Оценка значений квадратных корней_Приложение 1 к уроку №7

Приложение 1. Разобрать пример

Пример. Вычислим приближенное значение .

В ходе вычисления будем использовать следующую теорему:

Если , то .

Будем рассуждать следующим образом. Число  больше 1, так как 1² < 2.

В тоже время, число  < 2, так как 2² больше 2. Следовательно, десятичная запись числа будет начинаться следующим образом: 1,… То есть корень из двух, это единица с чем-то: 1<<2.

Теперь попытаемся отыскать цифру десятых. Для этого будем дроби от единицы до двойки возводить в квадрат, пока не получим число большее двух. Шаг деления возьмем 0,1, так как мы ищем число десятых. Другими словами, будем возводить в квадрат числа: 1,1; 1,2; 1,3; 1,4;1,5; 1,6;1,7; 1,8;1,9

1,1² =1,21;

1,2²=1,44;

1,3²=1,69;

1,4²=1,96;

1,5²=2,25.

Получили число превышающее двойку, остальные числа уже не надо возводить в квадрат. Число 1,4² меньше 2, а 1,5² уже больше двух, то число  должно принадлежать промежутку от 1,4 до 1,5 (1,4<  < 1,5). Следовательно, десятичная запись числа  в разряде десятых должна содержать 4. =1,4… Иначе говоря,  это число большее 1.4, но не превышающее 1.5.

Далее ищем цифру сотых, точно таким же образом. Возводим в квадрат числа от 1,41 до 1,49, с шагом 0,01, пока не получим число большее двух.

1,41²=1,9881, 1,42²=2,0164.

Уже при 1,42 получаем, что его квадрат больше двух, далее возводить в квадрат числа не имеет смысла.

Из этого получаем, что число будет принадлежать промежутку от 1,41 до 1,42 (1,41< < 1,42).

Так как нам необходимо записать  с точностью до двух знаков после запятой, то мы уже можем остановиться и не продолжать вычисления.  ≈ 1,41. Это и будет ответом. Если бы необходимо было вычислить еще более точное значение, нужно было бы продолжать вычисления, повторяя снова и снова цепочку рассуждений.

Данный прием позволяет извлекать корень с любой заданной наперед точностью.