Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Оценка 4.6
Разработки уроков
docx
математика
8 кл
12.06.2019
открытый урок для учителей математики РСО-Алания при ВЦНМО директор В.С.Абатурова. Урок спланирован методом математического моделирования при решении мотивационно- прикладных задач по геометрии тема " Подобие треугольников " 8 класс. Урок является ресурсным и формирует представление о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.
Урок 1 тех. карта.docx
https://youtu.be/s5D8b88m5dM
«Метод математического моделирования при решении мотивационно прикладных задач по теме « Подобие треугольников»» УМК
Класс
Тема урока
Тип урока
Цели урока
Атанасян Л. С, Бутузов В. Ф., Кадомцев СБ., Юдина И. И. Геометрия. 8, Москва, Просвещение, 2008.
8
Метод математического моделирования при решении мотивационно прикладных задач по теме
«Подобие треугольников»
Ресурсный
обучающие: выявление значимости темы: «Метод математического моделирования при решении
мотивационно прикладных задач»
формирование умения применять метод математического моделирования при решении реальных
(жизненных) задач
формирование представлений о математике как о методе познания действительности, позволяющем
описывать и изучать реальные процессы и явления;
развивающие: развитие умений моделировать реальные ситуации на языке алгебры,
исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат;
сформировать представление о математических понятиях как о важнейших математических
моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; применять изученные
свойства геометрических фигур и формулы для решения геометрических задач и задач с
практическим содержанием
воспитательные: мотивирование интереса учащихся к предмету посредством включения их в
решение практических задач, развитие критичности мышления,
развитие практического стиля мышления
Методическая цель:
Проектирование современного урока с учетом ФГОС. Внедрение методики обучения
математическому моделированию в ходе решения мотивационно – ориентированных задач по теме «
Подобие треугольников»
Формируемые универсальные учебные действия
Познавательные УУД
Виды деятельности
ориентироваться в своей системе знаний;
проводить анализ учебного материала;
извлекать информацию, представленную в разной форме;
формулировать конечный результат действий. Регулятивные УУД
Личностные УУД
Коммуникативные УУД
Определять и формулировать цель, которую поставили на уроке целеполагание
∙ составить план действий по решению проблемы
∙ работая по плану, соотносить результат своей деятельности с целью
∙
∙ развитие адекватной самооценки;
∙ развитие познавательных интересов, учебных мотивов;
∙ взаимопомощь.
∙ формулирование и аргументация собственного мнения;
∙ умение договариваться и приходить к общему решению;
∙ умение строить монологическое высказывание.
“Технологическая карта” урока.
Этапы урока
Деятельность учителя
врем
я
Деятельность ученика
I этап
Организация
начала урока.
2ми
н
Приветствие, проверка
готовности учащихся к уроку.
Учащиеся готовятся к уроку,
проверяют наличие необходимых
принадлежностей
5ми
н
II этап
Мотивационны
й блок.
Организация
повторения
пройденного
материала,
Эпиграф к уроку:
"Древние греки, античные греки,
Многим прославились греки навеки.
Даже порой удивленье берёт:
Ну, до чего знаменитый народ!"
Учащиеся формулируют цель
урока
умения применять метод математического
моделирования при решении реальных
(жизненных) задач
Ученик 1
Задачи
этапа
Подготовит
ь учащихся
к
осуществле
нию
учебной
деятельнос
ти
на уроке
Создать
условия для
повышения
учебной
мотивации
и учебной
деятельнос
Универсальн
ые действия,
формируемы
е на уроке
Саморегуляц
ия,
самоконтрол
ь.
Планировани
е учебного
сотрудничест
ва с
учителем и
сверстникам
и, необходимого
для решения
задач с
практическим
содержанием.
Сегодня у нас необычный урок. Мы с
вами попытаемся объединить теорию с
практикой. И вы убедитесь, что
геометрия не «сухая» наука, а знания,
полученные на уроках геометрии,
пригодятся в повседневной жизни.
В одном из древних описаний
рассказывается о том, что цезарь
Птолемей однажды спросил Евклида,
нет ли в геометрии более короткого и
легкого пути, чем его книги, на что тот
ответил, что в геометрии нет царских
дорог.
Если не учитывать весьма скромный вклад
древних обитателей долины между Тигром
и Евфратом и Малой Азии, то геометрия
зародилась в Древнем Египте до 1700 до
н.э
определение
цели,
способов
взаимодейст
вия.
ти
учащихся,
познавател
ьной и
творческой
активности
и
самостояте
льности.
