Практические рекомендации
к содержанию учебного материала
на уроках информатики 6 класса
«Интегрированный курс
уроков информатики и математики»
Авторы-составители:
Омарова Лаззат Алимовна, учитель информатики высшей категории Первой гимназии
Зубайраева Марина Юрьевна, учитель математики высшей категории Первой гимназии
Пояснительная записка
Изменения информационного пространства, постоянно растущий уровень новейших технологий неизмеримо расширяет возможности в организации и управлении учебной деятельности, позволяет преподавателям гимназий, лицеев и других инновационных учебных заведений таких как Первая гимназия практически реализовывать создаваемые преподавателями в творческих группах авторские программы информатики с 3 по 6 класс, авторские программы интегрированных курсов математики и информатики, методические разработки, сочетающие традиционные методики, элементы развивающего, интерактивного обучения с современными компьютерными технологиями.
Процесс информатизации и компьютеризации всех сфер деятельности человека создаёт предпосылки для широкого внедрения в педагогическую практику информационных и коммуникативных технологий. В нашем случае путем создания интегрированного курса математики и информатики мы стремимся к повышению уровня информатизации отдельных тем математики 6 класса с одной стороны, с другой стороны использование компьютера значительно расширяет возможности предъявления учебной информации, позволяет усилить мотивацию учения и активно вовлечь учащихся в решение математических задач с использованием РС.
Практика работы показывает, что наиболее эффективно использование компьютера на уроках математики с привлечением РС как вспомогательного инструмента. Возможность такого использования компьютера на уроках достигается путем интеграции по каждому этапу проводимого урока: учителя информатики Омарова Л.А. и математики Зубайраева М.Ю. разработали систему поддержки урока мультимедийными средствами, компоновкой математических заданий, наилучшим образом подходящих для иллюстративного решения с использования РС.
Данное пособие включает подробный конспект отдельных тем по математике 6-ого класса. Слайды с этой учебной информацией на организационном этапе урока могут быть выведены на интерактивную доску, экран проектора, на экраны РС, в заранее приготовленные индивидуальные памятки теории и формул или же в качестве упреждающего домашнего задания по математике. Материал соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта и может использоваться учителями, преподающим по учебникам, рекомендованным МОН РК, согласно прилагаемому списку литературы. Пособие предназначено как возможный вариант уроков информатики или же уроков математики в компьютеризированных кабинетах.
В процессе преподавания математики цифровые образовательные ресурсы могут быть использованы в форме различных презентаций, самостоятельно подготовленных в приложении PowerPoint с конкретными поурочными планами учителя.
Выполнение заданий на координатной плоскости, перенос изображения из тетрадей на монитор РС, выполнение поточечных рисунков, графиков функций с помощью виртуальных инструментов (навыки, отрабатываемые на уроках информатики) активно вовлекает учащихся в конструктивный и творческий процесс, позволяет продемонстрировать свое решение всей аудитории, скорректировать промежуточные и окончательные результаты самостоятельной деятельности.
Широкие возможности графического редактора позволяет представлять математическую информацию наглядно и разнообразно. Красочность, новизна, многообразие форм, элемент соревнования повышают эффективность занятий, развивают творческое мышление, позволяют осваивать информационные компетенции. Математический характер заданий делает их содержательнее, игровой момент работы на компьютере дополняется осознанной деятельностью, направленной на достижение результатов, как по математике, так и по информатике. Использование авто фигур, виртуальных инструментов, конструируя ряд преобразований, совершенствуя навык пользователя, ученик развивает абстрактное мышление, реализует творческие возможности, которые ему необходимы для выполнения заданий и по другим дисциплинам тоже.
На уроках применение компьютера позволяет развивать эстетический вкус к оформлению. На уроках информатики оформление математических диаграмм, чертежей осуществляется с учетом единых орфографических требований, с учетом основ черчения. Составители интегрированного курса считают необходимым знакомить с конкретными оптическими и психологическими особенностями офисной и прикладной графики, что делает изучаемый материал актуальным и значимым для образованного человека в современной инфра структуре.
Такая форма организации учебной деятельности учащихся делает возможным переход от пассивного наблюдения к активному участию в учебном процессе, как в качестве математика-исследователя, так и грамотного пользователя информационных сетей и персонального компьютера.
Прямоугольная система координат.
Построение точки по ее координатам
Нам известно, что положение точки на координатной прямой определяется только одним числом – его координатой. Теперь научимся определять место точки на плоскости.
Чтобы определить, на каком месте находится твоя парта в классе, недостаточно знать только одно число.
