Подготовка к ЕГЭ по математике. Модуль "Уравнения".

Подготовка к ЕГЭ по математике. Модуль «Уравнения». Учитель математики  «МБОУ «Хову­Аксынская СОШ» Козловская Т.В. Каждый учитель знает, что основная подготовка к экзаменам осуществляется на уроках. Консультации   помогают   обобщить     и   систематизировать   материал,   показать   его применение в разных ситуациях, обнаружить внутрипредметные и метапредметные связи. Но как бы хорошо не усвоили на уроках тему учащиеся, по прошествии времени что­то забывается,   поэтому   необходимо   материал   повторять.   Повторять   предпочитаю   по модулям. Умение   решать   уравнения   и   неравенства   проверяется   при   сдаче   как   базового,   так   и профильного экзамена по математике в 11 классе. Причем, задания предусматривают не только умение   решить предложенное уравнение, но и уметь   составить   и исследовать математическую   модель.     Модуль   «Уравнения»   обширен.   Учащиеся   должны   показать умение решать линейные, квадратные, дробно­рациональные, простейшие иррациональные, показательные,   логарифмические,   тригонометрические   уравнения   (задание   7   базового уровня, задание 5 профильного уровня). Задания повышенного уровня сложности (задания 10,   11)   также   приводят   к   решению   уравнений   (включая   и   степенные).   Задание   13 повышенной степени сложности проверяет не только умение решать тригонометрические, логарифмические,   показательные,   комбинированные   уравнения   и   их   системы,   но   и проводить отбор корней из указанного промежутка или по ОДЗ. Более сложные задания 15 и 17 также часто связаны с решением уравнений. Учитывая контингент учащихся классов, в которых я работала последние годы, я старалась научить всех учащихся решать уравнения базового  уровня  и  хотя  бы    60  –  70  %     учащихся  решать  задание   10.  С  заданием  13 планирую научить справляться   примерно 40% учащихся.   Для достижения этих целей систему повторения организую циклически, начиная с 10 класса. На каждом уроке провожу ЕГЭ – минутки, связанные с повторением некоторой темы. Так, начинаем повторять тему по видам уравнений.  10 класс. Линейные, квадратные, дробно­рациональные, тригонометрические уравнения. 11 класс. Осень. Решение уравнений через решение КИМов.                    Февраль – март. Все уравнения задания 5. Задания 10, 11, 13.  Задание 13 решаем до начала экзаменов, включаю в консультации, в домашние работы для желающих. Например, «Иррациональные уравнения». Я запланировала повторить тему на трех уроках, включая решение простейших уравнений во время  «ЕГЭ – минуток». 1 урок.  1. Найдите корень уравнения  .      2. Найдите корень уравнения  . 3. Найдите корень уравнения  .      2 урок.   4. Решите уравнение  . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе   запишите   меньший   из   корней.           (   корни   уравнения­следствия   6   и   ­1,   но   ­1 посторонний, значит, в ответ пишем 6) 5. Найдите   корень   уравнения:  корня, укажите меньший из них.      ( ­8 и ­9 оба подходят, в ответ пишем ­9) 3 урок  6. Найдите корень уравнения   Если   уравнение   имеет   более   одного        7. Решите уравнение  .      8. Найдите корень уравнения             9.  Найдите корень уравнения:     .       х 2 х .    Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.      (2 и ­1, ­1 посторонний. В ответ пишем 2) Сначала   повторяем   алгоритм   решения   иррационального   уравнения.   Учащиеся обычно помнят, что обе части уравнения нужно возвести в ту степень, которая позволит освободиться от корня. Но забывают, что это преобразование не тождественное, могут появиться   посторонние   корни.   