Начало геометрии было положено в
древности при решении чисто
практических задач. Со временем, когда
накопилось большое количество
геометрических фактов, у людей
появилась потребность обобщения,
усвоения и уяснения зависимости одних
элементов от других, установления
логических связей и доказательств.
С геометрией мы сталкиваемся
ежесекундно, даже не замечая этого.
Размеры и расстояния, формы и
траектории движения — всё это
геометрия. Многие знания из области
геометрии могут показаться
элементарными — все знают, что самый
короткий путь через прямоугольный
участок лежит по диагонали. Но для того,
чтобы сформулировать это знание в виде
теоремы Пифагора, человечеству
Притча.
Однажды в страну Великого Хапи с
Северной Милеты пришел усталый
путник. Уже было ближе к вечеру,
садилось солнце, когда чужестранец
подошел к великолепному дворцу
Фараона. Усталый путник сказал что
то слугам. Придворные тут же
распахнули перед ним двери дворца и
провели его в приемную залу. И вот он
стоит в запыленном походном плаще, а понадобились тысячелетия. Геометрия,
как и другие науки, развивалась
неравномерно. На смену резкому всплеску
в Древней Греции пришёл застой Древнего
Рима, который сменился Тёмными веками.
Новому всплеску в Средневековье пришёл
на смену настоящий взрыв 19 — 20 веков.
Из прикладной науки геометрия
превратилась в область высоких знаний, и
её развитие продолжается. А начиналось
всё с подсчёта налогов и измерений
высоты пирамиды.
Ученик 2
Сообщение о Фалесе Милетском.
перед ним на золоченом троне сидит
фараон. Рядом стоят высокомерные
жрецы, хранители вечных тайн
природы.– Кто ты? – спросил
верховный жрец?– Зовут меня Фалес.
Родом я из Милета. Жрец надменно
продолжал:– Так это ты похвалялся,
что сможешь измерить высоту
пирамиды, не взбираясь на нее? –
жрецы согнулись от хохота. – Будет
хорошо, – насмешливо продолжал
жрец, – если ты ошибешься не более,
чем на сто локтей.– Я могу измерить
высоту пирамиды и ошибусь не более
чем на поллоктя. Я сделаю это завтра.
Лица жрецов потемнели. Какая
наглость! Этот чужестранец
утверждает, что может вычислить то,
чего не могут они – жрецы Великого
Египта.– Хорошо, сказал фараон. –
Около дворца стоит пирамида, мы
знаем ее высоту. Завтра проверим твое
искусство”.
Фалес нашёл простое и красивое решение (в математике очень часто
простота признак красоты). Он
воткнул длинную палку вертикально в
землю и сказал: " Когда тень этой
палки будет той же длины, что и сама
палка, то треугольник АВС1 станет
прямоугольным и равнобедренным. А
из параллельности солнечных лучей
следует и треугольник ДЕС тоже
станет равнобедренным, а значит, тень
от пирамиды будет иметь ту же длину,
что и высота пирамиды". Солнце от
Земли очень далеко, поэтому идущие
от него и к пирамиде лучи можно без
большой ошибки считать
параллельными.
Учитель. Мысленные опыты Фалеса
легли в основу первых математических
доказательств. Например, в признаках
равенства треугольников, мы проводим
мысленное совмещение данного
треугольника с другим, уже
построенным.
Фалес определил высоту египетских
пирамид по их тени не только
простейшим способом : «дождавшись
часа, когда наша тень одной длины с
нами» ( тогда и длина тени пирамиды
равна ее высоте) , но и через
установление пропорциональных
отношений между тремя
поддающимися измерению величинами
и искомым параметром. В последнем
История не сохранила ни имён
древнеегипетских, ни вавилонских
"решателей" задач. Так что первого
известного математика придётся искать
среди древних греков. Наибольшие
основания на этот титул у Фалеса
Милетского, родившегося в середине
седьмого века до нашей эры и прожившего
долгую и, несомненно, яркую жизнь.
Об этом человеке почти ничего не
известно достоверно. Но в существовании
этой личности никто не сомневается.
Известно, что в молодости Фалес был
крупным купцом и путешественником, а в
старости считался одним из величайших
греческих мудрецов.
В те далёкие времена ещё не существовало
отдельных наук о величинах, о природе, о
мышлении всё было слито воедино. "
Можно проводить не только практические,
но и мысленные опыты!" эта значительная
идея Фалеса, в равной мере, принадлежит
математике, физике и философии. И не
случайно Фалес считается 5
мин
IIIэтап
Блок
актуализации
полученных
знаний (устная
работа)
случае высоту пирамиды можно
измерить в любое время дня.