Например, парта, за которой сидит Света, стоит в третьем ряду на втором месте. Первое число определяет порядковый номер ряда, а второе число определяет порядковый номер парты. Вы знаете из курса географии, что местонахождение каждого города на Земле определяется двумя числами: широтой и долготой. Например, город Астана расположен на 51° северной широты и на 71° восточной долготы.
В науке при некоторых исследованиях формы размеры тела не учитываются, а тело рассматривают как точку. Поэтому тело на плоскости изображается точкой, а место точки на плоскости определяется двумя числами.
Чтобы определить место точки на плоскости, надо составить прямоугольную систему координат из двух взаимно перпендикулярных координатных прямых, пересекающихся в точке О - начале отсчета (рис. 1).
Две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке О - начале отсчета, образуют прямоугольную систему координат.
Взаимно перпендикулярные координатные прямые, имеют общее начало отсчета и одинаковые единичные отрезки. Прямоугольная система координат названа декартовой системой координат в честь французского философа и математика Рене Декарта (1596-1650).
Плоскость, на которой выбрана система координат, называется координатной плоскостью.
Термин «координата» с латинского «coordinatus» означает «упорядоченный». Координатные прямые называются координатными осями. Горизонтальная координатная прямая называется осью абсцисс (Ох) и обозначается буквой х. Вертикальная координатная прямая называется осью ординат (Оу) и обозначается буквой у.
Точка пересечения оси абсцисс с осью ординат называется началом координат. Начало координат обозначается буквой О. Буква О – первая буква из латинского слова «origo» - в переводе означает «начало».
Чтобы найти координаты точки А на координатной плоскости, надо (рис.2):
1. из точки А провести перпендикуляр на ось абсцисс. Найти координату точки пересечения этого перпендикуляра с осью Ох. Она и является абсциссой точки А;
2. из точки А провести перпендикуляр на ось ординат. Найти координату точки пересечения этого перпендикуляра с осью Оу. Она и является ординатой точки А.
На рис. 2 абсцисса точки А равна 4, ордината ее равна 3.
Абсцисса и ордината заданной точки называются координатами точки.
Координаты точки записываются в скобках А(4;3). Читают: «Точка А с координатами 4 и 3». При записи координат точки абсцисса записывается на первом месте, а ордината - на втором месте. Место точки на плоскости определяется парой чисел.
Если точка лежит на оси абсцисс (Ох), то ее ордината равна 0. Например, Е(3; 0); F (4; 0) (рис. 3).
Если точка лежит на оси ординат (Оу), то ее абсцисса равна 0. Например, К(0; 2); L(0; -4) (рис. 3).
Построение точки по координатам.
Построим на координатной плоскости точку D(-3; 4) (рис. 4).
Для этого надо: 1) на оси абсцисс (Ох) отметить точку, имеющую координаты х= -3, у=0, и провести через нее прямую, перпендикулярную оси абсцисс (Ох);
2) на оси ординат (Оу) отметить точку, имеющую координаты х=0, y=4, и провести через нее прямую, перпендикулярную оси ординат (Оу).
Точка пересечения перпендикуляров (точка D) - искомая точка D(-3; 4).
Оси координат разбивают плоскость на четыре части, которые называются координатными четвертями. Порядковые номера координатных четвертей определяются против часовой стрелки. На рисунке 5 в каждой координатной четверти в скобках показаны сначала знаки абсцисс, а затем знаки ординат.
1)Что представляет собой прямоугольная система координат?
2)Как называются координаты точки на координатной плоскости?
3)Как найти координаты данной точки на координатной плоскости?
4)Как определить положение точки по ее координатам?
Задания
№ 1.
Начертите прямоугольную систему координат и постройте точки, координаты которых заданы:
1) x=2, y=3; 3) x=-4, y=-2; 5) x=-1, y=0;
2) x=-3, y=1; 4) x=0, y=-3; 6) x=0, y=5.
№ 2.
На координатной плоскости постройте точки:
A(-2; 4), B(-1; -3), C(-2; -3), D(4; -1), E(1; 3), K(0; -1)
№ 3.
Постройте AB, CD и EF , если концы их имеют координаты:
A(3; 1), B(-3; 3), C(-2; -3), D(4; -1), E(1; 3), F(3; -4).
№ 4.
На координатной плоскости задана точка A(3; 2). Найдите точку B, координаты которой противоположны координатам точки A. Постройте отрезок AB.
№ 5.
Запишите координаты точек, изображенных на рисунке 6.
№ 6.
На координатной плоскости отметьте точки M(-2; -3), N(2;4), K(-3; 4), L(3; 1). Проведите отрезки MN и KL. Запишите координаты точки их пересечения.
