Методическое пособие по математике
Оценка 5

Методическое пособие по математике

Оценка 5
Занимательные материалы +7
docx
математика +1
8 кл—11 кл +1
06.07.2017
Методическое пособие по математике
Данное методическое пособие по математике структурировано авторскими статьями и состоит из следующих теоретических разделов: 1) Преобразование графиков функций (Жулидова Ю.В.): линейная и квадратичная функции-свойства и графики. Построение графиков функций с помощью элементарных преобразований. Построение графиков функций с помощью арифметических действий. 2) Методы решений уравнений и неравенств с параметрами (Пишкова Н.Е.): основные понятия. Линейные уравнения и неравенства. Квадратные уравнения и неравенства. Иррациональные уравнения и неравенства. 3) Конфигурации на элементарных фигурах плоскости и их применение к решению задач (Мендель В.В.): вспомогательные конструкции и их свойства. Основные конструкции. В каждом разделе представлен лекционный (теоретический) и практический (задания для самостоятельной работы и решения) материалы.
МЕТОДИЧКА_МАТЕМАТИКА.docx
Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В. СОДЕРЖАНИЕ Жулидова Ю.В. Преобразования графиков функций....................................4 1. Линейная и квадратичная функции: свойства и графики................................4 1.1. Линейная функция: свойства и графики........................................................4 1.2. Квадратичная функция: свойства и графики.................................................6 2. Построение графиков функций с помощью элементарных  преобразований......................................................................................................10 3. Построение графиков функций с помощью арифметических действий.......12 Пишкова Н.Е. Методы решений уравнений и неравенств  с параметрами......................................................................................................16 1. Основные понятия..............................................................................................16 2. Линейные уравнения и неравенства.................................................................16 3. Уравнения и неравенства, сводящиеся к линейным........................................17 4. Квадратные уравнения и неравенства..............................................................19 5. Уравнения и неравенства, сводящиеся к квадратным....................................20 6. Иррациональные уравнения и неравенства......................................................23 Задания для самостоятельного решения..............................................................24 Мендель В.В. Конфигурации на элементарных фигурах плоскости и их  применение к решению задач............................................................................26 Введение.................................................................................................................26 1. Вспомогательные конструкции и их свойства.................................................26 1.1. Треугольник и секущая, теорема Менелая...................................................26 1.2. Треугольник и точка, теорема Чевы.............................................................27 1.3. Вписанный угол. Теорема синусов................................................................28 1.4. Окружность и касательная, окружность и секущая. Теоремы о свойствах  секущих...................................................................................................................28 2. Основные конструкции......................................................................................29 2.1. Треугольник и описанная окружность..........................................................29 2.2. Частные случаи: прямоугольный, равнобедренный и равносторонний  треугольник............................................................................................................29 2.3. Треугольник и вписанная (вневписанная) окружность................................30 2.4. Расстояние между центрами описанной и вписанной (вневписанной)  окружностей...........................................................................................................32 2.5. Частные случаи: прямоугольный, равнобедренный и равносторонний  треугольник............................................................................................................32 2.6. Окружность, проходящая через две вершины треугольника......................33 2.7. Окружность, касающаяся двух сторон треугольника..................................33 2.8. Окружность, касающаяся одной из сторон треугольника в вершине.........34 Хабаровск, 2016  3 Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В. 2.9. Ещё раз о высотах треугольника...................................................................34 2.10. Продолжение темы о двух окружностях....................................................34 Задачи для самостоятельного решения...............................................................35  Хабаровск, 2016  4 Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В. Жулидова Ю.В., заместитель декана ИМФиИТ, старший преподаватель кафедры математики и ИТ ФГБОУ ВО ПИ ТОГУ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 1. Линейная и квадратичная функции: свойства и графики Функция — одно из основных математических и общенаучных понятий.  Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Путь к  появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа  Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую  символику, которая вскоре получила всеобщее признание. 1.1. Линейная функция: свойства и графики Линейной функцией называется функция вида  , заданная на  y  kx b множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент  (действительное число), b – свободный член (действительное число), x –  независимая переменная. В частном случае, если: k = 0, то получим постоянную функцию   , график которой  y  b есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами  b;0 ;  если b = 0, то получим функцию  , которая является прямой  y  kx пропорциональностью. