Построение сечений многогранников на основе системы аксиом стереометрии.

Мы строили плоские сечения многогранников лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют определенные методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными в школьном курсе геометрии являются следующие три метода: 1) метод следов; 2) метод внутреннего проектирования; 3)комбинированный метод. Рассмотрим каждый из них на примерах. Актуальность работы: Недостаточно специальной литературы, с помощью которой учащиеся могли бы решать задачи на построение сечений многогранников. Новизна: Систематизация основных теоретических знаний и классификация задач, включенных в ЕГЭ по геометрии на построение сечений. Цель работы: Проанализировать решение задач на построение сечений несколькими методами;СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение………………………………………………………………. 2 2. Гл. I. Построение сечений многогранников на основе системы аксиом стереометрии……………………………………………………. 3 3. Гл. II. Метод следов в построении плоских сечений многогранников…………………………………………………………………….. 10 4. Гл. III. Метод внутреннего проектирования в построении плоских сечений многогранников…………………………………………………… 14 5. Гл. IV. Комбинированный метод в построении плоских сечений многогранников………………………………………………. 16 6. Заключение……………………………………………………………. 18 7. Список литературы…………………………………………………… 19 В школы и вузы внедрена новая форма аттестации, и, следовательно, необходимо готовиться к ней. В них представлены задачи по геометрии по следующим характеристикам: уметь решать текстовую задачу, составляя математическую модель, предложенной в ней ситуации, уметь решать стереометрические задачи, уметь решать планиметрические задачи, уметь решать стереометрическую задачу на комбинацию геометрических тел. Так последнее содержит задание высокого уровня сложности и рассчитано на учащихся, планирующих в будущем связать свою профессиональную деятельность с углубленным изучением математики. Поэтому я хочу представить решение нескольких задач такого типа. Мы строили плоские сечения многогран¬ников лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют определенные методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффек¬тивными в школьном курсе геометрии яв¬ляются следующие три метода: 1) метод следов; 2) метод внутреннего проектирования; 3)комбинированный метод. Рассмотрим каждый из них на приме¬рах. Актуальность работы: Недостаточно специальной литературы, с помощью которой учащиеся могли бы решать задачи на построение сечений многогранников. Новизна: Систематизация основных теоретических знаний и классификация задач, включенных в ЕГЭ по геометрии на построение сечений. Цель работы: Проанализировать решение задач на построение сечений несколькими методами; Задачи: 1. Сделать подборку задач, предлагаемых различными центрами творческого образования в последние годы и проанализировать их решение; 2. Систематизировать задачи, привести их решения; 3. Выделить теоретические разделы математики, которые используются при решении данных заданий; Методы работы: теоретический и практический анализ. Построение сечений многогранников на основе системы аксиом стереометрии. Определение. Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью. Поверхность многогранника состоит из ребер-отрезков и граней - плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точ¬ке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник; вершинами этого многоугольни¬ка служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрез-ки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомо¬го сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки ее пересечения с реб¬рами многогранника. Затем последовательно со¬единить отрезками эти точки, при этом выделить сплошными линиями, видимые и штриховыми - невидимые стороны полученного многоугольни¬ка - сечения (рис. 1-4). Секущая плоскость α может быть задана: тре¬мя точками, не лежащими на одной прямой; пря¬мой и не принадлежащей ей точкой; другими ус¬ловиями, определяющими ее положение относи¬тельно данного многогранника. Например, на рис. 1 построено сечение четырехугольной пирамиды РАВСD плоскостью α, заданной точками М, К и Н, принадлежащими ребрам соответственно РС, РD и РВ; на рис. 2 секущая плоскость за¬дана точками М, N и L, принадлежащими ребрам соответственно АА1, В1С1 и АD куба Рис. 3 АВСDА1B1C1D1; на рис. 3 секущая плоскость про¬ходит через вершину А основания АВСD пер¬пендикулярно ребру РС правильной четырех¬угольной пирамиды РАВСD, высота РО которой образует угол в 30° с боковым ребром; на рис. 4 построено сечение куба АВСВА1В1С1В1 плоскостью, проходящей через его центр М перпенди¬кулярно диагонали А1С. D1 H С1 Рис. 4 Эти сечения построены разными методами. Причем в двух первых случаях точки, определяю¬щие секущую плоскость, могут быть любыми на ребрах многогранника, поэтому и секущая плос¬кость определена неоднозначно; в каждом из двух последних случаев секущая плоскость определя¬ется однозначно метрическими свойствами мно¬гогранника и условиями расположения этой плос¬кости относительно данного многогранника. Но тем не менее во всех четырех случаях сечение каждого из многогранников строится по опреде¬ленным правилам, с учетом аксиом стереометрии, аффинных и метрических свойств данного мно¬гогранника. Примеры решения задач, используя аксиомы стереометрии. Задача 1. Постройте сечение пирамиды РАВС плоскостью α = (МКH), где М, К и Н— внутренние точки соответственно ребер РС, РВ и АВ (рис. 5, а). Решение. 1-й шаг. Точки М и K лежат в каждой из двух плоскостей α и РВС. Поэтому по аксиоме пересечения двух плоскостей плос¬кость α пересекает плоскость РВС по прямой МК. Следовательно, отрезок МК — одна из сто¬рон искомого сечения (рис. 5, б). 2-й шаг. Аналогично, отрезок КН — другая сто¬рона искомого сечения (рис. 5, в). 3-й шаг. Точки М и Н не лежат одновремен¬но ни в одной из граней пирамиды РАВС, поэто¬му отрезок МН не является стороной сечения этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в плос¬кости грани АВР и пересекаются. Построим точ¬ку T= КН ∩АР (рис. 5, г). Поскольку прямая КН лежит в плоскости α, то и точка T лежит в плоскости α. Теперь мы видим, что плоскости α и АРС имеют общие точки М и T. Следовательно, по аксиоме пе¬ресечения двух плоскостей плоскость α и плос¬кость АРС пересекаются по прямой МТ, кото¬рая, в свою очередь, пересекает ребро АС в точке R (рис. 5, д). 4-й шаг. Теперь так же, как в шаге 1, устанав¬ливаем, что плоскость α пересекает грани АСР и АВС по отрезкам MR и HR соответственно. Следовательно, искомое сечение — четырехуголь¬ник MKHR (рис.5,е). ■ Р Рис. 6 Задача 2. Постройте сечение пирамиды MABCD плоскостью α = (КНР), где K, H и P — внутренние точки ребер соответственно МА, МВ и MD (рис. 6, а). Решение. Первые два шага аналогичны ша¬гам 1 и 2 предыдущей задачи. В результате полу¬чим стороны КР и КН (рис. 6, б) искомого сечения. Построим остальные вершины и сторо¬ны многоугольника — сечения. 3-й шаг. Продолжим отрезок КР до пересече¬ния с прямой AD в точке F(рис. 6, в). Так как прямая КР лежит в секущей плоскости α, то точка F= КР ∩ AD = КР ∩ (АВС) является общей для плоскостей α и АВС. 4-й шаг. Продолжим отрезок КН до пересече¬ния с прямой АВ в точке L (рис. 6, г). Так как прямая КН лежит в секущей плоскости α, то точка L = КН ∩ АВ = КН ∩ (АВС) является об¬щей для плоскостей α и АВС. Таким образом, точки F и L являются общи¬ми для плоскостей α и АВС. Это означает, что плоскость α пересекает плоскость АВС основа¬ния пирамиды по прямой FL. 5-й шаг. Проведем прямую FL. Эта прямая пересекает ребра ВС и DС соответственно в точках R и T (рис. 6, д), которые служат верши¬нами искомого сечения. Значит, плоскость α пе¬ресекает грань основания ABCD по отрезку RT - стороне искомого сечения. 