна деталь. Какова вероятность, что она нестандартная? 2.   В   урну,   содержащую   2   шара,   опущен   белый   шар,   после   чего   из   нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется   белым,   если   равновозможны   все   возможные   предположения   о первоначальном составе шаров (по цвету). 3.   В   ящике   содержится   12   деталей,   изготовленных   на   заводе   №1,   20 деталей   на  заводе   №2  и 18  деталей   на  заводе   №3.  Вероятность   того,  что деталь,   изготовленная   на   заводе   №1,   отличного   качества,   равна   0,9;   для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3, эти вероятности соответственно равны  0,6  и  0,9.  Найти   вероятность   того,  что   извлеченная   наудачу   деталь окажется отличного качества. 4.  Два   автомата   производят   одинаковые   детали,  которые   поступают   на общий   конвейер.   Производительность   первого   автомата   вдвое   больше производительности   второго.   Первый   автомат   производит   в   среднем   60% деталей  отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом. 5. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием   К,   30%   ­   с   заболеванием  L,   20%   ­   с   заболеванием   М. Вероятность полного излечен6ия болезни К равна 0,7. Для болезней L и М эти вероятности   соответственно   равны   0,8   и   0,9.   Больной,   поступивший   в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К. 6. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина равна 0,1. для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина. Вариант 2 1. Была   проведена   одна   и   та   же   контрольная   работа   в   трех параллельных группах. В 1­ой группе, где 30 учащихся, оказалось 8 работ, выполненных на «отлично»; во 20ой, где 28 учащихся – 6 работ, в 3­ей, где 27 учащихся – 9 работ. Найти вероятность того, что первая взятая наудачу при повторной проверке работа из работ, принадлежащих группе, которая также выбрана наудачу, окажется выполненной на «отлично». 2. В   пирамиде   5   винтовок,   три   из   которых   снабжены   оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки. В вычислительной лаборатории имеется шесть клавишных автомата и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета   автомат   не   выйдет   из   строя,   равна   0,95.   для   полуавтомата   эта вероятность   равна   0,8.   Студент   производит   расчет   на   наудачу   выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя. 3. 4. В   пирамиде   10   винтовок,   из   которых   4   снабжены   оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95. Для винтовки без оптического прицела   0,8.   Стрелок   поразил   мишень   их   наудачу   взятой   винтовки.   Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него? Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие опадет к первому товароведу равна 0,55,а ко второму­  0,45.  Вероятность   того,  что  стандартное   изделие  будет  признано стандартным первым товароведом равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное 5. изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил первый товаровед. 6. Две   перфораторщицы   набили   на   разных   перфораторах   по одинаковому   комплекту   перфокарт.   Вероятность   того,   что   первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05, для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти   вероятность   того,   что   ошиблась   первая   перфораторщица. (предполагается, что оба перфоратора были исправны). 5 Время выполнения: 90 минут. 6 Требования к оформлению: практическая работа должна быть оформлена на листах А4, рукописный текст, рамка должна быть заполнена. 7 Критерии оценки: Оценка «5» ­  самостоятельная работа  выполнена  в полном  объеме, задачи решены, даны ответы на вопросы, поставленные к задачам. Оценка «4» ­ задачи практической работы решены с недочётами. Оценка «3» ­ допущены ошибки при решении  задач самостоятельной работы. Оценка «2» ­ работа выполнена менее чем наполовину либо не выполнена. Кочетков   Е.С.   и   др.   Теория   вероятностей   и   математическая 8 Список использованных источников: 1. статистика: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА­М, 2015. 2. 3. математической статистике. ­ М.: Высшая школа 2014. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. ­ М.: Высшая школа, 2014. Гурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и Практическая работа №5 «Повторение испытаний» Вероятность работы автомата в некоторый момент времени равна p.  1 Цель: формировать практические умения и навыки решения типовых задач. 2   Оборудование:  канцелярские   принадлежности,   калькулятор,   черновые листы. 3   Условия   проведения:  для   удобства   проведения   данной   практической работы, необходим кабинет «Математических дисциплин». 4 Текст практической работы: 1. Имеется n независимых работающих автоматов. Найти вероятность того, что: а) в данный момент работает ровно m автоматов б) не работают все автоматы в) работают все автоматы г) работает более m автоматов д) работает менее m автоматов е) работает не менее m автоматов № п/п 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. p 0,55 0,62 0,7 0,8 0,45 0,1 0,05 0,2 0,07 0,08 0,45 0,52 0,57 0,48 0,5 0,2 0,4 0,67 0,9 n 7 6 8 5 10 7 5 6 8 4 5 6 4 7 8 8 6 6 8 m 4 2 5 3 6 3 2 4 3 2 2 3 2 4 3 3 4 2 5 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 0,72 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 0,7 0,6 0,5 0,3 0,5 9 9 10 11 12 10 9 8 7 7 5 6 4 5 6 7 8 7 6 5 4 2 2. На   конвейер   за   смену   поступает  n  изделий.   