Понятие производной

Открытый урок по алгебре и началам анализа

по теме «Понятие производной» 

Урок «Понятие производной» является первым в теме «Производная и её геометрический смысл» и этим же уроком начинается изучение раздела математики «Математический анализ». На последующих уроках планируется изучение правил дифференцирования и формул производных элементарных функций.

Рекомендации по сообщению и восприятию учебного материала:

Учителем используется диалогическое общение с учащимися: беседа с элементами лекции (в ходе беседы составляется опорный конспект), фронтальный опрос. Учитывая, что не у всех учащихся сформированы математические умения и навыки и то, что тема «Понятие производной» основана на абстрактном восприятии, изучение нового материала начинается с конкретной математической ситуации, известной учащимся из повседневной жизни: поездка по определенному маршруту. Чтобы заинтересовать учащихся используются понятия и термины, связанные непосредственно с будущей профессией или занятием: расстояние, время, скорость, спидометр, радар, дифференциал. Рассматривается понятие средней скорости, затем введением термина «lim (предел)»  на понятийном уровне восприятия даётся определение мгновенной скорости. Таким образом, мы подходим к понятию производной: мгновенная скорость – это производная пути. После этого переходим к определению производной математической функции f(x).

Рекомендации по закреплению и совершенствованию новых знаний:

Закрепление нового материала учитель проводит в форме фронтального опроса, который позволяет проследить логическую связь между конкретной ситуацией и выводом формулы и определения производной функции. Здесь же делается акцент на специфику будущей профессии и занятий учащихся.

Рекомендации по контролю и оценке знаний учащихся:

Контроль усвоения нового материала проводится в следующей форме: учащимся предлагается записать на листочках все опорные слова, известные раннее и новые, которые использовались при изучении материала (не менее 10). Проверка в виде самоконтроля: учитель называет термины, учащиеся делают отметку (ставят +), если этот термин записан. Количество «+» разделить на 2 и поставить себе отметку. В результате такого контроля учитель видит общую картину усвоения материала. Отметки в журнал выставляются с учетом ответов на вопросы в ходе урока. Важно оценить работу всех учащихся: похвалить, поддержать, выразить надежду на будущие успехи или пожурить, выразив недоумение по поводу пассивности.

План-конспект урока:

Тема: Понятие производной.

Цели:  - Иметь понятие производной; знать определение производной; знать, где применяется производная.

            - Развивать логическое мышление, абстрактное мышление; способность видеть в различных жизненных ситуациях их математическую основу.

            - Воспитывать упорство, трудолюбие; интерес к математике и технике.

Тип урока: Урок усвоения новых знаний.

Вид урока: Беседа с элементами лекции.

Метод: Объяснительно-иллюстративный.

Методическая цель урока:  Межпредметные связи, как средство активизации познавательной деятельности учащихся.

Оборудование: магнитная доска; таблички с новыми терминами производная, предел, приращение, дифференцирование; чертежные инструменты.

Межпредметные связи:

Физика  «Скорость», «Средняя и мгновенная скорость»

Ход урока:

1.     Организационный момент:

2.     Формирование новых знаний:

Обратите внимание, что наш учебник называется «Алгебра и начала анализа». Мы начинаем изучать новый раздел математики «Математический анализ» (табличку с термином приколоть на стенд «Говори и пиши правильно»). В нашей учебной программе мы будем изучать только основы – «начала» анализа. Первая тема этого раздела – «Понятие производной» (записать тему).

Мы должны будем уяснить понятие производной, знать определение производной и знать, где это понятие применяется. А на последующих уроках мы научимся её вычислять. Запишите план урока:

1)     Введение.

2)     Понятие производной.

3)     Определение производной.

