Почему
Почему
появляются
появляются
разные
разные
геометрии??
геометрии
Цель:
Цель:
изучить исторический материал, к
проблеме параллельности прямых;
выяснить, существует ли
доказательство пятого постулата
Евклида;
выяснить, существует ли
доказательство пятого постулата
Евклида.
Задачи:
Задачи:
Изучить постулати евклидовой
геометрии
Рассмотреть аксиомы геометрии
Лобачевского;
Сделать сравнительный анализ двух
геометрий;
Выяснить, есть ли другие геометрии,
основанные на других аксиомах ;
Сделать выводы.
Геометрия Евклида
Геометрия Евклида
Первым систематическим изложением
геометрии, который дошел до наших
времен являются “Начала” (в 13
книгах) Александрийского математика
Евклида
Там, где с морем сливается Нил,
в древнем жарком краю пирамид
математик греческий жил –
многознающий, мудрый Евклид.
Геометрию он изучал.
Геометрии он обучал.
Написал он великий труд.
Эту книгу «Начала» зовут.
В “Началах” был развит
аксиоматический подход к
построению геометрии, где
сначала формируются основные
положения (аксиомы), а затем на
их основании путем размышлений
доказываются другие
утверждения (теоремы).
Изложение геометрии Евклида
долгое время служил
недосягаемым образцом точности
и строгости.
Постулаты Евклида
Постулаты Евклида
От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой
Из всякого центра и всяким раствором циркуля может быть
описан круг
Все прямые углы равны между собой
Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние
односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то,
продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той
стороны, где углы в сумме меньше двух прямых.
О чем говорит
О чем говорит
VV постулат Евклида
постулат Евклида
Если две прямые а и в создают
при пересечении с третьей прямой
внутренние односторонние углы α
и β, сумма величин которых
меньше двух прямых углов (т. е.
меньше 180º), то эти две прямые
обязательно пересекутся, причем с
той стороны от третьей прямой, по
которую расположены углы α и β
(которые вместе создают меньше
180 º)
О параллельных он писал трактат
Задумался. Не шли дела на лад.
Коль две прямые третьей пересечь,
углы накрестлежащие сравнить…
Да разве тут об аксиоме речь?!
Как мог Евклид ошибку допустить!
Старик науку строил много дней.
Дороги в мире не было ровней.
Две параллельных – камень преткновенья.
Но разве есть дорога без камней.
Великих и безвестных – сколько их!
О параллельных думали прямых.
Считали аксиому теоремой.
А доказать? Вот труд не из простых!
Как формулируется
Как формулируется
равносильна аксиома
равносильна аксиома
параллельности
параллельности
К данной прямой
через данную вне ней
точку можно провести
не более одной
параллельной прямой.
B
а
в
Возьмем две точки А и В на расстоянии 1 м
друг от друга и проведем через них две
прямые а и в, причем так, что а создает с
прямой АВ угол =90º, а угол между прямыми
в и АВ равен 89º59’59”.
Другими словами, сумма двух внутренних
однобоких углов а и в всего на 1 угловую
секунду меньше 180 º . Продолжим прямые а и
в , пока они не пересекутся в некоторой точке
С. Появился прямоугольный треугольник АВС, у
которого угол А прямой , угол при вершине
угла С равен 1 угловой секунде. Катет АС этого
треугольника имеет длину АВ/tg Υ , и
равняться приблизительно 206 км.
Угол в 1 секунду в нашем обыденном жизни
кажется не значительным , но имеет большое
значение при астрономических
расчетах.
Проверить, что прямые а и в пересекаются на
расстоянии 206 км от прямой АВ, совсем непросто,
ибо изготовить плоский лист и линейку длиной
более 200 км почти невозможно.
Использовать оптические приборы?
Но тогда надо добавить еще один постулат:
свет распространяется по прямой
(а это уже физика).
Поэтому пятый постулат Евклида
не такой простой и убедительный !