Вероятность   того,   что поступившая на конвейер деталь стандартна равна p. Найти вероятность того, что стандартных деталей на конвейер за смену поступило ровно m. № п/п 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. n 300 400 625 150 100 192 600 400 144 100 220 350 300 500 250 180 420 250 600 200 P m 0,75 0,8 0,8 0,6 0,9 0,75 0,6 0,9 0,8 0,85 0,55 0,6 0,9 0,75 0,65 0,72 0,83 0,67 0,84 0,67 240 330 510 75 96 150 375 372 120 92 140 260 280 390 190 140 380 210 570 150 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 0,31 0,12 0,43 0,74 0,23 0,60 0,27 0,45 0,58 0,32 371 145 427 602 185 390 156 173 209 82 5 Время выполнения: 90 минут. 6 Требования к оформлению: практическая работа должна быть оформлена на листах А4, рукописный текст, рамка должна быть заполнена. 7 Критерии оценки: Оценка «5» ­  самостоятельная работа  выполнена  в полном  объеме, задачи решены, даны ответы на вопросы, поставленные к задачам. Оценка «4» ­ задачи практической работы решены с недочётами. Оценка «3» ­ допущены ошибки при решении  задач самостоятельной работы. Оценка «2» ­ работа выполнена менее чем наполовину либо не выполнена. Гурман В.Е.   Теория вероятностей и математическая статистика. ­ М.: Калинина   В.Н.,   Панкин  В.Ф.   Математическая   статистика.   ­   М.: 8 Список использованных источников: 1. Высшая школа, 2014. 2. Высшая школа, 2014. Практическая работа №6 «Распределение дискретной случайной величины» 1   Цель:  закрепление   теоретического   материала   по   изучению   среднего квадратичного отклонения дисперсии дискретной случайной величины. 2   Оборудование:  канцелярские   принадлежности,   калькулятор,   черновые листы. 3   Условия   проведения:  для   удобства   проведения   данной   практической работы, необходим кабинет «Математических дисциплин». 4 Текст практической работы: Вариант 1 1. Игральная кость брошена 3 раза Написать закон распределения числа появления шестерки. 2.   Построить   многоугольник   распределения   дискретной   случайной величины X, описанной в задаче первой. 3. Прядильщица обслуживает 1000 веретён. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004.Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдёт на пяти веретенах. 4.   После   ответа   студента   на   вопросы   экзаменационного   билета экзаменатор   задает   студенту   дополнительные   вопросы.   Преподаватель прекращает   задавать   вопросы,   как   только   студент   обнаруживает   незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос,   равна  0.4.    Составить   закон   распределения   дискретной   случайной величины X ­ числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту. 5. В магазин привезли 20 коробок с обувью, причем в 7­ми из них обувь белого цвета. Наудачу отобрали 3 коробки. Написать закон распределения дискретной случайной величины X­ числа коробок с обувью белого цвета среди отобранных. Вариант 2 1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,4. Написать закон распределения  случайной   величины X ­  числа   попаданий   в  цель   при   семи выстрелах. 2.   Построить   многоугольник   распределения   дискретной   случайной величины X, описанной в задаче первой. 3. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001.Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг. 4.   После   ответа   студента   на   вопросы   экзаменационного   билета экзаменатор   задает   студенту   дополнительные   вопросы.   Преподаватель прекращает   задавать   дополнительные   вопросы,   как   только   студент обнаруживает   незнание   заданного   вопроса.   Вероятность   того,   что   студент ответит   на   любой   заданный   дополнительный   вопрос   равна   0,9.   Требуется составить  закон  распределения  случайной  дискретной  величины X ­ числа дополнительных вопросов , которые задаст преподаватель студенту. 5. В партии из 24 изделий шесть ­ дефектных. Произвольным образом выбрали пять изделий. Написать закон распределения дискретной случайной величины X­ числа дефектных изделий из избранных. Вариант 3 1.   Электронный   блок   состоит   из   шести   независимо   работающих элементов,   вероятность   отказа   которых   равна   0,12.   Составить   закон распределения случайной величины X ­ числа отказов элементов блока. 2.   Построить   многоугольник   распределения   дискретной   случайной величины X, описанной в задаче первой. 3. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от   другого.   Вероятность   отказа   любого   элемента   в   течение   некоторого времени равна 0,002. Найти вероятность того, что за указанное время откажут три элемента. 4. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле , равна   0,8.   Стрелку   выдают   патроны   до   тех   пор,   пока   он   не   промахнется Требуется составить закон распределения дискретной случайной величины X ­ числа патронов, выданных стрелку. 5. В корзине пять белых и три черных шара. Наудачу извлекают четыре шара. Составить закон распределения случайной величины X ­ числа белых шаров   среди   выбранных.   Найти   числовые   характеристики   полученной случайной величины. Вариант 4 1.   Вероятность   того,   что   в   библиотеке   необходима   студенту   книга свободна,   равна   0,4.   Составить   закон   распределения   библиотек,   которые просит   студент,   если   в   городе   пять   библиотек.   