Основные понятия геометрической оптики

Понятие о лучевой (геометрической) оптике. Фотометрия 4.2.1. Геометрическая оптика Геометрическая оптика – это раздел оптики, в котором считается, что ). При этом условии из волнового длина волны пренебрежимо мала (при  0 уравнения можно получить основное уравнение геометрической оптики:  или  ( )E 2  2 n  ( E ) 2  (  E  x 2 )  (  E  y 2 )  (  E  z 2 )  2 n x y z , ) ( , . (4.2.1)  Поэтому геометрическая оптика применима только для коротких длин  волн. Чем короче длина волны, тем точнее приближение геометрической  оптики.  4.2.1.1. Основные понятия геометрической оптики Волновой   фронт   и   лучи.  Из   приближения   коротких   волн,   следует подход к изучению распространения света на основе понятия лучей. Луч – это прямая или кривая линия, вдоль которой распространяется энергия   светового   поля.Таким   образом,   геометрическая   оптика   описывает распространение  электромагнитного   поля  как   распространение   лучей   в пространстве.  Волновой фронт – это поверхность равной фазы ( )E r  const (4.2.1.1) Изменяя значение const можно получить различные волновые фронты.  При перемещении волнового фронта из одного положения в другое  происходит увеличение эйконала.   оптики Основные   свойства   волновых фронтов:  волновые фронты в рамках геометрической не пересекаются   между   собой;   через каждую точку пространства проходит волновой фронт,  причем только один.  лучи В   геометрической   оптике определяются как нормали к    Рис.4.2.1.1.  Волновые фронты и лучи волновому фронту.Направление луча совпадает с направлением  распространения волнового фронта и определяется оптическим вектором  q  в каждой точке пространства (рис.4.2.1.1.). Уравнение волнового фронта:  . q = E (4.2.1.2) Если среда, в которой распространяется свет однородна, то есть ее  показатель преломления не зависит от пространственных координат  (n=const), то направление луча остается постоянным:  лучи являются  прямыми линиями. На границе раздела двух сред луч преломляется в  соответствии с законом преломления. Рис.4.2.1.2.  Рис.4.2.1.3. Оптический луч в неоднородной среде Оптическая длина луча в однородной среде В неоднородной среде, где показатель преломления непостоянен, лучи  искривляются в сторону градиента показателя преломления , то есть с  n увеличением показателя преломления возрастает кривизна луча. При этом  кривизна луча пропорциональна  . Если луч – это кривая, то вектор q  n направлен по касательной к лучу в каждой точке (рис.4.2.1.2).С помощью  изучения траекторий лучей в неоднородной среде можно анализировать  влияние неоднородностей на распространение света. Например,  корректировать качество изображения наземных оптических телескопов,  учитывая неоднородность атмосферы Земли. Оптическая длина луча. Пусть имеется однородная среда (n=const),  тогда отрезок луча между точками P1 и P2– это отрезок прямой с  геометрической длиной  (рис.4.2.1.3).  l Оптическая длина луча в однородной среде – это произведение  геометрической длины пути луча l на показатель преломления n среды, в  которой распространяется свет:  1 2PP  nl (4.2.1.3) 4.3.5. Принцип таутохронизма Рассмотрим распространение света, как распространение волновых фронтов. Оптическая длина любого луча между двумя волновыми фронтами  одна и та же:   PP 1 2   E 2  E 1  const (4.2.1.7) Следовательно, поверхности волновых фронтов ­ оптически  параллельны друг другу. Это справедливо и для распространения волновых  фронтов в неоднородных средах Рассмотрим   в   качестве   примера  простейшие   монохроматические   волны. Имеются два типа волн: плоские волны и сферические волны Плоские волны (plane waves) называются так потому, что они имеют  плоские волновые фронты (рис.4.2.1.7.). Различным   значениям   постоянной   соответствуют   разные ( )E r  const волновые   фронты.   