Но стояла геометрия Евклида,
как египетское чудо – пирамида.
Строже выдумать строенья невозможно.
Лишь одна была в ней глыба ненадежна.
Аксиома называлась «ПАРАЛЛЕЛИ»,
разгадать ее загадку не сумели…
Это привело к то, что многие математики,
жившие после Евклида, пытались изменить
аксиому о параллельных прямых на более
простую и понятную,
или доказать ее как теорему с помощью
остальных аксиом геометрии.
Шла долгая и затяжная “ война ” математиков с
пятым постулатом. Но наиболее далеко прошли
“ в боях ” с этой аксиомой Саккери, Лежандр,
Саккери, Лежандр,
Гаусс, Больяй, и Лобачевский
Лобачевский.
Гаусс, Больяй
В геометрии истину каждого утверждения надо
В геометрии истину каждого утверждения надо
доказывать, нельзя полагаться только на
доказывать, нельзя полагаться только на
наблюдения
наблюдения
На рисунке буквы расположены На рисунке
изображена спираль
Параллельно(стоят прямо) Или несколько
кругов?
или нет?
Ответ: параллельно Ответ:круг
Позитивний момент:
Позитивний момент:
Благодаря зрительным искажением
Благодаря зрительным искажением
существует живопись
существует живопись
Много геометров делали попытки обойти
пятый постулат другим, казавшимся более
очевидным.
На этом пути были сформулированы многие
положения и все они были эквивалентны
пятому постулату Евклида..
Сумма углов треугольника равна180º;
Во всех треугольниках сумма углов одна и та же;
Через любую точку внутри угла можно провести
секущую, пересекающую обе стороны угла;
Существует два подобных , но не равных
треугольника;
Теорема Пифагора;
Для всякого треугольника существует описанный
круг
и
другие.
В конце 18 века у некоторых
геометров появилась мысль о
невозможности доказать пятый
постулат. Допустив, что он неверен,
математики делали попытки прийти
к логическому противоречию. Они
приходили к утверждениям,
противоречащим нашей
геометрической интуиции, но
логического противоречия не
получалось.
Возможно
на этом
пути вовсе
не прийти к
противореч
ию?
Гипотез : любая теория современной
Может ли быть так, что изменив пятый
постулат его отрицанием, мы придем к новой
неевклидовой геометрии, которая во многом
не совпадает с нашими уже привычными
представлениями, но тем не менее не
содержит никаких логических противоречий?
Гипотез :
науки будет единственно верной, пока
не будет построена следующая.
Невозможность доказать некоторые
геометрические утверждение средствами
евклидовой геометрии послужило поводом
построения другой геометрии, которая тоже
справедливая.
Другая
геометрия?
Геометрия Лобачевского
Николай Иванович Лобачевский
Николай Иванович Лобачевский
((1792 – 1856 гг.)
1792 – 1856 гг.)
Все! Перечеркнуты “Начала”.
Довольно мысль на них
скучала,
Хоть прав почти во всем
Евклид,
Но быть не вечно постоянству:
И плоскость свернута в
пространство,
И мир иной имеет вид...
Геометрия Лобачевского
Лобачевский построил новую геометрию,
отверг V постулат Евклида, а заменил его
другим, прямо противоположным: “Через
точку А вне прямой а в плоскости,
определяемой точкой А и прямой а,
проходит по крайней мере две прямые с и
в не имеющие общей точки с прямой а ”.
Математик не получил противоречия. Откуда
выходит, что таких прямых может быть
неограниченное количество.
Доказывая много теорем, не найдя логических
противоречий, Лобачевский пришел к выводу о
непротиворечивости этой геометрии.
В геометрии Лобачевского сохраняются
все теоремы , которые в евклидовой
геометрии доказываются без
использования пятого постулата
например:
Вертикальные углы равны
Углы при основании равностороннего треугольника равны;
Из данной точки можно опустить на данную прямую только
один перпендикуляр и другие.
