Методическое пособие по математике

Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В. СОДЕРЖАНИЕ Жулидова Ю.В. Преобразования графиков функций....................................4 1. Линейная и квадратичная функции: свойства и графики................................4 1.1. Линейная функция: свойства и графики........................................................4 1.2. Квадратичная функция: свойства и графики.................................................6 2. Построение графиков функций с помощью элементарных  преобразований......................................................................................................10 3. Построение графиков функций с помощью арифметических действий.......12 Пишкова Н.Е. Методы решений уравнений и неравенств  с параметрами......................................................................................................16 1. Основные понятия..............................................................................................16 2. Линейные уравнения и неравенства.................................................................16 3. Уравнения и неравенства, сводящиеся к линейным........................................17 4. Квадратные уравнения и неравенства..............................................................19 5. Уравнения и неравенства, сводящиеся к квадратным....................................20 6. Иррациональные уравнения и неравенства......................................................23 Задания для самостоятельного решения..............................................................24 Мендель В.В. Конфигурации на элементарных фигурах плоскости и их  применение к решению задач............................................................................26 Введение.................................................................................................................26 1. Вспомогательные конструкции и их свойства.................................................26 1.1. Треугольник и секущая, теорема Менелая...................................................26 1.2. Треугольник и точка, теорема Чевы.............................................................27 1.3. Вписанный угол. Теорема синусов................................................................28 1.4. Окружность и касательная, окружность и секущая. Теоремы о свойствах  секущих...................................................................................................................28 2. Основные конструкции......................................................................................29 2.1. Треугольник и описанная окружность..........................................................29 2.2. Частные случаи: прямоугольный, равнобедренный и равносторонний  треугольник............................................................................................................29 2.3. Треугольник и вписанная (вневписанная) окружность................................30 2.4. Расстояние между центрами описанной и вписанной (вневписанной)  окружностей...........................................................................................................32 2.5. Частные случаи: прямоугольный, равнобедренный и равносторонний  треугольник............................................................................................................32 2.6. Окружность, проходящая через две вершины треугольника......................33 2.7. Окружность, касающаяся двух сторон треугольника..................................33 2.8. Окружность, касающаяся одной из сторон треугольника в вершине.........34 Хабаровск, 2016  3Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В. 2.9. Ещё раз о высотах треугольника...................................................................34 2.10. Продолжение темы о двух окружностях....................................................34 Задачи для самостоятельного решения...............................................................35  Хабаровск, 2016  4Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В. Жулидова Ю.В., заместитель декана ИМФиИТ, старший преподаватель кафедры математики и ИТ ФГБОУ ВО ПИ ТОГУ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 1. Линейная и квадратичная функции: свойства и графики Функция — одно из основных математических и общенаучных понятий.  Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Путь к  появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа  Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую  символику, которая вскоре получила всеобщее признание. 1.1. Линейная функция: свойства и графики Линейной функцией называется функция вида  , заданная на  y  kx b множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент  (действительное число), b – свободный член (действительное число), x –  независимая переменная. В частном случае, если: k = 0, то получим постоянную функцию   , график которой  y  b есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами  b;0 ;  если b = 0, то получим функцию  , которая является прямой  y  kx пропорциональностью. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой  достаточно знать две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие  прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить). Предположим, у нас есть линейная функция  . Чтобы построить y 2  x 1 ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек. То есть нужно взять любые два значения аргумента x и вычислить соответствующие два значения   найти точку в системе координат и  функции. Затем для каждой пары  ух; провести прямую через эти две точки. Хабаровск, 2016  5Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В. Проще всего найти функцию, если аргумент  , т.е.   0 0х  y 1102 Итак, первая точка имеет координаты  1;0 Теперь возьмем любое другое число . . в качестве х, например,  : 1х . Вторая точка имеет   y 3112 1 координаты  3;1 . Ставим эти две точки на координатной плоскости и проводим прямую. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений  коэффициентов k и b. Ниже приведена таблица, которая наглядно это  иллюстрирует. Пример 1    . Дана функция  2  3 графиков является графиком этой функции?  x y . Какой из приведенных ниже  Хабаровск, 2016  6Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В. Решение. Из уравнения функции определяем, что   и  . 2k 3b Из условия, что   следует, что угол между графиком функции  2 k 0 и ось Ох является тупым. Под такое условие подходят графики № 1 и № 4. Из условия  3b точку с координатами  3;0  следует, что график проходит через , а это соответствует графику № 4. Пример 2    . Зная график функции, составьте ее уравнение. Решение. Из рисунка сразу можно определить, что  , т.к. 3b график пересекает ось Оу в точке  3y записать в виде  . y 3kx . Значит уравнение прямой можно уже  Для определения коэффициента k возьмем точку, например,  0;2  и  подставим ее в полученное уравнение:  k  3  2 , откуда  2/3k . Окончательно получаем уравнение  0 прямой  .  2/3 x  3 y 1.2. Квадратичная функция: свойства и графики Функция вида  y  2 аx  bx  c , где a, b, c – некоторые вещественные  числа, причем а отлично от ноля, а x, y – переменные, называется  квадратичной (квадратной) функцией. Графиком квадратичной функции   является линия,  y  2 аx  bx  c называемая в математике параболой. Хабаровск, 2016  7Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В. Парабола имеет:  Вершину. Вершиной параболы называется точка  .     b 2 a ; c  2 b 4 a     Ось симметрии. Проведенная через  вершину и параллельная оси Оу, ось параболы делит ее на две симметричные части.  Ветви. При a < 0  ветви параболы направлены вниз, при a > 0  — вверх. Для построения графика квадратичной функции достаточно знать три точки, одна из которых является вершиной, а две другие ­ любые произвольные точки, при чем чаще всего берутся точки, лежащие на оси Ох и симметричные относительно оси параболы. Квадратичную функцию всегда можно привести к виду , а затем   xа 2   y построить параболу с помощью ее геометрических преобразований, при чем d х 0 ,  . х 0  2 d  с b a 2 Если существуют действительные корни  b a 4  некоторого квадратного  и  1х 2х уравнения, то соответствующий трёхчлен можно разложить на линейные  множители:  . Корни, если они существуют,  x 1 можно найти через дискриминант  аx bx   xа  c 2  x  2 x  следующим образом: bD 2  4 ac  b х 2,1  2 b a 2 .  4 ac Вид графика квадратичной функции определяется, в основном,  значениями коэффициента a и дискриминанта: Хабаровск, 2016  8Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В. Пример 3    . Преобразовать функцию  y  2 2 x  10 x  13 . Решение.  2 2 x  10 x  13   2  2 x  5 x  13 2      2   2 x 5  2 2 x    5 2 2         2      x  5 2 2    25 4  26 4       2      x  5 2 2    1 4       2  x  5 2 2    Пример 4    . Постройте график квадратичной функции  y 2  x  по направлению ветвей, 4 x  3 характерным точкам и оси симметрии параболы. 1 2 2    13 2     5 2 . 01 а , т.к. Решение. 1. Ветви направлены вверх, т.к.  2. Координаты вершины  х 1;2  0 y 0 3. Ось симметрии параболы:    4  12 324 b 2 a 22   2 1 4. Координаты точек пересечения с осью х:  2х Хабаровск, 2016  9Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В.  b х 2,1  2 b 2 a  4 ac 4    34 16 2   24 2  или  0;3 .  и  0;1 Задания для самостоятельной работы 1. Определить взаимосвязь коэффициентов и расположения прямых: y y x  3x 2  x 3 y y  x 4 x y 5y 2. На каком рисунке коэффициенты  ;   и  ;  0k  и  0b ;  0k 0b 0k 0b ;  ;  ;  0b ;  0k  и 0b 0k ? 0k  и  0b ; I, III ­ четверть;  3. Составьте уравнение линейной функции по следующим условиям: 1;0   1;0    1;0 1;0 2;0 2;0  ; II, IV ­ четверть;  ; II, IV ­ четверть;  ; II, IV ­ четверть;  ; I, III ­ четверть;  ; I, III ­ четверть;  5,0k 3k 2k 2k 2k 3k    4. Зная координаты одной из точек графика, составьте его уравнение. Хабаровск, 2016  10Методическое пособие по математике                Жулидова Ю.В., Пишкова Н.Е, Мендель  В.В. 5. Назовите число корней уравнения  , знак  аx 2  bx  0 c коэффициента а, а также определите вершину и ось симметрии: 6. Преобразовать функцию:  y  y   3 2 4 5 x x y y 2 2  x  x 1 2 x 4  y   2 2 x 4 1 x   2 2 x 3 3 x 4 3 4 x x   2 y y y 2   x 3 2 x   3 x x 9    2 x  4 x  1 2 3 2  4 x  1 4 y 7. Проверить, проходит ли через заданные точки график квадратичной  функции и если да, то составить ее уравнение и построить график: ,  ,  2;0  1;1  1;3  ,  ,  8;2 1;1  1;1 ,  ,  3;1 1;0 ,  ,  2;2 2;4  ,  1;0 1;0  ,  2;5 ,  2;1 ,  2;2   3;1  1;1 0;0       В настоящее время графики имеют достаточно широкое применение:  часто применяется в естествознании и технике, например при использовании  самопишущих приборов, автоматически записывающих изменение одной  величины в зависимости от изменения другой (ЭКГ).  Хабаровск, 2016  11