№ 7.
На координатной плоскости закрасьте множество точек (x, y), удовлетворяющим неравенствам:
1) y=0; 3) y=2;
2) x=0; 4) x=1;
№ 8.
1) Точки B(;, 3) и A(-2; 1) лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс. Найдите x.
2) Точки D(-2; y) и C(3; 2) лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат. Найдите y.
Осевая симметрия
В природе, технике и быту встречаются случаи, когда части некоторых тел соразмерны между собой. Можно привести примеры насекомых, орнаментов, украшений (рис. 1).
В таких случаях мы часто встречаем выражения, что части тела фигуры симметричны. Термин «симметрия» происходит от греческого «summetria», означает соразмерность, наличие определенного порядка в расположении частей.
Рис. 1
Бывают различные виды симметрии. Самый простой вид симметрии - это симметрия относительно прямой. На рисунке 2 изображены фигуры А и В на плоскости и прямая к.
Любая фигура состоит из точек. Поэтому, чтобы построить фигуры, симметричные относительно прямой, сначала научимся строить точки, симметричные относительно прямой.
Например. Построим точку A1 симметричную точке А относительно прямой k (рис. 3).
Для этого:
1) надо начертить прямую k и вне ее отметить точку А;
2) через точку А провести перпендикуляр к прямой k.
3) продолжив перпендикуляр за точку А отложить отрезок DA1, равный AD и получим точку А1, симметричную точке А относительно прямой k. Симметричные точки обозначаются одинаковыми буквами, только в конце буквы ставится цифра – индекс.
Построим отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно прямой s (рис. 4).
Для этого:
1) надо построить точку А1 и В1 симметричные точкам А и В относительно прямой s;
2) соединив точки А1 и B1, построим отрезок А1В1.
Отрезок A1B1 симметричен отрезку АВ относительно прямой s Если согнуть плоскость по прямой s, то отрезки АВ и А1В1 совместятся. Значит, АВ=А1В1.
Если при сгибании плоскости чертежа по прямой, две фигуры совместятся, то такие фигуры называются симметричными относительно прямой.
На рисунке 5 изображены симметричные треугольники относительно прямой s. Если перегнуть чертеж по прямой s, то их соответственные вершины совпадут: вершина А с вершиной А1; вершина В с вершиной В1, вершина С с вершиной С1.
На рисунке 6 окружность с центром в точке О и радиусом ОА симметрична окружности с центром в точке О1 и радиусом O1A1 относительно прямой s.
Симметричные фигуры равны между собой.
Если фигура некоторой прямой делится на две симметричные части, то ее называют симметричной относительно этой прямой. Прямая, относительно которой симметричны части фигуры, называется осью симметрии.
Например, на рисунке 7 сторона АВ угла ABC симметрична стороне ВС относительно прямой k. Угол - фигура симметричная.
Угол ABC, равный 60°, разделен прямой k на два равных угла. Прямая k является осью симметрии угла ABC. Луч, который выходит из вершины угла и делит его пополам, называется биссектрисой угла. (BD - биссектриса). Биссектриса делит угол ABC на два угла, градусные меры которых равны:
; ;
Биссектриса угла является его осью симметрии.
Прямоугольник, квадрат, окружность – симметричные фигуры относительно оси (рис. 8).
Прямоугольник имеет две оси симметрии, квадрат имеет четыре оси симметрии.
Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии. Поэтому окружность имеет бесконечное множество осей симметрии.
1.Какие фигуры называются симметричными относительно прямой?
2.Какие фигуры называются симметричными относительно оси симметрии?
3.Приведите примеры фигур с осью симметрии.
Центральная симметрия
Второй вид симметрии на плоскости - симметрия относительно точки.
Научимся строить точку Av симметричную точке А относительно точки О.
Для этого:
1) отметим точку А и точку О. Через точки А и О проведем прямую k;
2)
на прямой k отложим отрезок ОАГ равный отрезку АО, ОА=ОА1
(рис.
1). Точки
А и А1 будут симметричны относительно О.
Научимся строить отрезок, симметричный отрезку АВ относительно точки О (рис. 2).
Для этого: надо построить точку А1 симметричную точке А относительно точки О, и точку B1 симметричную точке В относительно точки О.
Соединив точки А1 и В1 получим отрезок A1B1 симметричный отрезку АВ относительно точки О. Произвольная точка Х1 на отрезке А1В1 симметрична точке X на отрезке АВ относительно точки О. Если повернуть отрезок АВ вокруг точки О на 180°, то он совместится с отрезком А1В1. Значит, чтобы построить отрезок A1B1, симметричный отрезку АВ, достаточно повернуть отрезок АВ на 180° вокруг точки О.