родоначальником всех трёх наук.
И, прежде чем приступим к
уроку, повторим все правила
необходимые для решения
задач:
1.Что такое пропорция?
2.Свойство пропорции.
3. Какие отрезки называются
пропорциональными?
4.Решите пропорцию :
а¿ х
.
12 =
7
4
Речь учащихся:
1.Ответ: Равенство двух
отношений называется
пропорцией a:b = c:d
2. Ответ: Произведение крайних
членов пропорции равно
произведению ее средних
членов: a ∙ d =b ∙ c
б)
48
51 =
х
34 .
в)
1
58 : х =
12
29 .
г) 12: 25 =
7
15 : х.
5.Определение подобных
треугольников.
3.Ответ: Отрезки АВ и СД
пропорциональны отрезкам А1 В1
и С1 Д1, если
АВ
А1В1
=
СД
С1Д1
.
4.Решите пропорцию:
а¿ Ответ х = 21;
б) Ответ х = 32;
1
24 ;
35
36
г) Ответ х =
в) Ответ х =
5.Ответ: Два треугольника
называются подобными, если их
углы соответственно равны и
стороны одного треугольника
пропорциональны сходственным
сторонам другого треугольника
∠А=∠А1 ,
Организова
ть устную
работу с
учащимися
по
закреплени
ю учебной
информаци
и,
развивать
активность
и
самостояте
льность
Умение
осознанно и
произвольно
строить
речевое
высказывани
е в устной
форме;
умение с
достаточной
полнотой и
точностью
выражать
свои мысли в
соответствии
с задачами и
условиями
коммуникаци
и. 6.Первый признак подобия
треугольников.
7.Второй признак подобия
треугольников.
В
350
8
А
10
С
М
Р
350
4
5
К
8.Третий признак подобия
треугольников.
∠В=∠В1,∠С=∠С1
АВ
А1В1
=
ВС
В1С1
( коэффициент подобия)
СД
С1Д1
= k.
=
Ответ: Если два угла одного
треугольника соответственно
равны двум углам другого , то
такие треугольники подобны.
(Подобны ли треугольники.
Докажите!)
В
В
Е
С
В
Д
Е
А
С
Дано: АС = 24
С
А
16
Д
12
18
А
Д
7.Ответ: Если две стороны одного
треугольника пропорциональны
двум сторонам другого
треугольника и углы,
заключенные между ними равны,
то такие треугольники подобны.
(Подобны ли треугольники?) P
32
М
40
24
D
4
Е
F
5
3
N
8.Ответ: Если три стороны одного
треугольника пропорциональны
трем сторонам другого, то такие
треугольники подобны.
36
ВС
В1С1
С
треугольники? Докажите!)
В
Д
. (Подобны ли
9
=
18
А
20
СД
С1Д1
АВ
А1В1
=
10
12
мин
IVэтап
Практический
блок.
Фронтальная
проверка
сформированн
ости знаний и
умений по теме
с применением
доски.
Обратимся к задачам «Реальной
математики» из ОГЭ. Задачи эти
предназначены для проверки умения
использовать приобретенные знания в
практической деятельности и
повседневной жизни, строить и
исследовать простейшие
математические модели. Это задания,
формулировка которых описывает
практическую ситуацию знакомую из
жизни. Для решения таких задач,
нужно в ходе анализа условия :
Организовы
вать
самостояте
льную
деятельнос
ть
учащихся.
Развивать
активность
и
познавател
ьную
самостояте
льность.
Выбор
наиболее
эффективных
способов
решения
задач в
зависимости
от
конкретных
условий;
умение
структур
знаний,
ориентировк
Ученики записывают в тетрадях I этап – постановка проблемы (работа
по созданию предмодели);
II этап – анализ данных задачи, поиск
закономерностей;
III этап – формализация проблемы,
построение модели;
IV этап – внутримодельное решение;
V этап – интерпретация модели;
I этап – проверка адекватности модели;
VII этап – чувствительность модели.
Задача 1
I этап: постановка проблемы.
На фонарном столбе на высоте 6
метров закреплена лампа. Девочка
стоит в 4 шагах от столба. Длина ее
тени равна 1 шагу. Найдите рост
девочки в сантиметрах.
этапы математической модели.
Ученик строит математическую
модель на доске:
Решение.
II этап – анализ данных задачи:
высота крепления лампы – это расстояние
от точки крепления лампы точка. В до
поверхности земли – точка А
В
В
а
А
6
а
Д
4
А
МС1
а в
разнообразии
способов
решения
задач,
осознание и
произвольно
е построение
речевого
высказывани
я в устной и
письменной
форме.