Построить   функцию распределения случайной величины и найти ее числовые характеристики. 2.   Построить   многоугольник   распределения   дискретной   случайной величины X, описанной в задаче первой. 3. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что   при   перевозке   бутылка   окажется   разбитой,   равна   0,003.   Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок ровно две. 4. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна  0,6.   Стрелку   выдают   патроны   до   тех   пор,   пока   он   не   промахнется. Требуется составить закон распределения дискретной случайной величины X ­ числа патронов, выданных стрелку. 5. Монета подбрасывается восемь раз. Составить закон распределения случайной величины X ­ числа появлений герба. 5 Время выполнения: 90 минут. 6 Требования к оформлению: практическая работа должна быть оформлена на листах А4, рукописный текст, рамка должна быть заполнена. 7 Критерии оценки: Оценка «5» ­  самостоятельная работа  выполнена  в полном  объеме, задачи решены, даны ответы на вопросы, поставленные к задачам. Оценка «4» ­ задачи практической работы решены с недочётами. Оценка «3» ­ допущены ошибки при решении  задач самостоятельной работы. Оценка «2» ­ работа выполнена менее чем наполовину либо не выполнена. Соловьев   А.А.   Лекции   по   теории   вероятностей   и   математической 8 Список использованных источников: 1. статистике. – 2014. 2. пособие для вузов/В.А.Ватутин и др. – М.: Дрофа, 2014. Теория   вероятностей   и   математическая   статистика   в   задачах:   Учеб. Практическая работа №7 «Математическое ожидание дискретной случайной величины» 1   Цель:  дать   навыки   построения   законов   распределения   дискретных случайных величин и вычисления числовых характеристик. 2   Оборудование:  канцелярские   принадлежности,   калькулятор,   черновые листы. 3   Условия   проведения:  для   удобства   проведения   данной   практической работы, необходим кабинет «Математических дисциплин». 4 Текст практической работы: 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, Вариант 1 заданной законом распределения: X  р 1 0,08 4 0,35 7 0,22 12 0,35 2. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины  Z,. если известны математические ожидания X и Y: M(Y)=4 Z=3X+2Y+8 М(Х)=3 3. В   комнате   установлены   4   независимо   работающих   светильника. Вероятность   перегорания   лампочки   при   включении   0,2.   Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X­ числа перегоревших   лампочек   при   одном   одновременном   включении светильников. 4.  Дискретные независимые случайные  величины заданны законами распределения: 2 X p 0,2 1 0,6 3 0,1 5 0,1 Y p 4 0,3 7 0,2 8 0,5 Найти математическое ожидание суммы X+Y двумя способами: а) составив законы распределения X+Y; б) пользуясь свойством 4. 4. Дискретные   независимые   случайные   величины   заданны   законами распределения: 2 0,2 1 0,6 X p 3 0,1 5 0,1 Y p 4 0,3 7 0,2 8 0,5 Найти математическое ожидание произведение Х*У двумя способами: а) составив законы распределения X*Y; б) пользуясь свойством 3. 6.   *Дан   перечень   возможных   значений   дискретной   случайной величины   X:   х1=1,х2=2,х3=3   ,   а   также   известны   математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х)=2,3 ; М(Х2)=5,9. Найти вероятности соответствующие возможным значениям X. Вариант 2 1. Найти   математическое   ожидание   дискретной   случайной   величины   X, заданной законом распределения: X  р 3 0,16 5 0,18 8 0,51 11 0,15 2. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Z,. если известны математические ожидания X и Y: Z=7X+4Y+3 М(Х)=4 M(Y)=5 3. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных .Наудачу отобраны две   детали.   Найти   математическое   ожидание   дискретной   случайной величины Х­числа нестандартных деталей среди отобранных. 4. Дискретные   независимые   случайные   величины   заданны   законами распределения: X p 1 0,3 3 0,1 7 0,2 9 0,4 Y p 2 0,7 4 0,1 5 0,2 Найти математическое ожидание суммы X+Y двумя способами: а)составив законы распределения X+Y; б) пользуясь свойством 4 5. Дискретные   независимые   случайные   величины   заданны   законами распределения: X p 1 0,3 3 0,1 7 0,2 9 0,4 Y p 2 0,7 4 0,1 5 0,2 Найти математическое ожидание произведение  X*Y  двумя способами: а) составив законы распределения X*Y; б) пользуясь свойством 3. 6. *Дан   перечень   возможных   значений   дискретной   случайной   величины   X: х1=1,  x2=2,   х3=3   ,   а   также   известны   математические   ожидания   этой величины   и   ее   квадрата:   Найти вероятности,соответствующие возможным значениям X.   М(Х)=2,3     М(Х2)=5,9. ; Вариант 3 1. Найти   математическое   ожидание   дискретной   случайной   величины   X, заданной законом распределения: X  р 0,21 0,1 0,54 0,3 0,61 0,4 0,73 0,2 2. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Z,. если известны математические ожидания X и Y: Z=2X+3Y+6 М(Х)=2 M(Y)=6 3. В   ящике   15   деталей,   среди   которых   10   окрашенных.   Сборщик   наудачу извлекает 3 детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х­числа не окрашенных деталей, среди 3 извлеченных. 4. Дискретные   независимые   случайные   величины   заданны   законами распределения: X p 2 0,2 4 0,1 6 0,3 8 0,4 Y p 3 0,6 5 0,3 7 0,1 Найти математическое ожидание суммы X+Y двумя способами: а) составив законы распределения X+Y; б) пользуясь свойством 4. 