Практическая работа: Построение сечений

Критерии оценивания: за первую задачу 5 баллов (по баллу за каждую правильную линию, 1 балл за описание построения, 1 балл за штриховку сечения), вторая задача  - 7 баллов (по одному баллу за каждую линию, 2 балла за описание построения и 1 балл за штриховку),  третья задача – 8 баллов (по одному баллу за каждую линию, балл за построение следа, 2 балла за описание построения и 1 балл за штриховку). Максимальный балл за работу 20 баллов.

1  вариант

2  вариант

Теоретический материал

Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника. 

Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в плоскости каждой грани указать 2 точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника. 

При построении сечения многогранника мы получаем плоскую фигуру, имеющую следующее количество сторон: от треугольника до  сторон. Так у тетраэдра 4 грани, значит в сечении может быть треугольник и четырехугольник. У параллелепипеда 6 граней, следовательно, в сечении могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

Использование свойства параллельных плоскостей

Используем для построения сечений свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Если в параллелепипеде на одной из граней проведена линия, по которой плоскость сечения пересекает грань, а на параллельной ей грани есть точка, принадлежащая сечению, то через эту точку можно провести линию параллельную линии сечения.

Метод следов

Линия пересечения плоскости сечения и плоскости грани многогранника называется следом секущей плоскости на плоскости этой грани многогранника. Точка пересечения плоскости сечения и прямой, содержащей ребро многогранника, называется следом секущей плоскости на прямой, содержащей это ребро многогранника. 

Примеры решения задач

Задача 1. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки К, H и N.

Решение. Точки H и К лежат на одной грани , следовательно их можно соединить. Точки К и N лежат на одной грани , следовательно их можно соединить. Точки N и H лежат на одной грани , следовательно их можно соединить. Три точки однозначно определяют плоскость.

Построение: 1) HК

2)      КN

3)      NH

 – искомое сечение

Задача 2. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки О, M и P.

Решение. Точки O и P лежат на одной грани , следовательно их можно соединить. Точки P и M лежат на одной грани , следовательно их можно соединить. Точки M и O лежат на одной грани , следовательно их можно соединить. Три точки однозначно определяют плоскость.

Построение: 1) OP

2)      PM

3)      MO

 – искомое сечение

Задача 3. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки К, H и N.

Решение. Точки H и К лежат на одной грани , следовательно их можно соединить. Точки H и N лежат на одной грани , следовательно их можно соединить. А вот точки К и N соединять нельзя, так как они не принадлежат одной грани. Если мы проведем прямую HN в плоскости грани , то мы увидим, что в параллельной ей плоскости  есть точка К, значит по свойству параллельных плоскостей мы можем через точку К провести прямую параллельную прямой HN. Эта прямая пересекется с ребром  в некоторой точке, назовем ее О. Тогда точки О и N будут принадлежать одной грани  и их можно соединять.

Построение:

1)      HK

2)      HN

                                                                             3)                

                                                                             4)                    

                                                                             5)         

 – искомое сечение

Задача 4. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки К, H и N, используя метод следов.

Решение. Точки H и К лежат на одной грани , следовательно их можно соединить. Точки H и N лежат на одной грани , следовательно их можно соединить. А вот точки К и N соединять нельзя, так как они не принадлежат одной грани. 

Используем метод следов. Прямая HК лежит на грани . Точка N – лежит на грани . Эти грани имеют общую прямую . Поэтому, продолжим прямые HК и  до пересечения в некоторой точке, например Х. Эта точка лежит на прямой , следовательно, принадлежит плоскости грани , значит на этой плоскости у нас есть две точки Х и N – их можно соединить. Тогда прямая ХN пересекется с ребром  в некоторой точке, например, точке О, которую можно будет соединять с точкой К. Итоговое построение будет выглядеть так:

Построение:

1)      HK

2)      HN

3)  

4)  

                                                                 5)         

6) KO

 – искомое сечение