6 м
4шага
1 шаг
Изобразим поверхность земли прямой
АМ, столб отрезком АВ, верхний конец
которого – точка крепления лампы.
Отрезок СД используем для изображения
девочки.
III этап –формализация проблемы,
построение модели:
луч света лампы касается макушки головы
девочки и ограничивает тень (точка М).
Поскольку девочка стоит в четырех шагах
от столба, а тень девочки равна одному
шагу, то АС = 4СМ, пусть СМ = x, тогда
АС = 4x. ⋁ этап - интерпретация
модели: ( На этом этапе
полученное математическое
решение переводиться на язык
исходной ситуации.) Итак,
зная высоту столба, мы
определили рост девочки - 120
см.
⋁ I этап – проверка
адекватности модели:(На этом
этапе выясняется, согласуются
результаты эксперимента с
теоретическими следствиями
из модели в пределах
определенной точности.) или
( проверка ответа – подставить
ответ в проблему)
Итак, при росте девочки -1,2 м.
фонарный столб имеет высоту
– 6 м., девочка стоит в 4 шагах
от столба, тень девочки – 1
шаг
I ⋁ этап – внутримодельное
решение:Чтобы найти рост девочки,
нужно, зная длину отрезка АВ, вычислить
длину отрезка СД.
Прямоугольные треугольники
МАВ и МСД имеют общий угол,
значит, они подобны. Поэтому, в
качестве математического
метода преобразования модели
используем метод подобия. В
подобных треугольниках ⊿
МАВ и ⊿ МСД стороны АВ и СД
пропорциональны сходственным
сторонам АМ и СМ, т.е.
АВ
СД =
АМ
СМ .
Поскольку, АМ = АС + СМ = 4СМ
+ СМ =4x + x = 5x, то
АВ
СД =
5x
x = 5; т.е.
АМ
СМ = 5 =
данные, получим
k( коэффициент подобия)
Подставив в пропорцию числовые
6
СД = 5, СД
= 1.2 м = 120см.
⋁ II этап – чувствительность
модели:
Поменяем данные, чтобы
проверить практичность условия тогда
АМ
СМ ,
АВ
СД =
задачи:
а) пусть высота столба 10 метров,
10
СД =
5 , СД = 2 м. Рост девочки равен
200 см.
2м.= 200 см.
Это не соответствует
действительности, так как рост
девочки не может быть равен 2
метрам
А
10
? см
4шага
1 шаг
10
50 см
? см
1 шаг
19 б) пусть высота столба 10 м.,
девочка стоит в 19 шагах от
АМ
СМ ,
столба, тогда
АВ
СД =
10
СД = 20 , СД = 0,5 м.Рост
девочки равен 50 см.
Это не соответствует
действительности, так как
теперь рост девочки 50 см. – это
рост новорожденного ребенка. 10
мин
Vэтап
Деятельный
блок.
Решение
мотивационно
прикладных
задач.
Задача со школьного двора:
I этап – постановка проблемы.
Найдите высоту дерева, если длина его
тени равна 8,4 м., а длина тени от
вертикального столба высотой 2м. в
это же время суток равна 2,4 м
II этап – анализ данных задачи,
поиск закономерностей
Ученики решают самостоятельно:
Решение: Изобразим
поверхность земли двумя
отрезками АВ и А1В1, где АВ
=2,4м. – длина тени
вертикального столба, А1В1 =8,4
м. – длина тени дерева, ВС = 2 м
– длина вертикального столба
III этап –формализация проблемы,
построение модели: Таким
образом, чтобы найти высоту
дерева нужно построить чертеж –
геометрическую модель,
описанной в задаче ситуации
С1
В
2 м.
А
2,4м.
С
А1
8,4м.
В1
Применение
знаний по
теме при
решении
задач,
встречающи
хся в
реальной
жизни.
Организовы
вать
самостояте
льную
деятельнос
ть
учащихся.Р
азвивать
активность
и
познавател
ьную
самостояте
льность
Выбор
наиболее
эффективных
способов
решения
задач в
зависимости
от
конкретных
условий;
умение
структуриров
ать знания,
ориентировк
а в
разнообразии
способов
решения
задач,
осознание и
произвольно
е построение
речевого
высказывани
я в устной и
письменной
форме IV этап – внутримодельное
решение.
Солнце находится в определенном месте в
конкретный момент времени, а столб и
дерево параллельны, значит
∠АСВ=∠А1С1В1 , ∠В=∠В1 ,
Прямоугольные треугольники
⊿ АВС ⊿А1С1В1 , (по
первому признаку подобия
треугольников).