Еще   раз   перечислим   тождественные   преобразования уравнений   (перенос   слагаемых   из   одной   части   уравнения   в   другую   со   сменой   знака слагаемого, умножение и деление обеих частей уравнения на число, не равное нулю). Итак, вспоминаем, что при решении иррационального уравнения необходимо делать проверку или находить ОДЗ и проводить отбор корней. После небольшого обсуждения приступаем к решению   уравнений.   На   первых   двух   уроках   уравнения   на   доске   решают   желающие учащиеся, учитель наблюдает за остальными и подмечает тех, кто испытывает затруднения, оказывает   им   необходимую   помощь.   Иногда   «прикрепляю»   к   слабоуспевающему учащемуся   консультанта,   который   на   уроке   или   в   дополнительное   время   объяснит отстающему   непонятные   моменты.   На   третьем   уроке   часто   формирую   микрогруппы,   в которых учащиеся решают уравнения, на доске показывают решения те учащиеся, которые испытывали   затруднения   на   предыдущих   уроках.   На   этих   же   уроках   аналогичные уравнения   включаются   в   домашнюю   работу   и   проверяются   на   следующем   уроке обязательно перед всем классом. После повторения проводится диагностическая работа по РТ «Я сдам ЕГЭ» базовый уровень д.р.53 и 54 (  решить пять уравнений, подбираются разные). Учащиеся, не справившиеся с заданием, находятся на индивидуальном контроле. К этому времени мы уже повторили решение линейных, квадратных, дробно­рациональных уравнений.   На   спецкурсе   проводим   диагностическую   работу   по   решению   этих   типов уравнений.  Кроме  заданий  на непосредственное  решение  уравнений  полезно предлагать такие  упражнения: 1)   является   ли   число   х0  корнем   уравнения     а)   х  2 2 , хх 0  4     б) 1  х 1  , хх 0  0 2) не решая уравнения, объясните, почему каждое из них не  может иметь корней  а)   х  1 х  2 2      б)        в)   3 х  1 х  4 1  х 2  х .1   [1] Если   проанализировать   решаемость   задания   5с   2014г   по   2016г,   то   видим,   как разнятся результаты. В 2014г верных решений было 79,3%, в 2015г – 31,9%, в 2016г – 62,7%. [4]. В 2015г уравнение  имело посторонние корни, поэтому процент верных решений резко понизился. Чтобы избежать похожей ситуации, к дробно­рациональным уравнениям, иррациональным уравнениям, логарифмическим уравнениям нужно относиться с особым вниманием, напоминая учащимся об ограниченности области допустимых значений таких уравнений. Включать время от времени эти уравнения в домашние, проверочные работы, в «ЕГЭ – минутки». Аналогичным образом повторяем решение основных типов простейших уравнений.  С заданием 13 сначала работаем на уроках в 10 классе, изучая методы решения тригонометрических   уравнений.   В   это   же   время   знакомимся   с   различными   способами отбора   корней(   перебор     по  n,  n Nϵ ,   на   единичной   окружности,   при   помощи   графика функции,   через   решение   неравенства).   В   11   классе   учащиеся,   решая   КИМы,   снова встречаются   с такими уравнениями. Изучив решение показательных , логарифмических уравнений на уроках, возвращаемся к заданию 13. На консультациях  1)   повторяем   решение   тригонометрических   уравнений   с   отбором   корней   по указанному промежутку  , 2) рассматриваем решение тригонометрических уравнений с нахождением ОДЗ и отбором корней по указанному промежутку  , 3)    решение   показательных   и   логарифмических   уравнений   с   отбором   корней   по указанному промежутку,   4)   решение   комбинированных   уравнений   с   отбором   корней   по   указанному промежутку .  Анализ ЕГЭ по математике по тувинскому региону показал, что с каждым годом решаемость задания 13 падает и в 2016г. составила 7,42%. Тогда как в 2014г. составляла 32,5%   (основная   волна)   [4].   