В чем разница между геометриями
В чем разница между геометриями
Евклида и Лобачесвского
Евклида и Лобачесвского
через точку, которая не
лежит на данной прямой,
через точку, которая не лежит
на данной прямой, проходит
по крайней мере две прямые,
проходит только одна
лежащие с данной прямой в
Выводы: геометрия Лобачевского отличается от евклидовой
прямая, лежащая с данной
прямой в одной плоскости и
одной плоскости и не
Выводы:
только в одной аксиоме – пятой.
Но главная разница кроется в понимании самой природы
не пересекает ее
пересекающие ее
пространства.
Сюрпризы в геометрии Лобачевского от
Сюрпризы в геометрии Лобачевского от
теорем, где используется аксиома
теорем, где используется аксиома
параллельности прямых
параллельности прямых
В геометрии Лобачевс кого сумма
углов какого-либо треугольника
меньше 180º.
Разница между 180º и суммой углов
треугольника положительна и имеет
название дефект (D) этого треугольника.
Формула для площади треугольника S=k D,
то есть площадь связана с его дефектом.
Наибольшую площадь имеет треугольник с
нулевыми углами, а его стороны имеют
бесконечную длину.
В геометрии Лобачевского:
В геометрии Лобачевского:
Не существует подобных фигур;
два неравных равносторонних
треугольника имеют неравные
углы;
если углы одного треугольника
равны соответственно углам
второго треугольника, то эти
треугольники равны.
Две прямые , которые не
совпадают -
или пересекаются в одной точке,
или параллельные,
или
расходятся
.
Двухугольник
Двухугольник в геометрии —
это мноугольник с двумя сторонами и
двумя углами.
В Евклидовой геометрии двухугольник -
невозможная фигура, ибо его две стороны
совпадают.
Но в сферической геометрии
двухугольник создается при
пересечении двух больших кругов.
Площадь двухугольника S = 2R2α, где R
— радиус сферы, а α – угол
двухугольника.
Геометрия Римана
Геометрия Римана
Через некоторое время идеи
Лобачевского были приняты
некоторыми математиками, и
следующим этапом развития
геометрии стала эллиптическая
геометрия Римана.
Риман исходил из того, что через
точку,которая не лежит на данной
прямой, вообще нельзя провести
прямую, не пересекая данную.
В геометрии Римана
В геометрии Римана
Две прямые всегда пересекаются;
Параллельных прямых совсем не
существует;
Сумма углов прямоугольного
треугольника больше 180º;
Прямая имеет конечную длину;
Площадь имеет конечную
площадь
и другии.
Как же используется
Как же используется
невклидова геометрия?
невклидова геометрия?
Геометрии Евклида,
Лобачевского и Римана
является в свою очередь
отдельными случаями общей
геометрии Римана для
многомерных искривленных
пространств.
Современники Лобачевского и Римана
отказывались принимать новую геометрию
В Казани вышел труд его в журнале.
Ученые плечами пожимали.
Ни слова одобренья.
Слышал лишь:
«Так, господа,
гора рождает мышь!: -
Непониманье…
От него не скрыться.
В нем столько боли, горечи таится…
Оно сжимает, давит словно спрут…
Но в Петербург его отослан труд.
Должны. Должны понять его в столице…
В начале 20 века, как гром с ясного неба
Эйнштейн создает теорию относительности,
частным случаем которой является теория
тяготения Ньютона.
Оказалось, что взаимосвязь пространства и
времени, описываемая в теории
относительности, имеет непосредственное
отношение к геометрии Лобачевского.
Например, в расчетах современных
синхрофазотронов используются формулы
геометрии Лобачевского.
Следствием теории относительности
является тот факт, что наш, как мы думали
трехмерное евклидово пространство на
самом деле не является таковым.
Мы живем в четырехмерном искривленном
пространстве - времени , которое
описывается общей теорией Римана.