5. Дискретные   независимые   случайные   величины   заданны   законами распределения: X p 2 0,2 4 0,1 6 0,3 8 0,4 Y p 3 0,6 5 0,3 7 0,1 Найти   математическое   ожидание   произведение  X*Y  двумя   способами:   а) составив законы распределения X*Y; б) пользуясь свойством 3. 7. 6. *Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: х1=1,х2=2,х3=3   ,   а   также   известны   математические   ожидания   этой величины   и   ее   квадрата:   Найти вероятности,соответствующие возможным значениям X.   М(Х)=2,3   ;   М(Х2)=5,9. 5 Время выполнения: 90 минут. 6 Требования к оформлению: практическая работа должна быть оформлена на листах А4, рукописный текст, рамка должна быть заполнена. 7 Критерии оценки: Оценка «5» ­  самостоятельная работа  выполнена  в полном  объеме, задачи решены, даны ответы на вопросы, поставленные к задачам. Оценка «4» ­ задачи практической работы решены с недочётами. Оценка «3» ­ допущены ошибки при решении  задач самостоятельной работы. Оценка «2» ­ работа выполнена менее чем наполовину либо не выполнена. Мазепа   Е.А.Краткий   конспект   лекций   по   теории   вероятностей.   – 8 Список использованных источников: 1. Волгоград, 2015. 2. Челябинск, 2014. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Айрис­Пресс, 2014. Основные понятия, формулы и распределения теории вероятностей. – Практическая работа №8 «Дисперсия дискретной случайной величины» 1   Цель:  закрепление   теоретического   материала   по   изучению   среднего квадратичного отклонения дисперсии дискретной случайной величины 2   Оборудование:  канцелярские   принадлежности,   калькулятор,   черновые листы. 3   Условия   проведения:  для   удобства   проведения   данной   практической работы, необходим кабинет «Математических дисциплин». 4 Текст практической работы: Вариант 1 1. Случайные величины Х1, Х2, Х3  независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=X1­2X2+3X3­4, если D(X1)=4, D(X2)=5, D(X3)=3. 2.  Вычислить   дисперсии   и   среднее   квадратическое   отклонение   дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения. Х р 4,3 0,2 5,1 0,3 10,6 0,5 3. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х­числа события А в пяти   независимых   испытаниях,   если   вероятность   появления   событий   А   в каждом испытании равна 0,2. 4. В ящике 10 деталей, из них 2 бракованных. Наудачу извлечены 3 детали. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа бракованных деталей. 5. Дискретная случайная величина Х имеет только три возможных значения: х1=1, х2 и х3, причем х1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значение х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения величины Х, зная математическое ожидание М(Х)=2,2 и дисперсию D(X)=0,76 Вариант 2 1. Случайные величины Х1, Х2, Х3  независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=4X1+X2­3X3­5, если D(X1)=3, D(X2)=8, D(X3)=2. 2.  Вычислить   дисперсии   и   среднее   квадратическое   отклонение   дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения. Х р 45 0,1 87 0,6 106 0,3 3.   В   комнате   периодически   включают   электрическую   лампочку.   Найти дисперсию   дискретной   случайной   величины   Х   –   числа   перегоревших лампочек,   если   свет   включали   10   раз.   Вероятность   того,   что   лампочка перегорит равна 0,1. 4.   Игральная   кость   брошена   3   раза.   Найти   дисперсию   и   среднее квадратическое   отклонение   дискретной   случайной   величины   Х   –   числа появлений шестерки. 5. Дискретная случайная величина Х имеет только три возможных значения: х1=6, х2 и х3, причем х1>х2>х3. Вероятность того, что Х примет значение х1 и х2, соответственно равны 0,2 и 0,4. Найти закон распределения величины Х, зная математическое ожидание М(Х)=3,2 и дисперсию D(X)=2,16 5 Время выполнения: 90 минут. 6 Требования к оформлению: практическая работа должна быть оформлена на листах А4, рукописный текст, рамка должна быть заполнена. 7 Критерии оценки: Оценка «5» ­  самостоятельная работа  выполнена  в полном  объеме, задачи решены, даны ответы на вопросы, поставленные к задачам. Оценка «4» ­ задачи практической работы решены с недочётами. Оценка «3» ­ допущены ошибки при решении  задач самостоятельной работы. Оценка «2» ­ работа выполнена менее чем наполовину либо не выполнена. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособ. для студ 8 Список использованных источников: 1. втузов/Е.С.Вентцель и др. ­  М.: Издательский центр «Академия», 2014. 2. Практические занятия. – Кишинэу, 2015. Кузнецов   В.М.   Программа,   методические   указания   и   типовые   задачи   по теории вероятностей и математической статистике. – Ростов­на­Дону, 2015. Кирилов   П.В.   Теория   вероятностей   и   математическая   статистика: Практическая работа №9 «Характеристики непрерывной случайной величины» 1   Цель:  Нахождение   закона   распределения,   функции   распределения   и числовых характеристик случайной величины. 2   Оборудование:  канцелярские   принадлежности,   калькулятор,   черновые листы. 3   Условия   проведения:  для   удобства   проведения   данной   практической работы, необходим кабинет «Математических дисциплин». 4 Текст практической работы:  Вариант 1 1. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти  вероятность того, что в результате испытаний х примет значение, заключенное в интервале (2,3).  приx 2  ,3/15/ при  4 приx ,0 x ,1  )( xF  4 2      x 10 0,3 7 0,4 4 0,1 3 0,2 2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения.  