Сегодня у нас будет встречаться много новых терминов. «Производная» - это то, что «произведено» какой-то функцией. Простой пример: Яйцо – это производная курицы. Понятие производной довольно трудное, т.к. основано на абстрактном восприятии. Мы рассмотрим ситуацию, известную нам из повседневной жизни. Мы едем из Волгодонска до Ростова (240 км). Рассмотрим график этого движения. На оси абсцисс – время t, по оси ординат – пройденный путь s(t). На весь путь ушло 4 часа. Как узнать, с какой скоростью мы ехали. (Пройденный путь разделить на время  240:4=60км/ч)

- Мы всё время ехали с такой скоростью? (нет, в течение пути она менялась, могла быть и больше 60 и меньше).

- Так какую скорость мы получим? (среднюю).

- Рассмотрим участок времени t (пусть с 10 до 11 часов). За это время мы проехали отрезок пути s (пусть 40 км). С какой скоростью мы проехали этот отрезок пути? (40:1=40 км/ч или s:).

- Какая скорость получится? (средняя)

V_ср =

- Если мы уменьшим отрезок времени до 0, что произойдет со скоростью? Представьте себе, на Самикаракорском посту ГИБДД скорость отслеживается с помощью радара. В момент пересечения луча радара автомобилем на табло радара высвечивается цифра скорости. Будет ли она равна средней скорости (может да, а может нет). Как можно назвать такую скорость (мгновенной), т.к. мы рассматриваем скорость в какое-то мгновение.

Если отрезок времени стремится к 0, скорость из средней превращается в мгновенную:

V_мгнов =  при t стремящемся к 0.

(табличку «предел (lim)» повесить на стенд)

Вот мы подошли к понятию производной пути.

Производная пути – это мгновенная скорость.

V_мгнов=S^|(t) (читается  S штрих от t)

- Где мы можем увидеть значение мгновенной скорости? (радар, спидометр).

- Можем мы увидеть значение средней скорости? (нет, её можно вычислить)

Перейдем от конкретной ситуации к любой математической функции f(x) по той же схеме.

f^|(x)=  , где «приращение» - на стенд).

Мы получили математическое определение производной (проговариваем формулу).

Опр: Производной функции f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.(Повторить несколько раз).

- Где в жизни применяется понятие производной? В физике – это скорость, ускорение, работа; в математике – это исследование различных функций при практических расчетах в автомобилестроении, судостроении, электронике и т.д.

Опр: Операция вычисления производной называется дифференцированием  (табличка «дифференцирование» помещается на стенд).

3.     Применение знаний и умений:

Давайте систематизируем, что мы сегодня изучили (наглядный материал – на доске и в тетрадях):

- Как называется раздел математики, который мы начали изучать? (математический анализ).

- Как найти скорость, зная расстояние и время? (расстояние разделить на время).

- Какую скорость мы получим? (среднюю)

- Какую скорость мы видим на спидометре? (мгновенную).

- Где ещё можно увидеть значение мгновенной скорости? (на радаре)

- Чем является мгновенная скорость для пути? (производной).

- Как обозначается производная? (f^|(x) - читается «эф штрих от икс»)

- Что означает lim? (предел).

- Что означает   (приращение аргумента; приращение функции).

- Дать определение производной.

- Как называется операция вычисления производной? (дифференцирование).

- Где применяется понятие производной?

Чтобы проконтролировать себя, запишите в тетради все опорные слова, старые и новые, которые использовались нами в течение урока.(4 минуты).

Проверка в виде самоконтроля:

- Я диктую термины, а вы ставите +, если он у вас записан.

1) Математический анализ

2) Расстояние

3) Средняя скорость

4) Мгновенная скорость

5) Предел

6) Приращение

7) Радар

8) Спидометр

9) Дифференциал

10) Производная

Количество + разделите на 2 и поставьте себе отметку.

4.     Итоги урока: комментарии и выставление отметок.

5.     Задание на дом: По опорному конспекту проследить логический путь к определению производной, выучить его.

6.     Учебники и учебные пособия:

1.     Учебник «Алгебра и начала анализа10-11» под редакцией Алимова Ш.А., Москва, «Просвещение», 2005год.