Построим треугольник A1B1C1 симметричный треугольнику ABC относительно точки O (рис. 3). Для этого надо относительно точки построить точки A1, B1, C1, симметричные toчкам А, В, С, соответственно соединить их отрезками.
Построим окружность, симметричную окружности с центром в точке О1 и радиусом A1O1=r относительно точки О (рис. 4);
Для этого:
1. построим точку О2, симметричную центру О1 окружности относительно точки О;
2. построим отрезок А2О2, симметричный отрезку А1О1 относительно точки О;
3. построим окружность с центром в точке О2 и радиусом А2О2. Окружность с центром в точке О2 и радиусом А2О2 симметрична окружности с центром в точке Ot и радиусом А1О1 относительно точки О.
Фигура называется центрально-симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.
Точка О называется центром симметрии фигуры.
Например, любые точки, лежащие на концах диаметра окружности, симметричны относительно ее центра. Точки X, Y, Z... симметричны точкам X1, Y1, Z1 ... относительно точки О (рис. 5).
Окружность – центрально-симметричная фигура.
Точка О – центр симметрии окружности.
Отрезок – центрально-симметричная фигура (рис. 6).
Точка О – центр симметрии – делит отрезок АВ на две равные части (АО=ОВ).
Прямоугольник - центрально-симметричная фигура
В прямоугольнике ABCD вершина А симметрична вершине С относительно центра симметрии О, а вершина В симметрична вершине D относительно центра симметрии О (рис. 7). Поэтому AO=OC=BO=OD.
Отрезок, соединяющий противолежащие вершины прямоугольника, называется диагональю. Отрезки АС и BD – диагонали прямоугольника. Точка пересечения диагоналей прямоугольника является его центром симметрии. Точка О – центр симметрии прямоугольника ABCD.
Рассмотрим на координатной плоскости точки, симметричные относительно точки О - начала координат (рис. 8).
На координатной плоскости точка А(3; 5) симметрична точке А1(-З; -5); точка В(-5; 7) симметрична точке В1(5; -7) относительно точки О – начала координат.
На координатной плоскости координаты точек, симметричных относительно точки О - начала координат, являются противоположными числами.
1. Какие фигуры называются центрально-симметричными?
2. Что называется центром симметрии?
3. Где находится центр симметрии отрезка, прямоугольника и окружности?
4. Какими числами являются на координатной плоскости координаты точек, симметричных относительно точки О - начала координат?
О функции и декартовых переменных величинах
В XVII и XVIII веках широкое развитие получила промышленность были достигнуты большие успехи в науке. В то же время изучено движение планет и совершены крупные экспедиции в морях и океанах.
Наукой было определено, что природа находится в постоянном движении и изменении. Такое развитие науки и техники поставило перед математикой новые задачи. В связи с этим математика как наука стала изучать зависимость между переменными величинами в природе. Таким образом, в математике появилось понятие о переменных величинах.
Французские математики Рене Декарт (1596-1650) и Пьер Ферма (1601-1665) первыми ввели в математику понятие о переменных величинах. Р. Декарт в своем труде "Геометрия" (вышел в свет в 1637 году) использовал понятие о переменных величинах. Р. Декарт утверждал, что уравнение с двумя переменными на координатной плоскости изображается прямой. Исследование о переменных величинах, начатое Р. Декартом, было продолжено великими математиками XVII века И. Ньютоном (1643-1727) и В.Г. Лейбницом (1646-1716). И. Ньютон определил, что координаты движущейся точки находятся в функциональной зависимости от времени ее движения.
Это означает, что с введения понятия о переменных величинах началось бурное развитие математики - как науки, изучающей количественные отношения и пространственные формы объектов, существующих в природе.
В связи с развитием понятия о переменных величинах в математике появилось понятие о функции. Термин "функция" был введен немецким математиком В.Г. Лейбницем, а определение функции было сформулировано великим русским математиком Н.И. Лобачевским (1792-1856).
Графический способ задания функции
Функциональная зависимость между переменными может быть задана и с помощью графика. Например, изменение температуры воды при ее нагревании, движение пассажирских поездов по железной доро-ге, изменение производительности труда и т.д. Для задания функция графически используют прямоугольную систему координат (декартова система координат). В прямоугольной системе координат значения аргументов и соответствующие им значения функции изображаются
точками на графике. Если абсцисса точки является значением аргумента, то ее ордината будет значением функции, соответствующей заданному значению аргумента.