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой  достаточно знать две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие  прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить). Предположим, у нас есть линейная функция  . Чтобы построить y 2  x 1 ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек. То есть нужно взять любые два значения аргумента x и вычислить соответствующие два значения   найти точку в системе координат и  функции. Затем для каждой пары  ух; провести прямую через эти две точки. Хабаровск, 2016  5 Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В. Проще всего найти функцию, если аргумент  , т.е.   0 0х  y 1102 Итак, первая точка имеет координаты  1;0 Теперь возьмем любое другое число . . в качестве х, например,  : 1х . Вторая точка имеет   y 3112 1 координаты  3;1 . Ставим эти две точки на координатной плоскости и проводим прямую. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений  коэффициентов k и b. Ниже приведена таблица, которая наглядно это  иллюстрирует. Пример 1    . Дана функция  2  3 графиков является графиком этой функции?  x y . Какой из приведенных ниже  Хабаровск, 2016  6 Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В. Решение. Из уравнения функции определяем, что   и  . 2k 3b Из условия, что   следует, что угол между графиком функции  2 k 0 и ось Ох является тупым. Под такое условие подходят графики № 1 и № 4. Из условия  3b точку с координатами  3;0  следует, что график проходит через , а это соответствует графику № 4. Пример 2    . Зная график функции, составьте ее уравнение. Решение. Из рисунка сразу можно определить, что  , т.к. 3b график пересекает ось Оу в точке  3y записать в виде  . y 3kx . Значит уравнение прямой можно уже  Для определения коэффициента k возьмем точку, например,  0;2  и  подставим ее в полученное уравнение:  k  3  2 , откуда  2/3k . Окончательно получаем уравнение  0 прямой  .  2/3 x  3 y 1.2. Квадратичная функция: свойства и графики Функция вида  y  2 аx  bx  c , где a, b, c – некоторые вещественные  числа, причем а отлично от ноля, а x, y – переменные, называется  квадратичной (квадратной) функцией. Графиком квадратичной функции   является линия,  y  2 аx  bx  c называемая в математике параболой. Хабаровск, 2016  7 Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В. Парабола имеет:  Вершину. Вершиной параболы называется точка  .     b 2 a ; c  2 b 4 a     Ось симметрии. Проведенная через  вершину и параллельная оси Оу, ось параболы делит ее на две симметричные части.  Ветви. При a < 0  ветви параболы направлены вниз, при a > 0  — вверх. Для построения графика квадратичной функции достаточно знать три точки, одна из которых является вершиной, а две другие ­ любые произвольные точки, при чем чаще всего берутся точки, лежащие на оси Ох и симметричные относительно оси параболы. Квадратичную функцию всегда можно привести к виду , а затем   xа 2   y построить параболу с помощью ее геометрических преобразований, при чем d х 0 ,  . х 0  2 d  с b a 2 Если существуют действительные корни  b a 4  некоторого квадратного  и  1х 2х уравнения, то соответствующий трёхчлен можно разложить на линейные  множители:  . Корни, если они существуют,  x 1 можно найти через дискриминант  аx bx   xа  c 2  x  2 x  следующим образом: bD 2  4 ac  b х 2,1  2 b a 2 .  4 ac Вид графика квадратичной функции определяется, в основном,  значениями коэффициента a и дискриминанта: Хабаровск, 2016  8 Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В. Пример 3    . Преобразовать функцию  y  2 2 x  10 x  13 . Решение.  2 2 x  10 x  13   2  2 x  5 x  13 2      2   2 x 5  2 2 x    5 2 2         2      x  5 2 2    25 4  26 4       2      x  5 2 2    1 4       2  x  5 2 2    Пример 4    . Постройте график квадратичной функции  y 2  x  по направлению ветвей, 4 x  3 характерным точкам и оси симметрии параболы. 1 2 2    13 2     5 2 . 01 а , т.к. Решение. 1. Ветви направлены вверх, т.к.  2. Координаты вершины  х 1;2  0 y 0 3. Ось симметрии параболы:    4  12 324 b 2 a 22   2 1 4. Координаты точек пересечения с осью х:  2х Хабаровск, 2016  9 Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В.  b х 2,1  2 b 2 a  4 ac 4    34 16 2   24 2  или  0;3 .  и  0;1 Задания для самостоятельной работы 1. Определить взаимосвязь коэффициентов и расположения прямых: y y x  3x 2  x 3 y y  x 4 x y 5y 2. На каком рисунке коэффициенты  ;   и  ;  0k  и  0b ;  0k 0b 0k 0b ;  ;  ;  0b ;  0k  и 0b 0k ? 0k  и  0b ; I, III ­ четверть;  3. Составьте уравнение линейной функции по следующим условиям: 1;0   1;0    1;0 1;0 2;0 2;0  ; II, IV ­ четверть;  ; II, IV ­ четверть;  ; II, IV ­ четверть;  ; I, III ­ четверть;  ; I, III ­ четверть;  5,0k 3k 2k 2k 2k 3k    4. Зная координаты одной из точек графика, составьте его уравнение. Хабаровск, 2016  10 Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В. 5. Назовите число корней уравнения  , знак  аx 2  bx  0 c коэффициента а, а также определите вершину и ось симметрии: 6. Преобразовать функцию:  y  y   3 2 4 5 x x y y 2 2  x  x 1 2 x 4  y   2 2 x 4 1 x   2 2 x 3 3 x 4 3 4 x x   2 y y y 2   x 3 2 x   3 x x 9    2 x  4 x  1 2 3 2  4 x  1 4 y 7. Проверить, проходит ли через заданные точки график квадратичной  функции и если да, то составить ее уравнение и построить график: ,  ,  2;0  1;1  1;3  ,  ,  8;2 1;1  1;1 ,  ,  3;1 1;0 ,  ,  2;2 2;4  ,  1;0 1;0  ,  2;5 ,  2;1 ,  2;2   3;1  1;1 0;0       В настоящее время графики имеют достаточно широкое применение:  часто применяется в естествознании и технике, например при использовании  самопишущих приборов, автоматически записывающих изменение одной  величины в зависимости от изменения другой (ЭКГ).  Хабаровск, 2016  11

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
06.07.2017