Если   менять   ,   то   волновой   фронт   будет ( )E r  const перемещаться в пространстве, переходя из одного состояния в другое. Поле распространяется в сторону увеличения  . ( )E r  const Рис.4.2.1.7. Плоские волны Рис.4.2.1.8. Сферические волны Направление распространения света перпендикулярно волновым  фронтам, как показано на рис.4.2.1.7. Для   плоской   волны   амплитуда   постоянна,   меняется   только  эйконал, который можно записать как уравнение плоскости:  (4.2.1.8) Из   аналитической   геометрии   следует,   что   при   таком   описании   эйконала волновой   фронт   плоский   и   перпендикулярен   вектору   распространения,   то есть оптическому лучевому вектору  . Плоские волны замечательны тем, что любое сложное поле можно представить в виде совокупности плоских волн. Поэтому эти волны являются универсальным базисом для описания световых полей. Сферические волны Сферические волны  (spherical waves) имеют  волновой фронт  в виде концентрических сфер (рис.4.2.1.8.). Поместим систему координат в центр, тогда получим следующие выражения для эйконала сферической волны. Уравнение эйконала сферической волны: , (4.2.1.9) – это длина радиус­вектора точки в пространстве.  где  Сферические   волны   так   же,  как   и  плоские,   могут   быть   использованы   для представления   сложных   полей,   кроме   того,  плоские   волны   можно   считать частным   случаем   сферической   волны   с   бесконечно   малой   кривизной волнового фронта. Пределы   применимости   геометрической   оптики.  Основное приближение геометрической оптики – это приближение коротких длин волн. Это означает, что длины волн считаются пренебрежимо малыми по сравнению с   размерами   неоднородностей   электромагнитного   поля   и   среды.   Поэтому геометрическая   оптика   не   применима   там,   где   необходимо   исследовать тонкую структуру неоднородностей, сравнимых с длиной волны. Итак, геометрическая оптика не описывает распределение светового поля в следующих ситуациях:  ­ вблизи предмета и изображения в оптических системах, то есть там, где возможна тонкая структура неоднородностей;  ­ вблизи фокусов пучков.  В   этих   случаях   требуются   другие   подходы   к   описанию   светового   поля, основанные на теории дифракции. Таким образом геометрическая оптика как предельный случай волновой )   оперирует   понятием   световых   лучей,   которые оптики   (при   0 подчиняются следующим основным законам, которые были установлены на опыте задолго до выяснения природы света:  1. Закон прямолинейного распространения света. 2. Закон отражения света. 3. Закон преломления света. 4. Закон независимости световых пучков. 1.Закон прямолинейного распространения света. В оптически  однородной   среде   свет   распространяется прямолинейно.   Известный   опыт   по прохождению света далекого источника сквозь небольшое   отверстие,   в   результате   чего образуется узкий световой пучок, приводит к представлению   о   световом   луче   как   о геометрической   линии,   вдоль   которой распространяется свет. Закон прямолинейного распространения света нарушается и понятие светового   луча   утрачивает   смысл,   если   свет проходит   через   малые   отверстия,   размеры которых сравнимы с длиной волны. Границы применимости   геометрической   оптики   будут рассмотрены в разделе о дифракции света. Рис.4.2.1.1. 2.Закон   отражения   света:  падающий   и   отраженный   лучи,   а   также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча,   лежат   в   одной   плоскости   (плоскость   падения).   Угол   отражения  γ равен углу падения  . α (рис.4.2.1.):        (4.2.1.1) света: 3.Закон   преломления   падающий   и   преломленный   лучи,   а также   перпендикуляр   к   границе раздела двух сред, восстановленный в точке   падения   луча,   лежат   в   одной плоскости.   