Пример 1. Построим график функции, заданной формулой
. Для этого составим таблицу значений функции для
соответствующих значений аргумента на промежутке [-2; 3]:
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
y |
1 |
1.2 |
1.5 |
2 |
3 |
6 |
В прямоугольной системе координат отметим точки с соответствующими координатами (х, у), взятыми из таблицы. Соединив точки, на координатной плоскости получим график функции, заданной формулой
(рис. 1).
Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.
Чем чаще расположены заданные точки графика, тем точнее изображается график функции.
С помощью графика по данным значениям аргумента можно найти соответствующие значения функции.
В примере 1 найдем значение функции по заданному значению аргумента х=1.
Для этого:
1.
проведем
перпендикуляр к оси Ох через точку с координатами
(1; 0);
2. найдем точку
пересечения перпендикуляра с графиком функции.
Это точка А(1; 2). Ордината у=2, точки А соответствует
заданному значению абсциссы х=1.
Значит, значению аргумента х=1 соответствует значение функции у=2.
С помощью графика по данным значениям функции можно найти соответствующие значения аргумента.
В примере 1 по значению функции у=6 найдем значение аргумента.
Для этого:
1. проведем перпендикуляр к оси Оу через точку с координатами (0; 6);
2. найдем точку пересечения перпендикуляра с графиком функции.
Это точка B(3; 6). Значение абсциссы х=3 точки В соответствует значению ординаты y=6. Значит, данная функция имеет значение равное y=6 при значении аргумента, равного х=3.
На координатной плоскости график функции отображает изменение функции.
Пример 2. На рисунке 2 изображен график зависимости температуры воздуха t°C от времени t в течение суток. Область определения функции – промежуток [0; 24], а область значения функции – промежуток [-2.5; 3].
По графику функции можно определить следующее:
1) в 8 ч и в 20 ч температура воздуха (значение функции) была 0°C;
2) в течение суток зафиксирована самая высокая температура воздуха 3°C, самая низкая температура воздуха -2,5°C;
3) с 2 ч до 14 ч температура воздуха повышалась; а с 0 ч до 2 ч и с14 ч до 24 ч температура воздуха понижалась;
4) с 8 ч до 20 ч температура воздуха выражена положительными числами (тепло), с 0 ч до 8 ч и 20 ч до 24 ч температура воздуха выражена отрицательными числами (холодно).
Не все графики могут быть графиками функции. В графике функции каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.
Например, график на рисунке 3 не является функцией, так как одному значению аргумента соответствует два значения функции.
Линейная функция и ее график
Пример. На элеваторе было 1200 т зерна. Ежедневно туда привозили 600 т зерна в течение t дней. Сколько тонн зерна стало на элеваторе?
Решение. На элеватор ежедневно привозили 600 т зерна, за t дней было привезено 600 t тонн зерна. Тогда на элеваторе стало m=(600t+ +1200) тонн зерна.
|
Если t=5, то m=600∙5+1200=4200;
Если t=10, то m=600∙10+1200=7200.
Одному значению аргумента t соответствует одно значение функции. Значит, функция задана формулой
m=600t+1200, где t - натуральное число.
Если в полученной формуле независимую переменную обозначить х, а зависимую - у, то ее можно записать в виде: y=kx+l.
Функция, заданная формулой вида y=kx+l (где х - независимая переменная, k и l — любые числа), называется линейной функцией.
Область определения функции y=kx+l - множество всех действительных чисел.
I. Построение графика линейной функции.
Пример 1. Построить график линейной функции y=1,5х-2. Составим таблицу соответствующих значений х и у для функции y=1,5х—2
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
y |
-3.5 |
-2 |
-0.5 |
1 |
2.5 |
В прямоугольной системе координат отметим точки, координаты которых указаны в таблице (рис. 4). Соединив отмеченные точки, получим прямую EF. Прямая EF - график линейной функции у=1,5х - 2.
Графиком линейной функции y=kx+l является прямая.
Мы знаем о том, что через любые две точки проходит единственная прямая. Значит, чтобы построить график линейной функции достаточно найти координаты двух точек.
Поэтому для построения графика линейной функции достаточно отметить две точки на координатной плоскости, принадлежащие данному графику, и провести через них прямую.
В формуле линейной функции y=kx+l, если х=0, то у=1.
График функции y=kx+l пересекается с осью ординат (Оу) в точке (0; /). Поэтому для построения графика линейной функции (прямой) в качестве одной из точек удобно брать точку ее пересечения с осью Оу, т.е. точку с абсциссой 0.
Пример 2. Построим график функции . Для этого найдем координаты двух точек.
Если х=0, то
Если х=3, то
Отметим точки С(0; 4) и D(3; 2). Проведем через эти точки прямую CD. Прямая CD есть график функции .(рис.5).
