Олимпиадные задачи на тему "Принцип Дирихле"

Принцип Дирихле (комбинаторика)

В комбинаторике при́нцип Дирихле́ — утверждение, сформулированное немецким математиком Дирихле в 1834 году, оно устанавливает связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий.
Наиболее распространена следующая формулировка этого принципа:
Если кролики рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика.

9 клеток содержат 7 голубей, по принципу Дирихле хотя бы одна клетка (фактически даже больше одной) не содержит голубей

9 клеток содержат 10 голубей, по принципу Дирихле хотя бы в одной клетке находятся более одного голубя

Восемь кроликов посадили в семь клеток. Докажите, что есть клетка, в которой оказалось по крайней мере два кролика.

За победу в математической регате команда из 4 человек получила 10 конфет.
Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их. Определите, верны ли следующие утверждения:
а)
"кому-то досталось по крайней мере 2 конфеты";
б)
"кому-то досталось по крайней мере 3 конфеты";
в)
"двум людям досталось по крайней мере две конфеты";
г)
"каждому досталась хотя бы одна конфета".


За победу в математической регате команда из 4 человек получила 10 конфет.
Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их. Определите, верны ли следующие утверждения:
а)
"кому-то досталось по крайней мере 2 конфеты";
б)
"кому-то досталось по крайней мере 3 конфеты";
в)
"двум людям досталось по крайней мере две конфеты";
г)
"каждому досталась хотя бы одна конфета".


а)
В темной комнате стоит шкаф, в котором лежат 24 чёрных и 24 синих носка. Какое минимальное количество носков нужно взять из шкафа, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета?
б)
Какое минимальное количество носков нужно взять, чтобы заведомо можно было составить хотя бы одну пару носков черного цвета?
в)
Как изменится решение задачи, если в ящике лежат 12 пар чёрных и 12 пар синих ботинок и требуется составить пару одного цвета (как в пункте а) и пару черного цвета (как в пункте б)? Ботинки, в отличие от носков, бывают левыми и правыми.

В лесу растут миллион ёлок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что есть две ёлки с одинаковым количеством иголок.

В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.

В квадратном ковре со стороной 4 метра моль проела 15 дырок. Докажите, что из этого ковра можно вырезать коврик со стороной 1 метр, в котором дырок не будет.

В финальном матче школьного чемпионата по баскетболу команда 5А забила 9 мячей. Докажите, что найдутся два игрока этой команды, забившие поровну мячей. (В команде по баскетболу 5 игроков.)

В финальном матче школьного чемпионата по баскетболу команда 5А забила 9 мячей. Докажите, что найдутся два игрока этой команды, забившие поровну мячей. (В команде по баскетболу 5 игроков.)