План-конспект урока по геометрии (9 класс): Синус, косинус и тангенс угла

Тема урока: «Синус, косинус и тангенс угла» Дата проведения: 21.11.2017г Класс: 9. Цель урока: ­ образовательная: ввести понятия синуса, косинуса и тангенса угла, актуализировать знания о   синусе,   косинусе   и   тангенсе   угла   в   прямоугольном   треугольнике,   ознакомить   с   основным тригонометрическим  тождеством, формулами приведения и формулой для нахождения координат точки, научить применять их при решении задач; ­ развивающая: развитие внимания, памяти, речи, логического мышления, самостоятельности; ­   воспитательная: воспитание   дисциплины,   наблюдательности,   аккуратности,   чувства ответственности.          Оборудование: мультимедиа проектор, презентация. Тип урока: изучение нового материала. Форма урока: урок ­ практикум План урока: Орг. момент (2 мин); Актуализация знаний (4 мин); Изучение нового материала (15 мин); Первичное закрепление нового материла (9 мин); Подведение итогов урока и домашнее задание (2 мин). Ход урока: I. Организационный момент. 1. 2. 3. 4. 5. Учитель приветствует учащихся, подготавливает помещение к уроку и отмечает отсутствующих. II. Актуализация знаний. ­ Сегодня мы приступаем к изучению новой главы «Соотношение между сторонами и углами треугольника.   Скалярное   произведение   векторов»   и   первой   темой   в   данной   главе   будет   «Синус, косинус и тангенс угла». Запишите в тетрадях число и тему урока (слайд 1). ­ Но прежде, чем перейти к изучению этой темы, повторим с вами пройденный материл. – что называют синусом острого угла? ­  что называют косинусом острого угла? ­ что такое тангенс острого угла? ­ теперь решите следующий пример (слайд 2). 1. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС АВ = 6, ВС = 3, угол А = 30º. Sin A = ?         Cos В = ?   Вариант 1 находит значение синуса угла А, вариант 2 находит косинус угла В. (ученики самостоятельно решают в тетрадях) Решение 1) В = 90º – 30º = 60º. 2) Вычислим sin A.      sin A =   =   =  . 13) Теперь вычислим cos B.      cos B =   =   =  . В итоге получается: sin A = cos B =  . или sin 30º = cos 60º =  . III. Изучение нового материала ­ Мы   вспомнили,   что   является   синусом,   косинусом   и   тангенсом   угла   в   прямоугольном треугольнике.   Теперь   мы   познакомимся   с   этими   понятиями   в   независимости   от   фигуры,   в которой они находятся. Введем   прямоугольную   систему   координат   Оху   и   построим   полуокружность   радиуса   1   с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Данная полуокружность называется единичной (см. рис. 290 в учебнике). Запишите определение с экрана и сделайте рисунок. (слайд 3)   Запись на доске и в тетрадях: Если угол  острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем, sin  =   , a cos  =  . Но OM = 1, MD = y, OD = x, поэтому sin  = y, cos  = x.   (1) Запись на доске и в тетрадях: Т.к. tg =  , то   tg =  , ctg =   . (слайд 4). Запись в тетрадях: Т.к. 0 ≤ у ≤ 1, ­ 1 ≤ х ≤ 1, то для любого  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 0 ≤ sin  ≤ 1, ­ 1≤ cos  ≤ 1. (слайд 5).    А теперь найдем значения синуса и косинуса для углов 0, 90 и 180. Запись в тетрадях: Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = ­ 1 (слайд 6) Запись в тетрадях: Т.