II. Рассмотрим как записать формулу линейной функции по ее графику.
Пример 3. На рис. 6 изображен график линейной функции.
Прямая пересекает ось ординат в точке А(0; 3). Подставляя значения х=0; у=3 в формулу y=kx+l, получим 3=k∙0+l; l=3.
Прямая пересекает ось абсцисс в точке B(4; 0). Подставляя значения х=4; y=0 и l=3 в формулу y=kx+l, получим 0=k∙4+3, . Значит, функция, график которой изображен на рисунке 6, задана формулой
III. Рассмотрим случай принадлежности данной точки графику данной линейной функции.
Точка принадлежит графику в том случае, если при данном значении абсциссы точки, принятой за аргумент, значение функции соответствует значениям ординаты точки.
Пример 4. Принадлежат ли точки А(2; 5) и B(1; -2) графику функции y=3х-1.
Для точки А(2; 5) вычислим значение у при х=2. При значении аргумента х=2, значение функции у=5. Значит, точка А(2; 5) принадлежит графику функции у=3х-1;
Для точки В(1; -2) при значении аргумента х=1 значение функции у=3х-1 равно 2. Поэтому точка В(1; -2) не принадлежит графику функции y=3х-1 (рис. 7, а).
В зависимости от области определения функции графиком функции может быть не только прямая, но и отрезок или луч.
Пример 5. Построить график функции y=-0,8х+3 на промежутке . Графиком данной функции является часть прямой между точками А и В, значения абсцисс которых равны -5 и 5.
Найдем координаты точек А и В, если х=-5, у=-0,8(-5)+3=7; y=7; если х=5, y=-0,8 -5+3=-1; у=-1.
В данном случае графиком функции y=-0,8х+3 является отрезок AS, точки А(-5; 7) и В(5; -1) конечные точки отрезка АВ (рис. 7, б).
На координатной плоскости расположение графика функции y=kx+l зависит от значений коэффициентов k и l.
Если k>0, то график функции y=kх+l с положительным направлением оси Ох образует острый угол; если k<0, то образует тупой угол. Поэтому коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой.
1. Какая функция называется линейной функции? Что является ее графиком?
2. Как построить график функцииy=kx+l?
3. Как по графику функции y=3х+5 найти значение l?
4.Как узнать, что точки с данными координатами принадлежат графику функции?
График линейной функции в частных случаях
Рассмотрим частные случаи графиков линейной функции y=kx+l. В формуле линейной функции y=kx+l, если l=0 и k=0, то функция имеет вид y=kx, где k - число, отличное от нуля.
Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой вида y=kx, где х - независимая переменная, k - коэффициент пропорциональности.
Например, у=3х; у=-2х; у=0,7х - прямая пропорциональность.
Функция прямой пропорциональности y=kx частный случай линейной функции. Значит, графиком прямой пропорциональности является прямая.
Расположение графика функции y=kx в координатной плоскости зависит от коэффициента пропорциональности k, поэтому k называется и угловым коэффициентом прямой.
В формуле y=kx, если х=0, то y=0. Отсюда следует, что график прямой пропорциональности проходит через начало координат - точку О(0; 0).
Пример 1. Построим график прямой пропорциональности у=1,5х.
Для
построения прямой достаточно взять две точки. Для построения графика в
качестве
одной из точек удобно взять точку 0(0; 0) - начало координат.
Если х=2,
то для функции y=l,5х имеем y=1,5-2=3. Отметим
точку А(2; 3).
Построим прямую через точки А(2; 3) и О(0; 0) (рис. 8). Это график функции у=1,5х.
График функции у= kх(где k≠0) есть прямая, проходящая через начало координат.
Рассмотрим как записать формулу прямой пропорциональности по ее графику.
Пример 2. Напишем формулу функции, график которой изображен на рисунке 9. Отметим точку А(2; 6), принадлежащую графику функции. Ее абсцисса х=2, а ордината y=6. Подставим в формулу y= kx:
6= k∙2; k=; k=3. Значит, заданная функция запишется формулой у=3х; , где у - ордината, х - абсцисса точки, принадлежащей графику функции.
В формуле y=kx, если х=1, у= k. Отсюда следует, что график функции y=kx проходит через точки 0(0; 0) и (1; k)
На рисунке 10 построены графики прямой пропорциональности y=kx при различных значений k.
Графики функций y=kxn y=kx+l при одинаковых значениях k являются параллельными прямыми.
Пример 3.
|
На рисунке 11 изображены графики функций у=0,5х+2 и у=0,5х. График функции у=0,5х есть прямая, параллельная прямой у=0,5х+2 и проходящая через начало координат.
