Презентация к открытому уроку по теме "Логарифмическая функция и ее приложение"

Потому-то, словно пена,
Опадают наши рифмы.
И величие степенно
Отступает в логарифмы.

Борис Слуцкий

Изобретение логарифмов в начале 17 в. тесно связано с развитием в 16 в. производства и торговли, астрономии и мореплавания, требовавших усовершенствования методов вычислительной математики. Всё чаще требовалось быстро производить громоздкие действия над многозначными числами, всё точнее и точнее должны были быть результаты действий. Вот тогда-то и нашла воплощение идея логарифмов, ценность которых состоит в сведении сложных действий (возведения в степень и извлечения корня) к более простым действиям (умножению и делению), а последних – к самым простым (сложению и вычитанию).

Бюрги вложил в составление таблицы огромнейший труд. Одних умножений громоздких чисел на 1,0001 пришлось произвести свыше 200 млн. раз. Восемь лет жизни отдал Бюрги составлению таблицы. Начав вычисления в 1603 г., он завершил их в 1611 г. «Таблицы арифметической и геометрической прогрессии с обстоятельным наставлением, как пользоваться ими при всякого рода вычислениях» были первыми, пока не опубликованы таблицами логарифмов. Они явились новым мощным средством вычислений и имели огромные преимущества над старыми и отсталыми вычислительными способами.

Бюрги не торопился сдать в печать свой труд, что оказалось для него роковым . Благодаря настоянию Кеплера таблица Бюрги была всё же опубликована в Праге в 1620 г. Она была высоко оценена учёными и сыграла известную роль в развитии вычислительной математики, но не получила широкого распространения. Причин было несколько. Таблица Бюрги была малоудобной. Одно из неудобств её состояло в том, что по существу она представляла собой таблицу не логарифмов, а антилогарифмов. Другим неудобством было то, что при пользовании этими таблицами часто приходилось прибегать к громоздким вычислениям. Однако важнейшей причиной ограниченного успеха таблицы Бюрги явилось то, что ещё за 6 лет до её опубликования появилась в печати более совершенная таблица логарифмов шотландского математика Джона Непера.

Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течение 5 лет учился в различных университетах Европы. Затем серьёзно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришёл ещё в 80-х годах 16 века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614г., после 5-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц». Неперу принадлежит и сам термин «логарифм», который он переводит как «искусственное число». Несмотря на все свои преимущества, таблицы Непера были еще далеки от наших современных логарифмических таблиц. Идея создания десятичных логарифмов была осуществлена одним из его друзей – Генри Бриггсом. Бриггс уже в 1617 г. Опубликовал таблицу десятичных логарифмов чисел до 1000, а в 1624 г. Издал под названием «Логарифмическая арифметика» обширные 14-значные таблицы десятичных логарифмов чисел от 1 до 20000 и от 90000 до 100000.

…Даже изящные искусства питаются ею.
Разве музыкальная гамма не есть
Набор передовых логарифмов?

Из «Оды экспоненте»

Известный физик А.А. Эйхенвальд (1863-1944гг.) вспоминал:  

“Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математику. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. “Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприемлемой”. Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах”.

Музыканты редко увлекаются математикой. Большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими “страшными” вещами, как логарифмы.

И действительно, так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12- звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2.
 
Положим, что ноте “до” самой низкой октавы – будем ее называть нулевой – соответствует частота, равная n колебаниям в секунду. В октаве частота колебаний нижнего звука в 2 раза меньше верхнего, т.е. эти частоты соотносятся как 1 : 2. Тогда ноте “до” первой октавы будут соответствовать 2n колебания в сек., а ноте “до” третьей октавы - 2m · n колебания в сек. И т.д.. Тогда высоту, т.е. частоту любого звука можно выразить формулой!

Вывод формулы

1. Nmn = n · 2 (12v2)p ;
2.Логарифмируя эту формулу. Получаем

lg Nmp = lg n + m lg2 + p(lg2)/12;


g Nmp = lg n + (m + p/12) lg2
3.Принимая частоту самого низкого “до” за единицу (n = 1) и приводя все логарифмы к основанию 2. имеем


log2 Nmp = m + p/12

Первым ученым, открывшим эту удивительную кривую, был Рене Декарт (1596-1650г.г.).

Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Ее свойства удивляют и биологов.
Например, раковины моллюсков, улиток, закручены по логарифмической спирали.

Произвольный луч, выходящий из полюса спирали, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом.
Логарифмическая спираль не изменяет своей природы при многих преобразованиях, к которым чувствительны другие кривые. Сжать или растянуть эту спираль – то же самое, что повернуть ее на определенный угол.

Солнечная система и многие галактики выглядят в виде логарифмической спирали

Продолжим урок остроумной алгебраической головоломкой, которой развлекались участники одного съезда физиков в Одессе. Предлагается задача: любое число , целое и положительное, изобразить с помощью трёх двоек и математических символов, например, пусть дано число 3.

Представьте сами число 5

Общее решение задачи записывается в виде

N раз

Многообразные применения показательной и логарифмической функции вдохновили английского поэта Элмера Брилла, он написал «Оду экспоненте».
Были поэты, которые не посвящали од экспоненте и логарифмам, но упоминали их в своих стихах. Например, в своем стихотворении «Физики и лирики» поэт Борис Слуцкий написал те строки, которые вынесены в эпиграф к уроку.

Потому-то, словно пена,
Опадают наши рифмы.
И величие степенно
Отступает в логарифмы.

фунтов

« СЧИТАЙ НЕСЧАСТНЫМ ТОТ ДЕНЬ ИЛИ ЧАС, В КОТОРЫЙ ТЫ НЕ УСВОИЛ НИЧЕГО НОВОГО И НИЧЕГО НЕ ПРИБАВИЛ К СВОЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ.»

Я. А. КОМЕНСКИЙ.