Отношение   синуса   угла падения   к синусу угла преломления­ величина   постоянная   для   двух однородных   и   изотропных   сред   и называется относительным показателем   преломления   второй среды относительно первой:   sin sin    n 21   1  2 , (4.2.1.2) Рис.4.2.1.2. где   и  1 2  ­ скорости распространения света в первой и во второй средах, 21n – относительный   показатель   преломления  второй   среды   относительно первой. Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления   . Абсолютный показатель n  21 nn 1 2 преломления среды n есть показатель преломления этой среды относительно вакуума. Он равен отношению скорости c электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости в среде: ,  c   n (4.2.1.3) где  c   8 3 10 м сек . Через   абсолютный   показатель   преломления   среды   законы   преломления записываются так:   (4.2.1.4) n sin 1   n sin 2  4.Закон   независимости   световых   пучков.  Световой   поток   можно разбить на отдельные световые пучки, выделяя их, например, при помощи диафрагм. Действие этих пучков оказывается независимым, т.е. суммарный эффект   представляет   собой   сумму   вкладов   каждого   светового   пучка   в отдельности.   Ограниченность   этого   закона   проявляется   в   явлениях интерференции света. Полное   внутреннее   отражение. Если  угол   падения  α  невелик,   то часть   поля   отражается,   а   часть преломляется. Однако, при переходе из   более   плотной   среды   в   менее ,   при   некотором плотную   n  21 n 12 Рис.4.2.1.3 Полное внутреннее отражение  света              на границе вода–воздух;          S – точечный источник света. угле падения синус угла преломления по  закону преломления  должен быть больше   единицы,   что   невозможно. Поэтому в таком случае преломления не происходит, а происходит  полное внутреннее ПВО (рис.4.2.1.3.), которого   справедливо соотношение:   отражение  для    где  0       sin   0 (4.2.5) , 1 n 21 предельный угол падения, и для этого случая  .   2 Итак, при углах падения от   луч   полностью   до   0 2 отражается в первую среду, причем   без   потерь   энергии, интенсивности поэтому Рис.4.2.1.4. Ход лучей в световоде отраженного   и   падающего лучей   одинаковы.   Явление полного отражения используется   в   призмах полного отражения,    позволяющие:   а)   повернуть   луч   на   90;   б)   повернуть   луч   на   180;   в) перевернуть изображение. Такие призмы применяются в оптических приборах (например, в биноклях, перископах).  Явление   полного   отражения   используется   также   в  световодах, представляющие   собой   тонкие   нити   (волокна)   из   оптически   прозрачного материала   (рис.4.2.1.4.).   По   причине   полного   отражения   от   боковой поверхности   световода   свет   распространяется   только   вдоль   волокна.   С помощью   световодов   можно   как   угодно   искривлять   путь   светового   пучка. Световоды используются для передачи информации в ЭВМ, медицине (для диагностики внутренних органов) и др. Принцип   Ферма.  В   физике   исключительное   значение   имеет   метод принципов, позволяющий на основе небольшого числа общих предположений –   принципов   –   обосновать   известные   законы   некоторого   круга   явлений   и предсказать еще неоткрытые закономерности. В   геометрической   оптике   таким   принципом   является   принцип кратчайшего оптического пути (или минимального времени распространения), именуемым   также   принципом   Ферма.   По   определению   оптической   длиной пути называется величина L 2   1 n ds Принцип Ферма можно рассматривать как общий закон  распространения света, другие законы являются его следствием (за  исключением закона независимости световых пучков). Действительно,  нетрудно видеть, что для однородной среды этот принцип приводит к закону  прямолинейного распространения света согласно геометрической аксиоме о  том, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками; для  случая отражения и преломления этот принцип также приводит к  соответствующим законам. Обратимость   световых   лучей.  