При любом значении аргумента х значение функции у=0,5х+2 больше соответствующего значения функции у=0,5х на 2.
Если в формуле y=kx+l коэффициент k равен 0, то функция имеет вид у=l. Функцию у=l называют постоянной функцией, так как при различных значениях х значения у есть число постоянное. На рисунке 12 изображены графики постоянных функций.
Графики постоянных функции у=5; у=3; у=-2 и у=-4 параллельны оси абсцисс, область определения этих функций – множество отрицательных и положительных чисел, а область значений этой функции состоит только из числа.
1. Что представляет собой график прямой пропорциональности y=kx?
2. Чему равен угловой коэффициент графика функции у=kх!
3. Как называется функция у=l?
Взаимное расположение графиков линейных функций
Если графики двух линейных функций построены на одной координатной плоскости, то они либо пересекаются, либо являются параллельными прямыми.
I. Пересечение графиков двух линейных функций, построенных на одной координатной плоскости.
Известно, что пересекающиеся прямые имеют одну общую точку. Поэтому графики двух функций пересекаются только в том случае, если они имеют одну общую точку.
В этом случае найдется такое значение х, которому соответствует одно и то же значение у для обеих функций. Тогда эти значения х и у будут координатами точки пересечения прямых. Чтобы найти значение абсциссы х точки пересечения графиков функций, приравняем правые части формул.
Пример 1. Найдем точку пересечения графиков функций у=2х+1 и у=0,5х+4 (рис. 13). Для этого приравняем правые части формул и решим получившееся уравнение:
2х+1=0,5x:+4
2х-0,5х=4-1;
1,5х=3;
х=2.
Если х=2, то:
у=2х+1=2-2+1=5; у=5;
у=0,5x+4=0,5-2+4; у=5.
При х=2 значения функций у=2х+1 и у =0,5х+4 равны 5. Точку с координатами х=2; у=5 обозначим буквой А.
Точка А(2; 5) принадлежит и графику функции у=2х+1, и графику функции у=0,5х+4. Значит, графики данных функций пересекаются в точке А(2; 5).
Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками линейных функций, различны, то прямые пересекаются.
II. Параллельность графиков двух линейных функций, построенных в одной координатной плоскости.
Две прямые, являющиеся графиками линейных функций и не имеющие общих точек, параллельны.
Пример 2. Даны функции у=1,5х+2 и у=1,5х-2 (рис. 14). Приравняем правые части формул и решим полученное уравнение:
1,5х+2=1,5х-2
1,5х+2=1,5х-2;
х=-4.
Уравнение не имеет корня.
Так как уравнение не имеет корней, значит, графики функций у=1,5х+2 и у=1,5х-2 не имеют общих точек, эти прямые параллельны. Угловые коэффициенты функций у=1,5х+2 и у=l,5x-2 равны (k=1,5) то есть, в формулах коэффициенты при х одинаковы.
Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками линейных функций одинаковы, то прямые параллельны.
Все прямые, являющиеся графиками функций y=kx+l, только при равных значениях l пересекаются в одной точке (0; l) на оси ординат Оу (рис. 15).
1. В каком случае графики двух линейных функций пересекаются?
2. В каком случае графики двух линейных функций параллельны?
3. В каком случае прямые пересекаются только в одной точке на оси ординат?
Тема: Построение перпендикулярных прямых.
Цель: Закрепление понятия перпендикулярности,
построение перпендикулярных прямых с помощью выравнивания,
автофигур,
отражения,
поворота.
Задача.
Построить отрезки перпендикулярные горизонтальному (вертикальному) отрезку АВ.
Задача.
Дополнить до квадрата.
*Построить квадрат по его диагонали.
Записать названия отрезков, перпендикулярность.
Дополнить до прямоугольника.
**Построить прямоугольник по его диагонали.
Записать названия отрезков, перпендикулярность сторон.
Решения:
Задача
.Дополнить орнамент,
Назвать точки по алфавиту,
Записать перпендикулярность
Тема: Построение параллельных прямых.
Цель: Закрепление понятия параллельности,
построение параллельных прямых с помощью выравнивания,
автофигур,
отражения,
поворота.
Задача.
Построить отрезки параллельные горизонтальному отрезку АВ.
Использовать Shift,
копирование.
Построить отрезки параллельные вертикальному отрезку АВ.
Использовать Shift,
копирование.
Задача.
Задан наклонный отрезок, построить параллельные ему отрезки.
Выравнивание отрезков.
Тема: Прямоугольная система координат.
Цель: закрепить свойства осей координат,
координатных четвертей;
алгоритм построения точки по координатам.