Поэтому, в качестве
математического метода
преобразования модели
используем метод подобия
=
ВС
В1С1
;
. Подставим в
2
х , х =
АВ
А1В1
пропорцию числовые данные:
8,4⋅2
2,4
8,4 =
2,4
х = 7
⋁ этап - интерпретация
модели: ( На этом этапе
полученное математическое
решение переводиться на язык
исходной ситуации.) Итак, зная
пропорциональность отношений между
тремя поддающимися измерению
величинами,мы находим параметры
искомой величины – высота дерева равна 7
метрам.
⋁ I этап – проверка
адекватности модели: (На этом
этапе выясняется, согласуются
результаты эксперимента с теоретическими следствиями из
модели в пределах определенной
точности.) или (проверка ответа –
подставить ответ в проблему).
Итак, при высоте дерева -7 м.,
длина его тени равна 8,4 м., а длина тени
от вертикального столба высотой 2м равна
2,4 м
⋁ II этап – чувствительность
модели:
Поменяем данные, чтобы
проверить практичность условия
задач( предлагает ученик)
Ученики осуществляют
рефлексию, устно анализируют и
подводят итоги урока,
рассказывают какие умения
приобрели и развили, какой
эмоциональный заряд получили
Рефлексия
способов и
условий
действия,
оценка
процесса и
результата
деятельност
и.
Организова
ть
проведение
учащимися
самоанализ
ы и
самооценки
собственно
й учебной
деятельнос
ти на уроке
и уровня
знаний по
теме.
3ми
н
VIэтап
Деятельностны
й блок.
Подведение
итого
Рефлексия.
Итог урока.
Парад математических методов:
Какие понятия мы сегодня узнали?
Ответ: 1. Мотивационно – прикладная
задача – это сюжетная задача ,
решаемая математическими
средствами 2.Метод математического
моделирования:
I этап – постановка проблемы;
II этап – анализ данных задачи, поиск
закономерностей;
III этап – формализация проблемы,
построение модели;
IV этап – внутримодельное решение;
V этап – интерпретация модели;
I этап – проверка адекватности модели;
VII этап – чувствительность модели.
3. Что используем в качестве
математического метода
преобразования модели ?
Ответ: В качестве математического
метода преобразования модели
используем метод подобия, так как
метод подобных треугольников
позволяет проще и рациональнее
решить сюжетную ( жизненную) задачу. 4. А какой признак подобия чаще
использовался для доказательства
подобия треугольников? (первый)
(признаки подобия треугольников
широко применяются в жизни – в быту,
в спорте, в архитектуре, в
строительстве…)
VIIэтап
Домашнее
задание
3
мин
Домашнее задание: ЗАДАЧИ НА
ДОМ:
Старинная арабская задача:
ученики записывают домашнее
задание
На обоих берегах реки растет по
пальме, одна против другой. Высота
одной 30 локтей, другой – 20 локтей.
Расстояние между их основаниям – 50
локтей, другой – 20 локтей. Расстояние
между их основаниями – 50 локтей. На
верхушке каждой пальмы сидит птица.
Внезапно обе птицы заметили рыбу,
выплывшую к поверхности воды между
пальмами. Они кинулись к ней разом и
достигли ее одновременно. На каком
расстоянии от основания более
высокой пальмы появилась рыба?
Задача Бхаскары:
.Развивать
активность
и
познавател
ьную
самостояте
льность.
формировани
е позитивной
самооценки ;
управление
поведением
партнёра,
умение
слушать и
понимать
речь других ;
умение
адекватно
анализирова
ть
правильность
выполнения
действий и
вносить
необходимые
коррективы ;
построение
речевого
высказывани
я в устной
форме,
рефлексия
способов и
условий
действия ( Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом.
Отнёс его в сторону. Нет,
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь
глубока?”
Какова глубина в
современных единицах
длины (1 фут приближенно
равен 0,3 м) ?
И в заключении мне хотелось бы
сказать:
Геометрия – это наука, которая обладает всеми свойствами
хрустального стекла, такая же
прозрачная в рассуждениях,
безупречная в доказательствах, ясная в
ответах, гармонично сочетающая в себе
прозрачность мысли и красоту
человеческого разума. Геометрия до
конца не изученная наука, и может
быть, многие открытия ждут именно
вас.
Желаю удачи в дальнейшем изучении
науки.
Директор МБОУ СОШ № 6 В.М. Арчегова
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Открытый урок по геометрии 8 класс «Метод математического моделирования при решении мотивационно - прикладных задач по теме « Подобие треугольников»»
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.