Построить график функций этой величины. X p 3. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)=0. Найти  дисперсию величины х. 4. Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой величины соответственно равны 20   и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение,  заключенной в интервале (15, 25). 5. Случайная величина распределена нормально. Среднее квадратическое  отклонение  этой величины равно 0,4. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной  величине будет меньше 0,3. Вариант 2 1. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти  вероятность того, что в результате испытаний х примет значение, заключенное в интервале (0,1).  2 приx  ,6/16/ при 3 приx  3 ,0 x ,1 )( xF   2 x      2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения.  Построить график функций этой величины. X p 3. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)=0. Найти  дисперсию величины х. ­1 0,1 8 0,4 2 0,4 4 0,1 )( xF  приx ,0  2 ,1 x приx ,1  0 0 при  3       1 x 4. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами а=8,5 и  =1,6. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет  значение, заключенной в интервале (7,3; 10,9). 5. Ошибка измерителя частоты подчинена нормальному распределению с  параметрами а=5 Гц,   =10 Гц. Найти вероятность того, что измеренное  значение частоты отличается от истинного не более, чем на 20 Гц. 5 Время выполнения: 90 минут. 6 Требования к оформлению: практическая работа должна быть оформлена на листах А4, рукописный текст, рамка должна быть заполнена. 7 Критерии оценки: Оценка «5» ­  самостоятельная работа  выполнена  в полном  объеме, задачи решены, даны ответы на вопросы, поставленные к задачам. Оценка «4» ­ задачи практической работы решены с недочётами. Оценка «3» ­ допущены ошибки при решении  задач самостоятельной работы. Оценка «2» ­ работа выполнена менее чем наполовину либо не выполнена. Волковец   А.И.   Теория   вероятностей   и   математическая   статистика: Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и 8 Список использованных источников: 1. Конспект лекций. – Минск, 2013. 2. математической статистике. –М.: Высшая школа, 2015. 3. Наука, 2014. Гнеденко   Б.В.   Элементарное   введение   в  теорию   вероятностей. –  М.: Практическая работа №10 «Характеристики непрерывной случайной величины» 1   Цель:  Нахождение   значений,   вероятностей   и   характеристик   случайных величин, распределенных по основным законам НСВ. 2   Оборудование:  канцелярские   принадлежности,   калькулятор,   черновые листы. 3   Условия   проведения:  для   удобства   проведения   данной   практической работы, необходим кабинет «Математических дисциплин». 4 Текст практической работы: Вариант 1 1. Случайная   величина   Х   задана   плотностью   распределения  f(x)=2x  в интервале (0,1); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание величины X. Случайная   величина   Х   задана   плотностью   распределения  f(x)=cosx  в 2. интервале   (0; f(x)=0.   Найти   математическое ожидание   функции  Y=ϕ(X)=X2  (не   находя   предварительно   плотности распределения Y). π /2);   вне   этого   интервала   Вариант 2 1. Случайная   величина   Х   задана   плотностью   распределения  f(x)=   в   интервале   (­с,с);   вне   этого   интервала  f(x)=0.   Найти  с  2 2 ) x /(1 математическое ожидание величины X. 2. Случайная величина Х задана плотностью распределения  f(x)=x+0,5 в интервале (0;1); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание функции Y= X3 (не находя предварительно плотности распределения Y). 5 Время выполнения: 90 минут. 6 Требования к оформлению: практическая работа должна быть оформлена на листах А4, рукописный текст, рамка должна быть заполнена. 7 Критерии оценки: Оценка «5» ­  самостоятельная работа  выполнена  в полном  объеме, задачи решены, даны ответы на вопросы, поставленные к задачам. Оценка «4» ­ задачи практической работы решены с недочётами. Оценка «3» ­ допущены ошибки при решении  задач самостоятельной работы. Оценка «2» ­ работа выполнена менее чем наполовину либо не выполнена. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. ­ М.: Высшая школа, 2014. Гурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и 8 Список использованных источников: 1. 2. математической статистике. ­ М.: Высшая школа 2014. 3. Учебное пособие. ­ М.: ФОРУМ: ИНФРА­М, 2015. Кочетков Е.С. и др. Теория вероятностей в задачах и упражнениях: Контрольная работа №1 «Случайная величина» 1 Цель: Выявить уровень знаний и умений по теме: Случайная величина, ее математическое ожидание и дисперсия. Основы математической статистики. 2   Оборудование:  канцелярские   принадлежности,   калькулятор,   черновые листы. 3   Условия   проведения:  для   удобства   проведения   данной   практической работы, необходим кабинет «Математических дисциплин». 4 Текст практической работы: Вариант 1 1.Вычислить  !3!5 !6 2.  В  мешочке   имеется  5  одинаковых   кубиков.   На   всех   гранях   каждого кубка написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что   на   вытянутых   по   одному   и   расположенных   «в   одну   линию»   кубиков можно будет прочесть слово «спорт». 3.Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков. 4. Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту   перфокарт.   Вероятность   того,   что   первая   перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05, для второй перфораторщицы эта вероятность равна   0,1.   