Формирование     навыков   решения   задания   13   начинаю   с решения   тригонометрических   уравнений,   не   требующих   сложных   преобразований. Подбираю   уравнения   с   использований   формул   приведения,   формул   двойного   угла, тригонометрических тождеств. Опыт подсказывает, что учащиеся испытывают затруднения не  столько  в  решении  уравнения,  сколько  в  отборе  корней.   Поэтому  на  первых   порах рассматриваем промежутки с положительными углами. Примерами таких уравнений могут служить уравнения 1, 2. Решая относительно несложные уравнения , можно использовать разные способы отбора корней. 1. а) Решите уравнение  б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  Решение. Имеем:   Либо   либо  б) На указанном промежутке лежат точки        Ответ: а)  2.  а) Решите уравнение  б) Укажите корни, принадлежащие отрезку  Решение. а) Сделаем замену   б)     [2] . , получим квадратное уравнение   корня­ ми которого являются числа   и   Уравнение   не имеет решений, а из уравнения  находим корни  б) Найдем корни, принадлежащие отрезку     или   Решим неравенства: или    Соответствующие найденным значениям параметров корни:     и  .   Ответ:  а)      б)      и       [2]    Уравнения   3,4   требуют   отбора   корней   по   ОДЗ   уравнения.   Учащиеся   часто   забывают находить ОДЗ и когда промежуток, к которому должны принадлежать корни уравнения, не задан явно, не производят отбора. Поэтому повторение решения простейших уравнений несомненно будет полезным.  3. Решите уравнение:  Решение. Уравнение равносильно системе: Уравнение   решений   не   имеет.   Учитывая,   что   получа­   ем:    Ответ:     [2] 4. Решите уравнение:  Решение. Левая часть уравнения имеет смысл при   Поэтому множи­ тель   положителен. Рассмотрим два случая. Первый случай:  Второй случай:   тогда   тогда  Учитывая условие  шениями данного уравнения.    получаем, что числа   не являются ре­ Ответ:    [2] Решение показательных уравнений часто приводит к ответам, представленным в виде логарифма   какого­то   числа.   Сравнивая   такие   числа,   мы   используем   монотонность логарифмической функции.  5. а) Решите уравнение  б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  Решение. а) Преобразуем исходное уравнение:  Пусть   тогда   уравнение   запишется   в   виде   откуда  или  При   получим:   откуда  При   получим:   откуда  б)   Корень   не   принадлежит   промежутку   Поскольку  и  Ответ: а)   б)  6.  а) Решите уравнение   корень   принадлежит промежутку  б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  Решение. а)   Преобразуем   исходное   уравнение   (учащиеся   должны   понимать,   что   разделив   обе , мы не теряем корни, т.к. ни при каких значениях части уравнения на выражение   x sin3 не может равняться нулю, ноль не входит в область значений переменной х выражение  x sin3 показательной функции).   б)   С   помощью   числовой   окружности   отберем   корни,   принадлежащие   отрез­ ку   Получим числа:  Ответ: а)   б)  [2]. Уравнения задания 13 очень разнообразны по внешнему виду, хотя решения могут быть довольно стандартными.  7. а) Решите уравнение  б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  Решение. а) Обозначим   за t. Получим  или   или   или    Первый случай невозможен. Во втором имеем    б) На указанном промежутке лежит точка      Ответ: а)   б)  Задания   такого   типа   можно   найти   в   различных   источниках.   Учителю   важно включать     разобранные   на   консультациях   задания   в   проверочные,   домашние   работы   и обязательно   проверять   их   решение.   Я   практикую   также   диагностические   работы   по повторению в конце каждого месяца. Используемая литература: 1. Р.Д.Лукин,   Т.К.Лукина,   М.С.Якунина   «Устные   упражнения   по   алгебре   и   началам анализа» М. «Просвещение» 1989 стр. 68. 2. Сайт Дмитрия Гущина «Решу ЕГЭ. Математика профильный уровень» 3. КИМы разных авторов. 4. Троякова Г.А. Анализ ЕГЭ по математике по тувинскому региону. Выпуск 9. Кызыл 2016.