Показательное уравнение

Конспект урока по алгебре и началам анализа для учащихся 11 класса  средних общеобразовательных учреждений Тема урока: «Показательные уравнения».  Цель урока:  Образовательная: показать виды и способы решения показательных уравнений. Развивающая:  развитие   познавательных   процессов   учащихся;   зрительной   и слуховой памяти, логического и математического мышления, воображения, устойчивости, гибкости и способности к распределению внимания.  Воспитательная: воспитание у учащихся аккуратности и точности при выполнении заданий у доски и ведения тетрадей, умения работать в коллективе, коммуникабельности, дисциплинированности на уроке, ответственности за свои действия, самостоятельности, воспитание интереса к предмету.  Тип урока: урок усвоения новых знаний. Методы обучения: Репродуктивный, объяснительно­иллюстративный.  Оборудование: Компьютер, мультимедиа проектор, презентация.  План урока: 1. Организационный момент (1 мин) 2. Актуализация знаний (5 мин) 3. Изучение и закрепление нового материала (35 мин) 4. Подведение итогов урока (3 мин) 5. Домашнее задание (1 мин) ХОД УРОКА    Организационный момент 1.           Приветствие   учеников,   проверка   посещаемости,   проверка   готовности   классной комнаты и учащихся к уроку. 2.              Актуализация знаний Учитель: Сегодня на уроке мы изучим новую тему: Показательные уравнения. Но сначала ответьте на вопросы. Функция какого вида называется показательной? Ученик: Функция вида у = ах, где а > 0, a ≠ 1 – основание, конкретное заданное число, а х – переменная, называется показательной функцией. Учитель: От чего зависят свойства показательной функции? Ученик: От основания показательной функции. Учитель: Перечислите основные свойства показательной функции. Ученик: Показательная функция обладает следующими свойствами:  10. Область определения показательной функции у = ах – множество действительных чисел.  20. Множество значений показательной функции у = ах – множество положительных чисел.  30. Показательная функция у = ах возрастает при а > 1 и убывает при 0 < a < 1. 40. Функция общего вида. 50. Не ограничена. Учитель: Вспомните свойства степеней с действительным показателем. Ученики: (Запись на доске) 1.  ;  yx a y x aa 2.  ; x y a a  yx a 3.   x ab   ; y x ba 4.  5.  ;    x  a  b  x y a b   yx a  xy a    Изучение и закрепление нового материал 3.           Учитель: Запишите число, классная работа, тема урока: Показательные уравнения. (Запись на доске и в тетрадях) Учитель:  Посмотрите   на   уравнение   a x  b .   Уравнения   такого   вида   называются показательными  уравнениями Уравнение     ­ простейшее показательное уравнение. a x  b Т.к. в левой части уравнения находится степень, то какое условие необходимо поставить? Ученики: а>0, a≠1.  Учитель:  А   учитывая,   что   область   значений   показательной   функции   множество положительных действительных чисел, то какое условие надо поставить для b?  Ученики: b>0. Учитель: Запишите определение, представленное на слайде. Показательным уравнением называют уравнение, содержащее переменную в показателе степени.  а х , b   а  ,1 ,0 b   а где 0 Учитель: Рассмотрим пример  5 x 25 . Представим 25 в виде 25=5², получим  . 5 x 25 По свойству: Степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели, получаем  . 2x . 5 x 25 ; 5 x 25 . 2x Ответ:  . 2x Учитель: Рассмотрим пример  x 5 25 . Будет ли данное уравнение иметь решение? Ученики: Т.к. b<0, то данное уравнение не имеет корней. , т.к. ­25<0, то уравнение не имеет корней. x 5 25 Ответ: корней нет. Учитель:  Рассмотрим   пример   .   Данное   уравнение   решается   методом 2 7 x 3 49 приведения   к   одному   основанию   обеих   частей   уравнения,   т.е.   к   виду   .   Что a  x a c необходимо для этого сделать? Ученики:  Корень   третьей   степени   из   49   можно   представить   в   виде   степени   с основанием 7:  2 3 3 49  7 .   Тогда   2 7 x 7 2 3 ,   по   свойству   равенства   степеней   с   одним   основанием 2 x ,  2 3 2x 2 3 2 7 x 3 49 . . 2 3 2 7 x 7 2 3 . 2 x 2x 2 3 Ответ:  ; ; . 2 3 2x Учитель:   1 5 ¿ ¿ 50,1x∙¿ .   Данное   уравнение   решается   методом   приведения   к   одному основанию обеих частей уравнения, т.