При   сверке   перфокарт   была   обнаружена   ошибка.   Найти вероятность   того,   что   ошиблась   первая   перфораторщица.   (предполагается, что оба перфоратора были исправны). 5. Вероятность работы автомата в некоторый момент времени равна 0,55.  Имеется 7 независимых работающих автоматов. Найти вероятность того, что: а) в данный момент работает ровно 7 автомата б) не работают все автоматы Вариант 2 1.Вычислить  !5!7  !6 2. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены четыре детали.   Найти   вероятность   того,   что   среди   извлеченных   деталей   нет бракованных. 3. От здания   аэровокзала к трапам самолётов отправились два автобуса. Вероятность своевременного прибытия каждого автобуса к трапам равна 0,95. Найти вероятность того, что хотя бы один из автобусов прибудет вовремя.  4. Была проведена одна и та же контрольная работа в трех параллельных группах. В 1­ой группе, где 30 учащихся, оказалось 8 работ, выполненных на «отлично»; во 20ой, где 28 учащихся – 6 работ, в 3­ей, где 27 учащихся – 9 работ.  Найти   вероятность   того,  что   первая   взятая   наудачу   при   повторной проверке  работа  из  работ,  принадлежащих  группе,  которая  также   выбрана наудачу, окажется выполненной на «отлично». 5. На конвейер за смену поступает 300 изделий. Вероятность того, что поступившая на конвейер деталь стандартна равна 0,75. Найти вероятность того, что стандартных деталей на конвейер за смену поступило ровно 240. Вариант 3 1. Вычислить  !5  !4!3 2.   Отдел   технического   контроля   обнаружил   пять   бракованных   книг   в партии   из   случайно   отобранных   100   книг.   Найти   относительную   частоту появления бракованных книг.  3. В трех залах кинотеатра идут три различных фильма. Вероятность того, что на определенный час в кассе 1­го зала есть билеты, равна 0,3, в кассе 2­ого зала – 0,2, а в кассе 3­го зала – 0,4. Какова вероятность того, что на данный час имеется возможность купить билет хотя бы на один фильм? 4. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95. Для винтовки без оптического прицела 0,8. Стрелок поразил мишень их наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него? 5.   В   некоторой   партии   100   деталей.   Вероятность   того,   что   изделие стандартно равна 0,8. Найти вероятность того, что среди выбранных наудачу изделий стандартных окажется от 70 до 80. Вариант 4 1. Вычислить  !4!6  !3 2. При   испытании   партии   приборов   относительная   частота   годных приборов  оказалась   равной  0,9.  Найти   число   годных   приборов,   если   всего было проверено 200 приборов. 3. Устройство   содержит   два   независимо   работающих   элемента. Вероятности   отказа   элементов   соответственно   равны   0,05   и   0,08.   Найти вероятности   отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 4. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие опадет к первому товароведу равна 0,55,а ко второму­  0,45.  Вероятность   того,  что  стандартное   изделие  будет  признано стандартным первым товароведом равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил первый товаровед. 5. Вероятность работы автомата в некоторый момент времени равна 0,62. Имеется 6 независимых работающих автоматов. Найти вероятность того, что: а) в данный момент работает ровно 2 автоматов б) не работают все автоматы 5 Время выполнения: 90 минут. 6 Требования к оформлению: практическая работа должна быть оформлена на листах А4, рукописный текст, рамка должна быть заполнена. 7 Критерии оценки: Оценка «5» ­  самостоятельная работа  выполнена  в полном  объеме, задачи решены, даны ответы на вопросы, поставленные к задачам. Оценка «4» ­ задачи практической работы решены с недочётами. Оценка «3» ­ допущены ошибки при решении  задач самостоятельной работы. Оценка «2» ­ работа выполнена менее чем наполовину либо не выполнена. 8 Список использованных источников: 1. 2. математической статистике. ­ М.: Высшая школа 2014. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. ­ М.: Высшая школа, 2014. Гурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и Практическая работа №11 «Построение полигона и гистограммы» 1 Цель:  Проверить умения учащихся по исходным данным строить разные виды диаграмм и графиков. 2   Оборудование:  канцелярские   принадлежности,   калькулятор,   черновые листы. 3   Условия   проведения:  для   удобства   проведения   данной   практической работы, необходим кабинет «Математических дисциплин». 4 Текст практической работы: 1. Выборка задана в виде распределения частот: Вариант 1 xi ni Найти распределение относительных частот 3 4 5 6 8 7 13 14 15 10 2. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки: xi ni 7 10 9 12 12 18 15 30 17 10 3. Построить полигон частот по данному распределению выборки: xi ni 3 4 5 6 8 7 13 14 15 10 18 9 20 20 18 9 4. Построить полигон относительных частот по данному распределению  выборки: xi ni 7 10 9 12 12 18 15 30 17 10 20 20 5. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки: Частичный интервал  Xi­Xi+1 3­5 5­7 7­9 9­11 11­13 13­15 15­17 Сумма частот  вариант интервала ni 16 6 14 24 20 8 12 6. Построить гистограмму относительных частот по данному  распределению выборки: Частичный интервал  Xi­Xi+1 10­15 15­20 20­25 25­30 30­35 35­40 40­45 Сумма частот  вариант интервала ni 16 6 14 24 20 8 12 Вариант 2 1. Выборка задана в виде распределения частот: xi ni Найти распределение относительных частот 6 10 8 15 10 30 14 10 17 10 2. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки: xi ni 4 6 7 2 8 4 12 10 18 16 3. Построить полигон частот по данному распределению выборки: xi ni 6 10 8 15 10 30 14 10 17 10 21 25 21 25 22 12 4. Построить полигон относительных частот по данному распределению  выборки: xi ni 4 6 7 2 8 4 12 10 18 16 22 12 5. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки: Частичный интервал  Xi­Xi+1 10­15 15­20 20­25 25­30 30­35 Сумма частот  вариант интервала ni 14 8 16 40 10 35­40 40­45 6 12 6. Построить гистограмму относительных частот по данному  распределению выборки: Частичный интервал Xi­Xi+1 3­5 5­7 7­9 9­11 11­13 13­15 15­17 Сумма частот  вариант  интервала ni 4 6 20 40 20 4 6 5 Время выполнения: 90 минут. 6 Требования к оформлению: практическая работа должна быть оформлена на листах А4, рукописный текст, рамка должна быть заполнена. 7 Критерии оценки: Оценка «5» ­  самостоятельная работа  выполнена  в полном  объеме, задачи решены, даны ответы на вопросы, поставленные к задачам. Оценка «4» ­ задачи практической работы решены с недочётами. Оценка «3» ­ допущены ошибки при решении  задач самостоятельной работы. Оценка «2» ­ работа выполнена менее чем наполовину либо не выполнена. Калинина   В.Н.,   Панкин  В.Ф.   Математическая   статистика.   ­   М.: 8 Список использованных источников: 1. Высшая школа, 2014. 2. статистика: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА­М, 2015. Кочетков   Е.С.   и   др.   Теория   вероятностей   и   математическая Практическая работа №12 «Точечные и интервальные оценки параметров распределения» 1   Цель:  Научиться   определять   точечные   и   интервальные   оценки математического   ожидания   и   дисперсии   нормально   распределенных случайных величин. 2   Оборудование:  канцелярские   принадлежности,   калькулятор,   черновые листы. 3   Условия   проведения:  для   удобства   проведения   данной   практической работы, необходим кабинет «Математических дисциплин». 4 Текст практической работы: Вариант 1 1. Найти   доверительный   интервал   для   оценки   с   надежностью   0,95 неизвестного   математического   ожидания  а  нормально   распределенного признака   Х   генеральной   совокупности,   если   генеральное   среднее квадратическое отклонение  =5, выборочная средняя х в=14 и объем выборки n=25 2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10: σ Варианта xi Частота ni ­2 2 1 1 2 2 3 2 4 2 5 1 Оценить   с   надежностью   0,95   математическое   ожиданиеа  нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала. Вариант 2 Найти   доверительный   интервал   для   оценки   с   надежностью   0,99 1. неизвестного   математического   ожиданияа  нормально   распределенного признака   Х   генеральной   совокупности,   если   известны   генеральное   среднее σ квадратическое отклонение  в и объем выборки n: а) , выборочная средняя х σ в=10,2, n=16; б)  =5, х в=16,8, n=25 =4, х 2. По   данным   девяти   независимых   равноточных   измерений   некоторой физической   величины   найдены   среднее   арифметическое   результатов измерений хв=30,1 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=6. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного σ интервала с надежностью  =0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально. γ 5 Время выполнения: 90 минут. 6 Требования к оформлению: практическая работа должна быть оформлена на листах А4, рукописный текст, рамка должна быть заполнена. 7 Критерии оценки: Оценка «5» ­  самостоятельная работа  выполнена  в полном  объеме, задачи решены, даны ответы на вопросы, поставленные к задачам. Оценка «4» ­ задачи практической работы решены с недочётами. Оценка «3» ­ допущены ошибки при решении  задач самостоятельной работы. Оценка «2» ­ работа выполнена менее чем наполовину либо не выполнена. 8 Список использованных источников: 1. Теория   вероятностей   и   математическая   статистика   в   задачах: Учеб. пособие для вузов/В.А.Ватутин и др. – М.: Дрофа, 2014. 2. Гурман В.Е.   Теория вероятностей и математическая статистика. ­ М.: Высшая школа, 2014. «Метод произведений для вычисления выборочной средней и дисперсии» Практическая работа №13 1 Цель: применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических   задач;   пользоваться   расчётными   формулами,   таблицами, графиками   при   решении   статистических   задач;   применять   современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа; 2   Оборудование:  канцелярские   принадлежности,   калькулятор,   черновые листы. 3   Условия   проведения:  для   удобства   проведения   данной   практической работы, необходим кабинет «Математических дисциплин». 4 Текст практической работы: В задачах даны выборочные варианты и их частоты. Найти, пользуясь методом произведений, выборочные среднюю и дисперсию. Вариант 1 10,3 xi 4 ni 10,7 8 10,9 10 11,5 12 11,1 25 11,3 15 11,7 10 11,9 4 12,1 5 10,5 7 Вариант 2 85 7 83 6 xi ni 87 12 89 15 91 30 93 10 95 8 97 6 99 4 101 2 5 Время выполнения: 90 минут. 6 Требования к оформлению: практическая работа должна быть оформлена на листах А4, рукописный текст, рамка должна быть заполнена. 7 Критерии оценки: Оценка «5» ­  самостоятельная работа  выполнена  в полном  объеме, задачи решены, даны ответы на вопросы, поставленные к задачам. Оценка «4» ­ задачи практической работы решены с недочётами. Оценка «3» ­ допущены ошибки при решении  задач самостоятельной работы. Оценка «2» ­ работа выполнена менее чем наполовину либо не выполнена. Письменный   Д.