к. tg =   , то при  = 90 тангенс угла  не определен. tg 0  = 0, tg 180  = 0, т.к. ctg =    , то при  = 0 ,  =  180   катангенс угла  не определен ctg 90 = 0. (слайд 7) Кроме этих значений при решении задач вам понадобятся и другие значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса при различных угла . (слайд 8).     Основное тригонометрическое тождество. Запись в тетрадях: 2Для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 верно sin2  + cos2  = 1 ­ основное тригонометрическое тождество. (слайд 9) Теперь определим знаки синуса, косинуса и тангенса в разных четвертях. Запись в тетрадях:  т.к. sin  =   ,  I , II ч ­ sin  > 0, III, IV ч ­ sin  < 0 (слайд 10) Знаки тангенса и котангенса. Запись в тетрадях: tg  =   I , III ч ­ tg  > 0, II, IV ч ­ tg  < 0 ctg  =  I , III ч ­ ctg  > 0, II, IV ч ­ ctg  < 0.    Кроме основного тригонометрического тождества справедливы также следующие тождества, которые являются формулами приведения.  (слайд 11)  Формулы приведения. sin (90 ­ ) = cos  cos (90 ­ ) = sin      (5)    при 0 ≤   ≤  90   , sin (180 ­ )= sin  cos (180 ­ ) = ­ cos     (6)   при   0 ≤   ≤  180    . Формулы для вычисления координат точки.  Пусть   задана   система   координат   Оху   и   дана   произвольная   точка   А(х;у)   с   неотрицательной ординатой у (см.рис. 291 учебника).   Запись в тетрадях: sin  = y, cos  = x   М(cos ; sin ),  (cos ; sin ),  По лемме о коллинеарных векторах   (х; у).  = ОА ∙  , поэтому x = ОА ∙ cos , y = OA ∙ sin . (7)  (слайд 12) 4. Закрепление изученного материала  Теперь закрепим изученный материал при решении следующих номеров задач: №№ 1012, 1013, 1015. К доске вызываются ученики. № 1012. 3Дано: М1(0; 1), М2 (   ;  ), М3 (  ;  ), М4 (­ ;  ), А(1; 0), В(­ 1; 0) Найти: sin, cos, tg углов: АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ  Чтобы проверить, принадлежат ли точки единичной полуокружности, мы должны координаты точек подставить в уравнение окружности х2 + у2 = 1. М1 (0; 1), 02 + 12 = 0 +1 = 1, следовательно М1  М2 (    = 1,   +  ),   +  ;   Окр (0; 1).  = 1, 1 = 1, следовательно М2   Окр (0; 1). М3 (  ;  ),  +  = 1,   +   = 1, 1 = 1, следовательно М3   Окр (0; 1). М4 (­ ;  ),   +   = 1,   +   = 1, 1 = 1, следовательно М4   Окр (0; 1). А(1; 0), 1 2 + 02 = 1 = 1, следовательно А  В(­ 1; 0), (­1)2 + 02 = 1 = 1, следовательно В     Окр (0; 1).  Окр (0; 1). Находим синус, косинус и тангенс угла АОМ1. Т.к. sin  = y, cos  = x, tg =                        sinАОМ1= 1, cosАОМ1 = 0. sinАОМ2 =  ,                                                 cosАОМ2 =  , tg АОМ2 =  . sinАОМ3 =  ,                                                 cosАОМ3 =  , tg АОМ3 = 1. sinАОМ4 =  ,                                                   cosАОМ4 = , tg АОМ4 =  . sinАОВ =  ,                                                      cosАОВ = № 1013 (а, б) Дано: а) cos  =  . , tg АОВ =  .            б) cos  =  . Найти: sin .         Решение: sin2  + cos2  = 1 a) sin2  = 1 ­ cos2 ; sin2  = 1 ­  ;    sin2  =   = 1 ­   =  ;  Так как  находится в 1 ч., то sin  > 0, sin  =  б) sin2  = 1 ­   = 1 ­   =  ; Так как  находится во 2 ч., то sin  > 0, sin  =   .   4№ 1015 (а, в)­ самостоятельно  5. Подведение итогов урока и домашнее задание Д/з: §1, п 93 ­ 95, № 1014, 1015 (б, г) (Слайд 13)         а) – 1 вариант; в) – 2 вариант 5