Из   принципа   Ферма   вытекает обратимость   световых   лучей.   Действительно,   оптический   путь,   который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения в обратном направлении. Просветление оптики.  При прохождении света через сложные оптические системы   с   большим   количеством   оптических деталей на каждой поверхности теряется около 4% света.   В  результате   через   систему   может   пройти всего   20%   светового   потока.   Применение тонкослойных   пленок   для   ослабления френелевского называется просветлением оптики. Просветляющие покрытия могут уменьшить отражение в 3­4 раза. отражения     Рис.4.2.1.5. Просветление оптики Принцип   действия   просветляющих   покрытий   основан   на   явлении интерференции. На поверхность оптической детали наносят тонкую пленку, показатель   преломления  которой   меньше   показателя   преломления   стекла nпл60– кроны;  νе<60– флинты.  Комбинация стекол, принадлежащим различным группам, дает возможность создавать высококачественные оптические системы. Кроны и флинты – это основные группы оптических стекол.  Оптическая поверхность – это гладкая регулярная поверхность точно известной формы. Поверхности могут быть:  ­ плоские,  ­ сферические,  ­ асферические.  Чаще всего в оптике применятся плоские поверхности и сферические поверхности.   Для   сферических   поверхностей   задается   один   параметр поверхности   –   радиус   кривизны  R.   Плоской   поверхностью   можно   считать сферическую поверхность с радиусом кривизны равным бесконечности. Для плоскости R=∞, но условно принято считать, что R=0. При компьютерных расчетах удобно использовать не радиус кривизны, а кривизну поверхности:           1 R  (4.2.2.2) Форма  оптических   поверхностей   должна   выдерживаться   с  точностью меньше   длины   волны.   В   идеальных   оптических   системах   отклонения   от идеальной   формы   поверхности   не   должны   превышать   0,1­0,02λ,   при   этом допуск   не   зависит   от   размера   поверхности.   Плоские   и   сферические поверхности   изготавливаются   достаточно   просто   (методом   притирки),   и поэтому   именно   их   чаще   всего   используют   в   оптических   системах. Асферические   поверхности   используются   редко   из­за   сложности   их изготовления и контроля, так как у них различная величина радиуса кривизны по   различным   направлениям.   В   настоящее   время   существуют   технологии изготовления   асферических   поверхностей   на   станках   с   программным управлением.   Получение   точного   профиля   асферической   поверхности возможно только методом ретуши. Диафрагма – это металлический экран с круглым отверстием. На оптических схемах   диафрагмы   могут   быть   заданы явно   –   диафрагма   является самостоятельным элементом оптической системы (рис.4.2.2.1а.), или неявно – роль диафрагмы играет край или оправа линзы (рис.4.2.2.1б.).   Рис.4.2.2.1. Диафрагмы 4.2.2.2. Взаимное расположение элементов в оптической системе Центрированная   оптическая   система  –   это   оптическая   система, которая имеет ось симметрии (оптическую ось) и сохраняет все свои свойства при вращении вокруг этой оси. Рис.4.2.2.2. Центрированная оптическая система с изломом оптической оси Рис.4.2.2.3.  Нумерация элементов оптической системы Для   центрированной   оптической   системы   должны   выполняться   следующие условия:  ­ все плоские поверхности перпендикулярны оси,  ­ центры всех сферических поверхностей принадлежат оси,  ­ все диафрагмы круглые, центры всех диафрагм принадлежат оси,  ­   все   среды   либо   однородны,   либо   распределение   показателя преломления симметрично относительно оси.  