Т.   Конспект   лекций   по   теории   вероятностей   и Основные понятия, формулы и распределения теории вероятностей. – 8 Список использованных источников: 1. Челябинск, 2014. 2. математической статистике. – М.: Айрис­Пресс, 2014. Соловьев А.А. Лекции по теории вероятностей и математической статистике. – 2014. Практическая работа №14 «Проверка гипотезы о законе распределения на основе согласия Пирсона» 1 Цель:  закрепить знания закона распределения генеральной совокупности. Уметь   производить   наблюдения   и   получать   опытное   (или   эмпирическое) распределение случайной величины в виде вариационного ряда. 2   Оборудование:  канцелярские   принадлежности,   калькулятор,   черновые листы. 3   Условия   проведения:  для   удобства   проведения   данной   практической работы, необходим кабинет «Математических дисциплин». 4 Текст практической работы: Вариант 1 Используя   критерий   Пирсона,   при   уровне   значимости   0,05   проверить, согласуется   ли   гипотеза   о   нормальном   распределении   генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением выборки объема n=200.  2,1 xi 8 ni 0,3 6 0,5 9 0,7 26 0,9 25 1,1 30 1,3 26 1,5 21 2,3 5 1,7 24 1,9 20 Вариант 2 Используя   критерий   Пирсона,   при   уровне   значимости   0,01   установить, случайно   или   значимо   расхождение   между   эмпирическими   частотами  ni  и теоретическими   частотами  ni,   которые   вычислены,   исходя   из   гипотезы   о нормальном распределении генеральной совокупности Х: xi ni 16 18 40 36 72 76 36 39 18 18 10 7 8 6 5 Время выполнения: 90 минут. 6 Требования к оформлению: практическая работа должна быть оформлена на листах А4, рукописный текст, рамка должна быть заполнена. 7 Критерии оценки: Оценка «5» ­  самостоятельная работа  выполнена  в полном  объеме, задачи решены, даны ответы на вопросы, поставленные к задачам. Оценка «4» ­ задачи практической работы решены с недочётами. Оценка «3» ­ допущены ошибки при решении  задач самостоятельной работы. Оценка «2» ­ работа выполнена менее чем наполовину либо не выполнена. Кирилов   П.В.   Теория   вероятностей   и   математическая   статистика: Кузнецов В.М. Программа, методические указания и типовые задачи по 8 Список использованных источников: 1. Практические занятия. – Кишинэу, 2015. 2. теории вероятностей и математической статистике. – Ростов­на­Дону, 2015. 3. Волгоград, 2015. Мазепа   Е.А.Краткий   конспект   лекций   по   теории   вероятностей.   – Практическая работа №15 «Моделирование случайных величин» 1 Цель: Имитация простейшего потока событий с заданной интенсивностью; моделирование   случайных   величин   с   заданным   законом   распределения; имитация   функционирования   экономической   системы   с   простейшими потоками событий. 2   Оборудование:  канцелярские   принадлежности,   калькулятор,   черновые листы. 3   Условия   проведения:  для   удобства   проведения   данной   практической работы, необходим кабинет «Математических дисциплин». 4 Текст практической работы: Вариант 1 1. Разыграть восемь возможных значений ДСВ, закон распределения  которой: х р 3 0,2 8 0,12 12 0,43 23 0,23 2. Заданы вероятности трех событий А1, А2, А3, образующих полную  группу событий: р1=р(А1)=0,2   р2=р(А2)=0,31    р3=р(А3)=0,47. Разыграть пять испытаний, в каждом из которых появляется одно из трех  рассматриваемых событий. 3. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых вероятность появления  события А равна 0,52. 4. Разыграть 4 возможных значения НСВ, распределенной равномерно в  интервале (6;14) xF )( ax ab   5. События А и В независимы и совместны. Разыграть 5 испытаний, в  каждом из которых р(А)=0,5; р(В)=0,8 Вариант 2 1. Разыграть шесть возможных значений ДСВ, закон распределения  которой: х р 2 0,15 4 0,25 13 0,2 15 0,4 2. Заданы вероятности трех событий А1, А2, А3, образующих полную  группу событий: р1=р(А1)=0,2   р2=р(А2)=0,32    р3=р(А3)=0,48. Разыграть шесть испытаний, в каждом из которых появляется одно из трех  рассматриваемых событий. 3. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых вероятность появления  события А равна 0,48. 4. Разыграть 4 возможных значения НСВ, распределенной равномерно в  интервале (4;14) xF )( ax ab   5. События А и В независимы и совместны. Разыграть 4 испытания, в  каждом из которых р(А)=0,4; р(В)=0,6 5 Время выполнения: 90 минут. 6 Требования к оформлению: практическая работа должна быть оформлена на листах А4, рукописный текст, рамка должна быть заполнена. 7 Критерии оценки: Оценка «5» ­  самостоятельная работа  выполнена  в полном  объеме, задачи решены, даны ответы на вопросы, поставленные к задачам. Оценка «4» ­ задачи практической работы решены с недочётами. Оценка «3» ­ допущены ошибки при решении  задач самостоятельной работы. Оценка «2» ­ работа выполнена менее чем наполовину либо не выполнена. Волковец   А.И.   Теория   вероятностей   и   математическая   статистика: Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и 8 Список использованных источников: 1. Конспект лекций. – Минск, 2013. 2. математической статистике. –М.: Высшая школа, 2015. 3. Наука, 2014. 4. втузов/Е.С.Вентцель и др. ­  М.: Издательский центр «Академия», 2014. Гнеденко   Б.В.   Элементарное   введение   в  теорию   вероятностей. –  М.: Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособ. для студ