Добавить материал

и получить 10 документов
и свидетельство автора

Хлонина Ольга Евгеньевна

Объемы многоугольников

Работа в классе
docx
22.04.2023

Публикация педагогических разработок

Бесплатное участие. Свидетельство автора сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Добавить материал

Объемы многогранников.docx

Тема. «Объёмы многогранников».

Методическое пособие по решению задач для студентов 2 курса СПО.

Составила Хлонина О.Е.

Дистанционная форма обучения.

1. Теоретический материал.

Вид многогранника

Формула объёма

1. Призма

V=S_осн H

2. Прямоугольный параллелепипед

V=abc

3. Куб

V=a³

4. Пирамида

V=S_осн H

5.Усеченная пирамида

V=h

2. Решение задач.

Задача № 1

Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 25 и 60, и боковым ребром, равным 25.

Дано:

АВСДА₁В₁С₁Д₁ - прямая четырехугольная призма

АС = 60; ВД = 25; АА₁ = 25

Найти: V _призмы

Решение

V _призмы = S_осн H; Н=АА₁

АВСД - ромб, следовательно S_осн = ;

S_осн = ; V _призмы = 75025=18750

Ответ. 18750

Задача № 2

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 8 и 15, боковое ребро равно 9. Найдите объем призмы.

Дано:

АВСА₁В₁С₁ - прямая треугольная призма.

АВС - прямоугольный; АС и ВС - катеты

АС = 15; ВС = 8; АА₁ = 9

Найти: V _призмы

V _призмы = S_осн H; Н=АА₁

АВС - прямоугольный треугольник,

следовательно S_осн = ;

S_осн = ; V _призмы = 609=540

Ответ. 540

Задача № 3.

В основании наклонной треугольной призмы лежит треугольник со сторонами 14; 12 и 12. Боковое ребро равно 6 и наклонено к плоскость основания под углом 30. Найти объём призмы.

Дано:

АВСА₁В₁С₁ - наклонная треугольная призма.

АС = 12; ВС = 12; АВ = 14; СС₁ = 6; С₁СО=30.

Найти: V _призмы

V _призмы = S_осн H;

ОСС₁ - прямоугольный треугольник, так как

С₁О плоскости АВС; С₁СО = 30;

С₁О = С₁С sin 30= 6= 3

Н=ОС₁ = 3

S_осн = ; р=;

р =;

S_осн =

V _призмы =

Ответ. 21

Задача № 4.

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Дано: прямоугольный параллелепипед;

а=4; в=6; с=9. V_п.п = V_к

Найти : d

Решение:

V_п.п =авс; V_п.п = 469=216;

V_к = d³; d³ = 216; d =

Ответ. 6

Задача № 5

От треугольной пирамиды, объем которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Дано:

V_S_АВС = 34; SМN - сечение SАВС

MN - средняя линия треугольника АВС

Найти: V_SMNC

Решение:

Так как MN - средняя линия треугольника АВС, то

MN = АВ , поэтому АВС подобен MNC.

Коэффициент подобия к=2, следовательно

; 2²; 4;

Так как высоты пирамид SАВС и SMNC совпадают, то

V_SMNC = V_S_АВС: 4= 34:4=8,5

Ответ. 8,5

Задача № 6

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Дано: SABCD - пирамида; ABCD - прямоугольник;

АВ=3; ВС = 4; V_SABCD = 16

Найти: H

Решение:

V=S_осн H; V_SABCD = S_АВС_DH;

S_АВС_D = АВВС; S_АВС_D = 34=12;

16=; 4Н=16; Н=4

Ответ. 4

Задача № 7

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6см, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти объем пирамиды.

Дано: SABCD - правильная четырехугольная пирамида;

АВ=6см; SKO=60°

Найти: V_SABCD

Решение:

V_SABCD =S_осн H;

S_осн = AB²; S_осн = (6)² = 363=108(см²)

SKO - прямоугольный треугольник, так как

SO - высота пирамиды;

SKO - линейный угол двугранного угла при основании пирамиды SABCD, следовательно

SKO = 60; ОК=АВ; ОК=6=3(см)

; SO=OKtg60°=3=9(cм);

Н=SО = 9см;

V_SABCD =108 9=324(см³)

Ответ. 324 см³

Задача № 8

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6см и 8см. Все боковые ребра равны 13 см. Найти объём пирамиды.

Дано: SABCD - пирамида; ABCD - прямоугольник;

АВ=6см; ВС = 8си; SA=SB=SC=SD=13cм.

Найти: V_SABCD

Решение:

V_SABCD =S_осн H;

S_АВС_D = АВВС; S_АВС_D = 68=48(см²)

АВС - прямоугольный, по теореме Пифагора

АС² = АВ²+ ВС² ; АС² = 6² + 8² =100; АС=10; AO=5см

SO АВСD, поэтому SАO прямоугольный, по теореме Пифагора

SO² = АS²- AO² ; SO² = 13² - 5² =169-25=144; SO=12см

Н=SO

V_SABCD =48 12=192(cм³)

Ответ. 192см³

Задача № 9

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны

2см, а объем равен см³.

Дано: SABC-правильная треугольная пирамида; АВ=2см;

V_SABC = см³

Найти: Н

Решение:

V_SABC =S_осн H;

АВС - правильный, поэтому S_ABC = ABACsin60⁰;

S_ABC = 22sin60⁰=2(см²);

=Н; Н=(см)

Ответ. 3

Задача № 10

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 3см и 5см. Найдите объем пирамиды, если ее боковое ребро равно 2см и наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁-правильная усеченная четырехугольная пирамида;

АВ=5см; A₁B₁ = 3 см; DD₁ = 2см; D₁F(ABCD);

D₁DF=60⁰

Найти: V

Решение:

V=h

S₁ =; S₂ =; h = D₁F

=АВ²; = 5²= 25(см²)

=А₁В₁²; = 3²= 9(см²);

D₁DF - прямоугольный, поэтому D₁F= D₁Dsin60⁰;

D₁F = 2sin60⁰=2(см);

V=(cм³)

Ответ. 49 см³

Задания для самостоятельного решения

1. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

2. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.

4. Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12см и углом 60º. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найти объем призмы.

5. В кубе AD₁ через середину ребер АВ, DС и вершину D₁проведено сечение. Найдите объем куба, если площадь этого сечения равна .

Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

Посмотрите также