6-й шаг. Теперь проводим отрезки RH и РТ (рис. 6, е), по которым плоскость α пересекает грани ВМС и MCD данной пирамиды. Получа¬ем пятиугольник РКНRТ - искомое сечение пи¬рамиды MABCD (рис. 6, е). Рассмотрим более сложную задачу. Задача 3. Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью α = (KQR), где K, Q - внутренние точки ребер соответственно РА и РС, а точка R лежит внутри грани DPE (рис. 7, а). Решение. Прямые (QK и АС лежат в одной плоскости АСР (по аксиоме прямой и плос¬кости) и пересекаются в некоторой точке T1, (рис. 7,б), при этом T1 є α, так как QК є α . Прямая РR пересекает DE в некоторой точ¬ке F (рис. 7, в), которая является точкой пере¬сечения плоскости АРR и стороны DE осно¬вания пирамиды. Тогда прямые КR и АF лежат в одной плоскости АРR и пересекаются в неко¬торой точке Т2 (рис. 7, г), при этом Т2 є α , как точка прямой KR є α (по аксиоме прямой и плоскости). Получили: прямая Т1 Т2 лежит в секущей плос¬кости α и в плоскости основания пирамиды (по аксиоме прямой и плоскости), при этом пря¬мая пересекает стороны DE и АЕ основания ABCDE пирамиды соответственно в точках М и N (рис. 7, д), которые являются точками пересе¬чения плоскости α с ребрами DE и АЕ пира¬миды и служат вершинами искомого сечения. Далее, прямая MR лежит в плоскости грани DPE и в секущей плоскости α (по аксиоме пря¬мой и плоскости), пересекая при этом ребро PD в некоторой точке Н — еще одной вершине ис¬комого сечения (рис. 7, е). Далее, построим точку Т3 - Т1Т2 ∩ АВ (рис. 7, ж), которая, как точка прямой Т1Т2 є α, лежит в плоскости а (по аксиоме прямой и плоскости). Теперь плоскости грани РАВ принадлежат две точки Т3 и К секущей плоскости α, значит, прямая Т3К — прямая пересечения этих плоско¬стей. Прямая Т3К пересекает ребро РВ в точке L (рис. 7, з), которая служит очередной верши¬ной искомого сечения. Таким образом, «цепочка» последовательности построения искомого сечения такова: 1. Т1 = QK ∩АС; 2. F = PR ∩ DE; 3. Т2 = KR ∩ AF; 4. М = Т1Т2 ∩ DE; 5. N = Т1Т2 ∩ АЕ; 6. Н = MR ∩ PD; 7. T3 = Т1Т2 ∩ АВ; 8. L = T3K ∩ PB. Шестиугольник MNKLQH - искомое сече¬ние. Замечание. Сечение пирамиды на рис. 1 и се¬чение куба на рис. 2 построены на основании лишь аксиом стереометрии. Вместе с тем сечение многогранника, имеюще¬го параллельные грани (призма, параллелепипед, куб), можно строить, используя свойства парал-лельных плоскостей. Например, рассмотрим следующую задачу. Задача 4. Точки M, P и R расположены на ребрах параллелепипеда (рис. 8). Пользуясь свой¬ствами параллельных прямых и плоскостей, по-стройте сечение этого параллелепипеда плоско¬стью MPR. Решение. Пусть точки M, P и R располо¬жены на ребрах соответственно DD1, ВВ1 и СС1 1 параллелепипеда АВСВА1В1С1В1 (рис. 8, а). Обозначим: (MPR) = α - секущая плоскость. Проводим отрезки MR и PR (рис. 8, б), по которым плоскость α пересекает соответственно грани СС1D1D и ВВ1С1С данного параллелепипе¬да. Отрезки MR и PR - стороны искомого сечения. Далее используем теоремы о пересече¬нии двух параллельных плоскостей третьей. Так как грань АА1В1В параллельна грани СС1D1D, то прямая пересечения плоскости α с плоскостью грани АА1В1В должна быть парал-лельна прямой MR. Поэтому проводим отрезок PQ || MR, Q є АВ (рис. 8, в); отрезок РQ - сле¬дующая сторона искомого сечения. Аналогично, так как грань АА1D1D параллельна грани СС1В1В, то прямая пересечения плоскости α с плоско¬стью грани АА1D1D должна быть параллельна прямой PR. Поэтому проводим отрезок МН || PR, H є AD (рис. 8, в); отрезок МН - еще одна сторона искомого сечения. На ребрах АВ и AD гра¬ни АВСD построили точки Q є АВ и H є AD, которые являются вершинами искомого сечения. Проводим отрезок QH (рис. 8, г) и получаем пя¬тиугольник MRPQH - искомое сечение паралле¬лепипеда. Штриховыми линиями проводим неви¬димые стороны MR, RP и QH этого сечения. Замечание. При построении сечения куба на рис. 4 использованы параллельность противопо¬ложных граней куба, а также параллельность се-кущей плоскости и плоскости ВС1D. Рис. 8 Гл. II. Метод следов в построении плоских сечений многогранников. Определение. Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания. Из определения следа получаем: в каж¬дой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая - в плоскости основания. Имен¬но это свойство следа используют при по¬строении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости, удобно использовать такие прямые, ко¬торые пересекают ребра многогранника. Сначала секущую плоскость зададим ее следом в плоскости основания призмы (пирамиды) и точкой, принадлежащей по¬верхности призмы (пирамиды). Задача 1. Построить сечение призмы АВСВЕА1В1С1D1Е1 плоскостью α, которая задана следом l в плоскости АВС основа¬ния призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD1. Решение. Анализ. Предположим, что пятиугольник MNPQR — искомое сечение (рис. 9). Для построения этого плоского пятиугольника достаточно построить его вершины N, P, Q, R (точка М дана) — точки пересечения секущей плоскости α с ребрами соответственно СС1, ВB1, АА1, ЕЕ1 данной призмы. Е1 D1 Рис. 9 Для построения точки N =α ∩ СС1 до¬статочно построить прямую пересечения секущей плоскости α с плоскостью грани СDD1C1. Для этого, в свою очередь, доста¬точно построить в плоскости этой грани еще одну точку, принадлежащую секущей плоскости α. Как построить такую точку? Так как прямая l лежит в плоскости осно¬вания призмы, то она может пересекать пло¬скость грани СDD1C1 лишь в точке, которая принадлежит прямой CD = (CDD1) ∩ (АВС), т.е. точка X = l ∩ СD = l ∩ (CDD1) принад-лежит секущей плоскости α. Таким образом, для построения точки N = α ∩ СС1 достаточно построить точку X = l ∩ СD. Аналогично, для построения точек Р= α ∩ ВВ1, Q = α ∩ АА1 и R = α ∩ ЕЕ1 достаточно построить соответственно точ¬ки: У = l ∩ ВС, Z = 1 ∩ АВ и Т =1 ∩ АЕ. Отсюда Построение. Строим (рис. 10): 1. X = l ∩ СD (рис. 10, б); 2. N = МХ ∩ СС1 (рис. 10, в); 3. У = l ∩ ВС (рис. 10, г); 4. Р = NY ∩ ВВ1 (рис. 10, д); 5. Z = 1 ∩ АВ (рис. 10, е); 6. Q= РZ ∩ АА1 (рис. 10, ж); 7. T= l ∩ АЕ (рис. 10, з); 8. R= QT ∩ ЕЕ1 (рис. 10, и). Пятиугольник MNPQR — искомое сече¬ние (рис. 10, к). Доказательство. Так как прямая l - след секущей плоскости α, то точки X = l ∩ СD, Y = l ∩ ВС, Z = 1 ∩ АВ и T= l ∩ АЕ принадлежат этой плоскости. Поэтому имеем: М Є α , X Є α => МХ є α, тогда МХ ∩ СС1 = N є α , значит, N = α ∩ СС1; N Є α, Y Є α => NY Є α, тогда NY ∩ ВВ1= Р Є α, значит, Р = α ∩ ВВ1; Р Є α, Z Є α => РZ Є α, тогда PZ ∩ AА1 = Q Є α, значит, Q = α ∩ АA1; Q Є α, T Є α => QТ Є α, тогда QТ ∩ EЕ1 =R Є α, значит, R = α ∩ ЕЕ1. Следовательно, MNPQR - искомое се¬чение. Исследование. След l секущей плоско¬сти α не пересекает основание призмы, а точка М секущей плоскости принадле¬жит боковому ребру DD1 призмы. Поэто¬му секущая плоскость α не параллельна боковым ребрам. Следовательно, точкиN, Р, Q и R пересечения этой плоскости с боковыми ребрами призмы (или продолжениями этих ребер) всегда существуют. А поскольку, кроме того, точка М не при¬надлежит следу l, то определяемая ими плоскость α единственна. Это означает, что задача имеет (всегда!) единственное ре¬шение. Рис. 10 Задача 2. Постройте сечение пятиуголь¬ной пирамиды PABCDE плоскостью, ко¬торая задана следом l и внутренней точ¬кой К ребра РЕ. Решение. Схематически построение искомого сечения можно изобразить так (рис. 11): T1 → Q → Т2 → R → Т3 → М → Т4 → N. Пятиугольник MNKQR — искомое се¬чение. «Цепочка» последовательности построе¬ния вершин сечения такова: 1. Т1= l ∩ АЕ; 2. Q = Т1К ∩ РА; 3. Т2 = l ∩ АВ; 4. R = Т2Q ∩ РВ; 5. Т3 = l ∩ ВС; 6. М - T3R ∩ РС; 7. Т4 = l ∩ СD; 8. N = Т4М ∩ РD. Однако секущая плоскость часто за¬дается тремя точками, принадлежащими многограннику. В таком случае для построения искомо¬го сечения методом следов сначала строят след секущей плоскости в плоскости осно¬вания данного многогранника. Рис. 11 Задача 3. Постройте