Центрированные оптические системы могут включать в себя плоские зеркала   и   отражающие   призмы,  ломающие   оптическую   ось,  но   по   сути   не влияющие на симметрию системы (рис.4.2.2.2.). Нумерация   элементов   оптической   системы   ведется   по   ходу   луча (рис.4.2.2.3.).   Все   расстояния   между   поверхностями   (толщины   линз   или воздушные промежутки) откладываются по оси. Правила   знаков.  Для   удобства   чтения   оптических   схем   и компьютерных расчетов в оптике приняты единые правила знаков. Положительным  направлением   света  считается   распространение   слева направо.   Осевые   расстояния  d преломляющими между   считаются поверхностями положительными,   если   они измеряются   по   направлению распространения   света   (слева направо) (рис.4.2.2.4.). Рис.4.2.2.4. Правила знаков. Радиус кривизны поверхности R считается   положительным,   если центр кривизны находится справа от поверхности (поверхность обращена выпуклостью влево) (рис.4.2.2.4.). Угол между лучом и оптической осью  a  считается положительным, если для совмещения оси с лучом ось нужно вращать по часовой стрелке (рис.4.2.2.4.). Отрезки,   перпендикулярные   оптической   оси  y  считаются положительными, если они располагаются над осью (рис.4.2.2.4.).На чертежах и рисунках всегда указывают знак отрезков и углов. При оптических расчетах считается,   что   после   каждой   отражающей   поверхности   показатель преломления,   осевое   расстояние   и   угол   отражения   меняют   знак   на противоположный. Луч может пройти одну и ту же поверхность несколько раз, поэтому физическое и расчетное число поверхностей может различаться. Например,   на   рис.4.2.2.5   показаны   8   физических   и   12   расчетных поверхностей. 4.2.2.2. Призмы, линзы, зеркала и приборы Призмы.  Рис.4.2.2.15. Ход лучей в призме а) несимметричный ход, б) симметричный ход. Связь между углом наименьшего отклонения   и преломляющим углом   в призме имеет вид: A n sin 1 A   2 n sin 2 A 2 , (4.2.2.26) где     и   1п 2п ­   абсолютные   показатели   преломления   окружающей   среды   и материала призмы.  Сферические зеркала.  Рис.4.2.2.16. Построение изображения Выпуклые сферические зеркала.  Для   любого   сферического   зеркала   оптическая   сила   определяется формулой: где     и   f d , (4.2.2.27) 1 d  1 f  1 2 R F    ­ расстояния до предмета и изображения от зеркала;   радиус R кривизны зеркала;  F линзы (в диоптриях). фокусное расстояние (в метрах); Ф ­ оптическая сила При   решении   задач   на   сферические   зеркала   следует   пользоваться следующими правилами при выборе знаков для  , F,R: ,  f d Рис.4.2.2.17. Вогнутые сферические зеркала.  Построение изображения Чертеж располагается так, что лучи, падающие на зеркало, идут справа   При   построении   изображения   в   зеркалах   за   положительное на лево. направление принимается направление отраженных лучей. Отрезки,   отложенные   от   сферического   зеркала   вправо,   считаются положительными, влево – отрицательными. За направление радиусов сферических поверхностей берется направление от сферической поверхности к центру. Отрезки,   откладываемые   перпендикулярно   к   оптической   оси,   считаются положительными, если они идут вверх от оси, отрицательными, ­ если вниз от оси. Увеличение сферического зеркала определяется так: (4.2.2.28) k   . h H Рис.4.2.2.18. Тонкие линзы. Формула тонкой линзы. , (4.2.2.29) 1 d  1 f     1n 1 R 1  1  R 2  1 F   где     и   f d – расстояния от предмета и изображения до линзы;     и   – 2R 1R радиусы кривизны поверхностей.      Рис.4.2.2.19 Оптическая сила системы двух линз, сложенных вместе, Ход лучей в линзах ,  1 DDD 2 (4.2.2.30) где   и  1D 2D  – оптические силы линз. Поперечное увеличение  в зеркалах и линзах , k  h H  d f (4.2.2.31) где  и  h H  – высота предмета и высота изображения. Лупа.  Простейшим   прибором   для   визуальных   наблюдений   является лупа. Лупой называют собирающую линзу с малым фокусным расстоянием      к глазу, (F ≈ 10 см).  