Притяжения на самом деле является
результатом искривления пространства
вблизи массивных тел.
Следствием этого является замедление
времени вблизи тяжелых тел, кратчайшее
расстояние между точками не прямая, а
некоторая кривая .
Выяснено достоверно
замедление времени при скоростях,
близких к скорости света.
Параметры орбиты Меркурия,
самой близкой к Солнцу планеты
не укладывались в теорию
тяготения Ньютона, а теория
относительности смогла это объяснить
искривлением пространства
вблизи Солнца.
Модель Бельтрами
Кривизна пространства проявляется в больших
масштабах и вблизи массивных космических тел
, а в повседневной жизни на нашей планете мы
можем с успехом пользоваться геометрией
Евклида и механикой Ньютона с большой
точностью, так как нелинейные поправки на
кривизну пространства очень малы.
Видите ли вы
Видите ли вы
движение на
движение на
рисунке?
рисунке?
Как показали исследования, геометрия
Лобачевского (в том числе
и 5 –й постулат) бесспорно верна, если
ее рассматривать не на площади , а на
поверхности гиперболического
параболоида (изогнутой поверхности,
напоминающей седло)
Гиперболическая модель в двухмерном
пространстве
Искривление Вселенной:
изогнутая материя,
которая напоминает псевдосферу.
Был мудрым Евклид,
Был мудрым Евклид,
Но его параллели,
Но его параллели,
Как будто бы вечные сваи легли.
Как будто бы вечные сваи легли.
И мысли его, что как стрелы летели,
И мысли его, что как стрелы летели,
Всегда оставались в пределах
Всегда оставались в пределах
Земли.
Земли.
А там, во вселенной, другие законы,
А там, во вселенной, другие законы,
Там точками служат иные тела.
Там точками служат иные тела.
И там параллельных лучей
И там параллельных лучей
миллионы
миллионы
Природа сквозь Марс, может быть,
Природа сквозь Марс, может быть,
провела.
провела.
Сейчас Вселенная расширяется, но если масса вещества Вселенной
превысит определенный порог , то расширение сменится
сжатием, то есть пространство будет искривлено таким образом, что
луч света, однажды покинув одну точку, вернется обратно, а это
означает, что мы живем в мире эллиптической геометрии
Римана.
Пространство Лобачевского
Если массы
не будет достаточно ,
то вселенная будет Пространство Евклида
расширяться безгранично,
что означает, Пространство Римана
то мы живем в мире
гиперболической
геометрии Лобачевского.
Выводы:
Нельзя говорить, что неевклидова геометрия
единственно правильная. На данный момент к
ней нет никаких претензий . Но, может быть,
через много лет она устареет – или это
произойдет быстрее.
Наука никогда не будет стоять на месте.
Любая теория современной науки будет
единственно верной, пока не создана
следующая.
Это - аксиома развития науки.
Список литературы
1. Схоутен Я. А. Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948;
2. Колесников М. Лобачевский./. Серия «Жизнь замечательных людей». –
М.: Молодая гвардия, 1965. – 320 стр. с илл.
3. Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского./. – М.:
Наука, 1983. – 76 стр.
1951
4. Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений, тт. 1–5. М. – Л., 1946–
5. Геометрия Лобачевского. Материал из Википедии — свободной
энциклопедии
Web - ресурсы
1. http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/67.html - о неевклидовой
геометрии, Э. Б. ВИНБЕРГ, Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова
2. http://www.hrono.ru/biograf/lobachevski.html - Шикман А.П. Деятели
отечественной истории. Биографический справочник. Москва, 1997 г.
3. http://ns.math.rsu.ru/mexmat/polesno/evklid.ru.html - биография Евклида.
4. https://www.youtube.com/watch?v=V4-7p9M74wQ - 5'ый постулат
Евклида или начало геометрии Лобачевского
Геометрия 2.ppt
