Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии" (9-й класс)

Урок алгебры "Определение арифметической прогрессии. Формула n­го члена арифметической прогрессии" (9­й класс) Саламова Елена Владимировна учитель математики Цели: 1. 2. 3. 4. 5. Ввести понятие арифметической прогрессии. Вывести формулу n­ого члена арифметической прогрессии. Рассмотреть основные типы задач на применение формулы n­ого члена  арифметической прогрессии. Использовать на уроке элементы развивающего обучения. Развивать аналитическое мышление учащихся. На уроке используется презентация. Ход урока Учитель. На предыдущем уроке мы ввели понятие бесконечной числовой  последовательности, как функции, определенной на множестве натуральных чисел и  выяснили, что последовательности бывают бесконечными и конечными, возрастающими и  убывающими, а также узнали о способах их задания. Перечислите их . Учащиеся. 1. 2. 3. Аналитический (с помощью формулы). Словесный (задание последовательности описанием). Рекуррентный (когда любой член последовательности, начиная с некоторого,  выражается через предыдущие члены). Слайд 2 Задание 1. Укажите, если возможно, 7­й член каждой последовательности. (аn): 6; 10; 14; 18; 22; 26;… (bn): 49; 25; 81; 4; 121; 64... (cn): 22; 17; 12; 7; 2; ­3… (xn): ­3,8; ­2,6; ­1,4; ­0,2; 1; 2,2… (yn): ­12; 7; 8; 14; ­23; 41… Учитель. Почему для последовательностей bn и yn ответить на вопрос нельзя ? Учащиеся. В данных последовательностях нет определенной закономерности, хотя (bn)  состоит из квадратов натуральных чисел, но взяты они в произвольном порядке, а (yn) представляет собой произвольный ряд чисел, поэтому на седьмом месте может стоять  любое число. Учитель. Для последовательностей (аn); (cn); (xn) все вы смогли правильно найти 7­й член.. Слайд3 Выявите закономерность и задайте последовательность рекуррентной формулой  Учитель. Каким общим свойством обладают подобные последовательности? Учащееся. Каждый последующий член отличается от предыдущего на одно и то же число. Учитель. Последовательности такого типа называются арифметическими прогрессиями.  Они и будут предметом нашего сегодняшнего изучения. Сформулируйте тему урока. (Первую часть темы учащееся легко формулируют. Вторую часть учитель может  сформулировать сам) Учитель. Сформулируйте цели урока, исходя из данной темы. (Важно, чтобы учащиеся как можно более полно и точно сформулировали учебные цели,  тогда они принимают их и стремятся достичь) Учащиеся. 1. 2. 3. Дать определение арифметической прогрессии. Вывести формулу n­ого члена арифметической прогрессии. Научиться решать задачи по теме (рассмотреть различные типы задач). Затем полезно спроецировать на экран цели, поставленные учителем перед учащимися,  чтобы они убедились в том, что цели у них общие. Учитель. Немного истории. Термин «прогрессия» происходит от латинского progression,  что означает «движение вперед», был введен римским автором Боэцием в 6 в.н.э. и получил дальнейшее развитие в трудах Фибоначчи, Шюке, Гаусса и других ученых. Слайд9 Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d. (an): a1; a2 ; a3; …an… арифметическая прогрессия. d = a2 – a1 = a3 – a2 = … = an+1 ­ an Слайд10,11    под запись в тетрадь Слайд12 устно Назвать первый член и разность арифметической прогрессии: Слайд 13 В тетрадях Задание 3. Пусть a1 = 7; d = 0. Назовите следующие 3 члена последовательности. Учащиеся. 7; 7; 7 Учитель. Такие последовательности называются постоянными или стационарными. Задание 4. В арифметической прогрессии a1; a2; 6; 4; а5 найдите a1; a2; а5. Задание выполняется в парах, один ученик по желанию выполняет его с обратной стороны  доски. Решение: d = 4 – 6 = ­2 а5 = а4 + d = 4 – 2 = 2 а2 = а3 – d = 6 – (­2) = 8 а1 = а2 – d = 8 – (­2) = 10 Укажите для данной последовательности а8 и а126 Учащиеся. а8 = ­4 а126 указать можно, но слишком долго считать. Учитель. Значит необходимо найти такой способ, который позволит нам быстро  отыскивать любой член последовательности. Попробуйте вывести формулу n­ого члена  арифметической прогрессии. К доске можно вызвать сильного ученика и путем четко поставленных вопросов и помощи  класса вывести формулу. Вывод формулы: а2 = а1 + d а3 = а2 + d = а1 + 2d а4 = а3 + d = а1 + 3d и т.д. аn = а1 + (n – 1) d ­ формула n­ого члена арифметической прогрессии.  Учитель. Итак, что необходимо знать для определения любого члена арифметической  прогрессии ? Учащиеся. а1 и d Учитель. Пользуясь этой формулой, найдите а126. Учащиеся. а126 = а1 + 125d = 10 = 125 ∙ (­ 2) = 10 – 250 = ­ 240 Задание 5. Пусть (bn): арифметическая прогрессия, в которой b1 ­ первый член, а d –  разность. Найдите ошибки: b4 = b1 + 3d           b2k = b1 + (2k – 1)∙d bk­4 = b1 + (k – 3)∙d b9 = b1 + 10d   b­3 = b1 ­ 4d   bk+7 = b1 + (k – 6)∙d Задание 6. Рассмотрим формулу n­ого члена арифметической прогрессии. Выясним, какие типы задач с использованием этой формулы можно решать. Сформулируйте прямую  задачу. Учащиеся. По заданным значениям а1 и d найти аn. Учитель. Какие обратные задачи можно поставить ? Учащиеся. 1. 2. 3. Дано а1 и аn. Найти d. Дано d и аn. Найти а1. Дано а1, d и аn. Найти n. Задание 7. Найдите разность арифметической прогрессии, в которой у1 = 10; у5 = 22 Решение у доски: у5 = у1 + 4d 22 = 10 + 4d 4d = 12 d = 3 Задание 8. Содержит ли арифметическая прогрессия 2; 9; … число 156 ? Анализ: путем рассуждений приходим к выводу о том, что т.к. у каждого числа в  последовательности имеется свой номер, выраженный натуральным числом, то необходимо найти номер члена последовательности и выяснить, принадлежит ли он множеству  натуральных чисел. Если принадлежит, то последовательность содержит данное число, в  противном случае – нет. Решение у доски: аn = а1 + (n – 1) d 156 = 2 + 7 (n – 1) 7 (n – 1) = 154 n – 1 = 22 n = 23 Ответ: а23 = 156 Задание 9. Найдите первые три члена арифметической прогрессии, в которой а1 + а5 = 24; а2∙а3 =60 Задание анализируем, составляем систему уравнений, которую предлагается решить дома. а1 + а1 + 4d = 24; (а1 + d)∙(а1 + 4d)= 60. Подведение итога урока. Что нового вы узнали сегодня на уроке ? Чему научились ? Домашнее задание. Ознакомиться с материалом п. 25 учебника. Выучить определение  арифметической прогрессии и формулу n­ого члена. Уметь выражать из формулы все  входящие в нее величины. Решить систему к заданию 9. Выполнить по учебнику № 575  (а,б); 576; 578(а); 579(а).