е. к виду  . Как это можно сделать? a  x a c Ученики: Заметим, что дробь  1 5  можно представить в виде степени с основанием пять: 1 5 ¿ ¿ ¿ . Тогда   50,1x∙50,06=5x2 , используя свойство первое, получим   50,1x+0,06=5x2 , отсюда  0,1x+0,06=x2 ,  x1=−0,2,x2=0,3 . 1 5 ¿ ¿ 50,1x∙¿ ; 50,1x∙50,06=5x2 50,1x+0,06=5x2 ; 0,1x+0,06=x2 ; ; x1=−0,2,x2=0,3 . Ответ:  x1=−0,2,x2=0,3 . Учитель: Рассмотрим следующий пример  . Данное уравнение решается x 23  x 3 576 тем же методом  x32  можно представить как  x8  по пятому свойству, записанному на доске. 576=24², тогда  x 38  x 224 . Что нам это дает? Ученики: Используя свойство третье, получим  , отсюда x=2. 24 x 224 (Запись на доске и в тетрадях) . x 23  x 3 576 ; x 38  x 224 ; 24 x 224 x=2. Ответ: x=2. Учитель: Рассмотрим пример  .  x 7 2  x 2 784 (Один из учеников у доски) Ученик: Данное уравнение решается тем же методом   можно представить как  x4 x22 по   пятому   свойству,   записанному   на   доске.   784=28²,   тогда   .   Используя x 7  x 4 228 свойство третье, получим  , отсюда x=2. 28 x 228 x 7 2  x 2 784 x 7  x 4 228 28 x 228 x=2. Ответ: x=2. Учитель:  Рассмотрим   пример   x  1 6  35  6 x  1  71 .   Данное   уравнение   решается методом вынесения общего множителя за скобки. Чаще всего выносят за скобки степень с наименьшим показателем. Вынесем за скобки  . Что получим? 16 x Ученики: x 1 6 2 6(  )35  71 ,   x 671 1  71 ,  ,  6 1 x 1 1 6 x 6 0 , x­1=0, x=1. x  1 6  35  6 x  1  71 x 1 6 2 6(  )35  71 ; ;  x 671 1  71 ; 6 1 x 1 ; 1 6 x 6 0 x­1=0, x=1. Ответ: x=1. Учитель: Рассмотрим пример  32y−1+32y−2−32y−4=315 .  Ученик:   Данное   уравнение   решается   методом   вынесения   общего   множителя   за скобки. Чаще всего выносят за скобки степень с наименьшим показателем. Вынесем за скобки  32y−4  и получим  32y−4(33+32−1)=315,32 y−4∙35=315,32y−4=9,2y−4=2,y=3. 32y−4(33+32−1)=315;   32y−4∙35=315;   32y−4=9;   2y−4=2;   y=3.   Ответ: y=3. Учитель: Рассмотрим пример  . Данное уравнение имеет вид  . Решается a  x b x 3  x 7 x делением   обеих   частей   уравнения   на   степень   стоящую   в   левой   или   в   правой   части уравнения. Поделим обе части уравнения на  . Воспользуемся свойством , получим  x7 x 3 x 1 7 четвертым  x x 3 7 x    3 7     и представим 1 в виде  ,  0    3 7    0    3 7 x      3 7    , x=0. . 3  x 7 x ; x 3 x 1 7 ; 0    3 7 x      3 7    x=0. Ответ: x=0. Учитель: Рассмотрим пример  2x−3=33−x . Заметим, что  33−x=( 1 3) x−3 . Исходное уравнение примет вид  2x−3=( 1 3) x−3 . Уравнение какого вида мы получили? Ученик:   Данное   уравнение   имеет   вид   .   Решается   делением   обеих   частей a  x b x уравнения на степень стоящую в левой или в правой части уравнения. Поделим обе части уравнения на    x−3   x−3 , получим  6x−3=1 , x­3=0, x=3. (1 3 ) 2x−3=33−x 2x−3=( 1 3) 6x−3=1   x−3=0   x=3   4. Подведение итогов.  Учитель: Давайте вспомним, что называется показательным уравнением? Ученик: Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.  Учитель: К какому виду приводятся все показательные уравнения? Ученик:  Часто   показательные   уравнения   сводятся   к  ах  =  ас,   где  b  =  ас,   т.е.   к простейшим показательным уравнениям. 5. Домашнее задание.  Учитель:  Домашнее   задание:   знать   определение,   что   называют   показательным уравнением и методы их решения. Примеры для решения будут размещены в электронном журнале. Спасибо за урок. 1¿(2 1 3)−x2−2x+3 =1; Решение: (2 1 3)−x2−2x+3 =(2 1 3)0 ; x2+2x−3=0; x1=1,x2=−3. Ответ: (1;­3) 3¿53x+3∙53x−2=140; Решение: 53x−2(25+3)=140; 28∙53x−2=140; 53x−2=51; 3x−2=1; 3x=3; x=1. Ответ:  x=1. 5¿5,1 1 2 (x−3) =5,1∙√5,1; Решение: 3 2; 1 2 (x−3) 5,1 =5,1 1 2 (x−3)=3 2 x−3=3; ; =( 1 3)x 2¿( 1 3)√2−x ; Решение: x=√2−x; x2=2−x; x2+x−2=0; x1=1,x2=−2. Ответ:  x=1. 4¿0,5x+7∙0,51−2x=2; Решение: 0,5x+7+1−2x=0,5−1; 0,58−x=0,5−1; 8−x=−1; x=9. Ответ:  x=9. 6¿3x−3x+3=−78; Решение: 3x(1−27)=−78; −26∙3x=−78; 3x= 78 26 ; x=6. Ответ:  x=6. 7¿2∗√2∗2x−3=1 2 ; Решение: 2 +x−3 =2−1; 2=2−1; 21+1 2x− 3 (2=2,2>0,2≠1) x−3 2=−1; . x= 1 2 Ответ:  x=1 2 . 3x=31; x=1. Ответ:  x=1. 8¿9x−8∗3x−9=0. Решение: 32x−8∙3x−9=0; t=3x,t>0. t2−8t−9=0; t1=9,t2=−1. 3x=−1→нетрешения,т.к.−1<0. 3x=9→3x=32→x=2. Ответ:  x=2.