Лупу   располагают близко а рассматриваемый предмет – в ее фокальной   плоскости.  Предмет виден через лупу под углом (4.2.2.32)    h F , Рис.4.2.2.20. Оптическая схема лупы где  h  –   размер   предмета.   При рассматривании   этого   же предмета невооруженным глазом его следует расположить на расстоянии d0 = 25 см    наилучшего зрения нормального глаза. Предмет будет виден под углом   h d 0 . (4.2.2.33) Отсюда следует, что угловое увеличение лупы равно  k     d 0 . F (4.2.2.34) Линза с фокусным расстоянием 10 см дает увеличение в 2,5 раза. Работу лупы иллюстрирует рис. 4.2.2.6. Микроскоп.   Микроскоп   применяют   для   получения   больших увеличений   при   наблюдении   мелких   предметов.   Увеличенное   изображение предмета   в   микроскопе   получается   с   помощью   оптической   системы, состоящей   из   двух   короткофокусных   линз   –   объектива  S1  и   окуляра  S2 (рис.4.2.2.7.).    Объектив   даст   действительное увеличенное перевернутое изображение   предмета.   Это промежуточное   изображение рассматривается   глазом   через окуляр,   действие   которого аналогично   действию   лупы. Окуляр располагают так, чтобы промежуточное   изображение находилось   в   его   фокальной плоскости;  в  этом   случае  лучи от   каждой   точки   предмета распространяются после  Рис.4.2.2.21.Ход лучей в микроскопе окуляра параллельным пучком. Хороший микроскоп может давать увеличение в несколько сотен раз. При больших увеличениях начинают проявляться дифракционные явления У реальных   микроскопов   объектив   и   окуляр   представляют   собой   сложные оптические системы, в которых устранены различные аберрации.  Увеличение микроскопа , k  ld F F 1 2 (4.2.2.35) где  l – расстояние наилучшего зрения;  – расстояние между объективом d и окулярном;   и  1F 2F – фокусные расстояния объектива и окуляра. Телескоп.   Телескопы   (зрительные   трубы)   предназначены   для наблюдения удаленных объектов. Они состоят из двух линз – обращенной к предмету собирающей линзы с большим фокусным расстоянием (объектив) и линзы с малым фокусным расстоянием (окуляр), обращенной к наблюдателю. Зрительные трубы бывают двух типов:  Зрительная   труба   Кеплера,   предназначенная   для   астрономических наблюдений. Одна дает увеличенные  перевернутые  изображения удаленных предметов и поэтому неудобна для земных наблюдений.  Зрительная труба  Галилея, предназначенная для земных наблюдений, дающая   увеличенные  прямые  изображения.   Окуляром   в   трубе   Галилея служит рассеивающая линза.  На   рис.4.2.2.8.   изображен   ход   лучей   в   астрономическом   телескопе. Предполагается,   что   глаз   наблюдателя   аккомодирован   на   бесконечность, поэтому   лучи   от   каждой   точки   удаленного   предмета   выходят   из   окуляра параллельным   пучком.   Такой   ход   лучей   называется  телескопическим.   В астрономической трубе телескопический ход лучей достигается при условии, что   расстояние   между   объективом   и   окуляром   равно   сумме   их   фокусных расстояний l = F1 + F2.      труба Зрительная (телескоп) принято характеризовать  угловым γ увеличением  . В отличие от микроскопа, предметы, наблюдаемые   в   телескоп, всегда удалены от  Рис.4.2.2.22. Телескопический ход лучей наблюдателя.   Если   удаленный   предмет   виден   невооруженным   глазом   под углом   ,   то   угловым увеличением называют отношение  ,   а   при   наблюдении   через   телескоп   под   углом   ψ φ (4.2.2.36)    . γ , как и линейному увеличению  Угловому увеличению  , можно приписать знаки плюс или минус в зависимости от того, является изображение прямым или   перевернутым.   Угловое   увеличение   астрономической   трубы   Кеплера отрицательно, а земной трубы Галилея положительно.  Угловое   увеличение  расстояния:  зрительных   труб   выражается   через   фокусные Γ (4.2.2.37) F 1 F 2 .