сечение призмы АВСDЕА1В1С1D1Е1 плоскостью α= (МРR), где М, Р и R являются внутренними точками соответственно ребер АА1, СС1 и ЕЕ1 (рис. 12). Решение. Построим след секущей плоскости α в плоскости основания АВС данной призмы. Для построения этого следа достаточно построить две любые его точки. Такими точками являются точки пересечения плоскости основания данного многогранника с прямыми, лежащими в секущей плоскости. Е1 D1 Рис. 12 Прямая МR лежит в секущей плоско¬сти α = (МРR),а прямая АЕ - в плоско¬сти АВС основания данной призмы, при этом эти прямые лежат в одной плоскости (плоскости грани АЕЕ1А1) и пересекают¬ся. Точка T1 = МR ∩ АЕ является одной из точек следа плоскости α в плоскости основания призмы. Аналогично, точка Т2 = РR ∩ СЕ является второй точкой это¬го следа. Тогда прямая Т1Т2 = l - след секущей плоскости в плоскости основания призмы. Далее строим точки: 1) Т3 = l ∩ АВ; 2) N = Т3М ∩ ВВ1; 3) Т4 = l ∩ВD; 4) Q = Т4N ∩ DD1. Со¬единив отрезками последовательно точки М, N, Р, Q и R, получаем пятиуголь¬ник MNPQR - искомое сечение данной призмы, выделив его невидимые стороны штриховыми линиями. Аналогично строится сечение пирамиды плоскостью, заданной тремя точками. Гл. III. Метод внутреннего проектирования в построении плоских сечений многогранников. В некоторых учебных пособиях метод построения сечений многогранников, ко¬торый мы сейчас будем рассматривать, называют методом внутреннего проекти¬рования или методом соответствий, или методом диагональных сечений. Мы при¬мем первое название. Задача 1. Постройте сечение пирами¬ды PABCDE плоскостью α = (МFR), если точки М, F и R являются внутренними точками ребер соответственно РА, РС и РЕ (рис. 26, а). Решение. Плоскость основания пирами¬ды обозначим β. Для построения искомого сечения построим точки пересечения секу¬щей плоскости α с ребрами пирамиды. Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром РD данной пира¬миды. Плоскости APD и CPE пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и СЕ, которые пересекаются в некоторой точке К (рис. 26, в). Прямая РК=(АРD) ∩(СРЕ) пересекает прямую FR є α в некоторой точке К1: К1 = РК ∩ FR (рис. 26, г), при этом К1 є α. Тогда: М є α, К1 є α => прямая МK є а. Поэ¬тому точка Q = МК1 ∩ РD (рис. 26, д) есть точка пересечения ребра РD и секущей плоскости: Q =α ∩ PD. Точка Q— вер¬шина искомого сечения. Аналогично строим точку пересечения плоскости α и ребра РВ. Плоскости ВРЕ и АРD пересекают плоскость β по пря¬мым соответственно ВЕ и АD, которые пересекаются в точке Н (рис. 26, е). Прямая РН = (ВРЕ) ∩ (АРD) пересекает прямую МQ в точке Н1 (рис. 26, ж). Тогда прямая RН1 пересекает ребро РВ в точке N = α ∩ РВ — вершине сечения (рис. 26, з). Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения та¬кова: 1. К = АD ∩ ЕС; 2. К1 = РК ∩ RF; 3. Q = МК1 ∩ РD; 4. H = BE ∩ АD; 5. Н1 = РН ∩ МQ; 6. N = RН1 ∩ РВ. Пятиугольник MNFQR — искомое се¬чение (рис. 26, и). Динамика построения этого сечения пи¬рамиды проиллюстрирована на рис. 26. Е E В Е Задача 2. Постройте сечение призмы АВСDEА1В1С1D1Е1, плоскостью α, задан¬ной точками М Є ВВ1, Р Є DD1, Q Є ЕЕ1 (рис. 27). Решение. Обозначим: β — плоскость нижнего основания призмы. Для построения искомого сечения построим точки пересече¬ния плоскости α = (МРQ) с ребрами призмы. Построим точку пересечения плоскости α с ребром АА1. Плоскости А1АD и ВЕЕ1 пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и ВЕ, которые пересекаются в неко¬торой точке К. Так как плоскости А1АD и ВЕЕ1 проходят через параллельные ре¬бра АА1 и ВВ1 призмы и имеют общую точку К, то прямая КК1 их пересечения проходит через точку К и параллельна ре-бру ВВ1. Точку пересечения этой прямой с прямой QМ обозначим: К1= КК1 ∩ QМ, КК1 ║ ВВ1. Так как QM є α, то К1 є α. Е1 Рис. 27 Получили: Р є α , К1 є α => прямая РК1 є α, при этом РК1 ∩ АА1 = R. Точка R служит точкой пересечения плоскости α и ребра АА1 (R = α ∩ АА1), поэтому является вершиной искомого сечения. Аналогично строим точку N = α ∩ СС1. Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения та¬кова: 1. К = АD ∩ ВЕ; 2. К1 = КК1 ∩ MQ, КК1 || ВВ1; 3. R = РК1 ∩ АА1; 4. Н = ЕС ∩АD; 5. H1 – HH1 ∩ РR, НН1 || СС1; 6. N = QН1 ∩ СС1. Пятиугольник MNPQR— искомое сечение. Гл. IV. Комбинированный метод в построении плоских сечений многогранников. Сущность комбинированного метода по¬строения сечений многогранников состоит в следующем. На некоторых этапах по¬строения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проекти¬рования, а на других этапах построения этого же сечения используются изученные теоремы о параллельности, перпендику¬лярности прямых и плоскостей. Для иллюстрации применения этого ме¬тода рассмотрим следующую задачу. Задача 1. Постройте сечение паралле¬лепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью α, заданной точками Р, Q и R, если точка Р лежит на диагонали А1C1, точка Q-на ребре ВВ1 и точка R - на ребре DD1 (рис. 28). Рис. 28 Решение, а) Решим эту задачу с при¬менением метода следов и теорем о парал¬лельности прямых и плоскостей. Прежде всего, построим след секущей плоскости α = (РQR) на плоскости АВС Для этого строим точки Т1 = РQ ∩ Р1В (где PP1 ║AA1,P1є AC) и T2 = RQ ∩ ВD. По¬строив след Т1Т2, замечаем, что точка Р лежит в плоскости А1B1C1, которая парал¬лельна плоскости АВС. Это означает, что плоскость α пересекает плоскость А1B1C1 по прямой, проходящей через точку Р и параллельной прямой Т1Т2. Проведем эту прямую и обозначим через М и Е точки ее пересечения с ребрами соответственно А1B1 и А1D1 Получаем: М = α ∩ А1B1, Е =α∩ А1D1. Тогда отрезки ЕR и QМ являются сторонами искомого сечения. Далее, так как плоскость ВСС1 парал¬лельна плоскости грани ADD1A1, то пло¬скость α пересекает грань ВСC1B1 по от резку QF (F= α ∩ СС1), параллельному прямой ЕR. Таким образом, пятиуголь¬ник ERFQM - искомое сечение. (Точку F можно получить, проведя RF║ MQ) б) Решим эту задачу, применяя метод внутреннего проектирования и теоремы о параллельности прямых и плоскостей. Рис. 29 Пусть Н=АС ∩ ВD (рис. 29). Прове¬дя прямую НН1 параллельно ребру ВВ1 (Н1 є RQ), построим точку F: F=РН1 ∩ CC1.Tочка F является точкой пересечения пло¬скости α с ребром СС1, так как РН1 є α. Тогда отрезки RF и QF, по которым пло¬скость α пересекает соответственно грани CС1D1D и ВСС1В1 данного параллелепипеда, являются сторонами его искомого сечения. Так как плоскость АВВ1 параллельна плоскости CDD1, то пересечением плоско¬сти α и грани АВВ1А1 является отрезок QМ (М Є А1В1), параллельный отрезку FR; отрезок QМ - сторона сечения. Далее точка Е = МР ∩ А1D1 является точкой пересечения плоскости α и ребра А1D1, так как МР є α. Поэтому точка Е - еще одна вершина искомого сечения. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. (Точку Е можно по¬строить, проведя прямую RЕ ║ FQ. Тогда М = РЕ ∩ А1B1). Заключение Выявлена тенденция практической направленности заданий для разностороннего развития учащихся, где происходит: 1. Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям; 2. Расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу; 3. Развитие математических способностей и мышления у учащихся; 4. Развитие учащихся самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой; 5. Развитие исследовательских навыков. Данная работа может быть использована учащимися средних и старших классов для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике, для углубленного изучения материала на факультативах и для самообразования молодых учителей. Выпускники средних школ должны не только овладеть материалом школьных программ, но и уметь творчески применять его, находить решение любой проблемы. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 20012. 2. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 20012. 3. Научно-практический журнал для старшеклассников «Математика для школьников»,2012,№2/№3,1-64.