Задачи:
Назвать координаты указанных точек.
Обратные задачи:
Отметить на координатной плоскости множество точек с заданными свойствами.
Отметить точки, абсциссы которых равны 0; 5; -4.
Отметить точки, ординаты которых равны 0; -3; 6.
Отметить точки с положительными абсциссами.
Отметить точки с отрицательными абсциссами.
Отметить точки с положительными ординатами.
Отметить точки с отрицательными ординатами.
Отметить точки, абсциссы и ординаты которых положительны.
Отметить точки, абсциссы и ординаты которых отрицательны.
Отметить точки, абсциссы и ординаты которых одного знака.
Отметить точки, произведение абсциссы и ординаты которых равно 0.
Отметить точки, произведение абсциссы и ординаты которых положительно.
Отметить точки, произведение абсциссы и ординаты которых отрицательно.
Отметить точки, абсциссы и ординаты которых равны.
Отметить точки, абсциссы которых больше ординат.
Отметить точки, абсциссы которых меньше ординат.
Тема: Прямоугольная система координат.
Цель: вычисление координат заданных точек;
алгоритм построения точки по координатам.
Задача.
Построить с помощью замкнутой ломаной рисунок,
Записать координаты точек.
Обменяться данными.
(-7,-3), (-6,-1), (-4,-2), (-7,1), (-8,4), (-7,6), (-4,5), (-2,2),
(-3,-1), (-1,0), (-1,1), (-2,1), (-2,-2), (0,1), (3,2), (6,1),
(7,0), (6,-3), (4,-4), (1,-4), (-3,-3), (-1,-5), (-2,-6), (-4,-6),
(-5,-5), (-4,-3), (-5,-4), (-6,-4), (-7,-3).
Тема: осевая симметрия.
Цель: закрепить свойства осевой симметрии при выполнении заданий на координатной плоскости.
закрепление алгоритма построения точки, симметричной данной относительно заданной оси симметрии,
закрепление алгоритма построения фигуры, симметричной данной относительно заданной оси симметрии.
Задача.
Назвать координаты пар симметричных точек. Указать ось симметрии.
Задачи.
Построить точку симметричную данной относительно оси ох. Записать координаты точек.
Построить точку симметричную данной относительно оси оу. Записать координаты точек.
Построить отрезок симметричный данному горизонтальному отрезку относительно оси ох. Записать координаты концов отрезков.
Построить отрезок симметричный данному горизонтальному отрезку относительно оси оу. Записать координаты концов отрезков.
Построить отрезок симметричный данному вертикальному отрезку относительно оси ох.
Построить отрезок симметричный данному вертикальному отрезку относительно оси оу.
Построить отрезок, симметричный данному отрезку относительно оси ох.
Построить отрезок, симметричный данному отрезку относительно оси оу.
Построить точку, симметричную данной относительно заданной прямой.
Построить отрезок, симметричный данному отрезку относительно заданной прямой.
Тема: осевая симметрия.
Цель: закрепить свойства осевой симметрии при выполнении заданий на координатной плоскости.
закрепление алгоритма построения точки, симметричной данной относительно заданной оси симметрии,
закрепление алгоритма построения фигуры, симметричной данной относительно заданной оси симметрии.
Задача.
Построить отрезок А1 В1 симметричный отрезку АВ относительно ОХ.
Задача.
Построить отрезок А1 В1 симметричный отрезку АВ относительно ОY.
Задача.
Построить отрезок А1 В1 симметричный отрезку АВ относительно OX, ОY.
Тема: осевая симметрия.
Цель: закрепить свойства осевой симметрии при выполнении заданий на координатной плоскости.
закрепление алгоритма построения точки, симметричной данной относительно заданной оси симметрии,
закрепление алгоритма построения фигуры, симметричной данной относительно заданной оси симметрии.
Задача.
Построить точку С1 симметричную точке С относительно данной оси симметрии.
Построить отрезок А1 В1 симметричный отрезку АВ относительно прямой.
Задания по вариантам, после проверки на слайде выводится решение с заданием записать координаты найденных вершин треугольника.
оси симметрии
Задача.
Построить треугольник А1В1С1 симметричный треугольнику АВС относительно осей координат.
Задания по вариантам, после проверки на слайде выводится решение с заданием записать координаты найденных вершин треугольника.
Тема: осевая симметрия.
Цель: закрепить свойства осевой симметрии при выполнении заданий на координатной плоскости.
закрепление алгоритма построения точки, симметричной данной относительно заданной оси симметрии,
закрепление алгоритма построения фигуры, симметричной данной относительно заданной оси симметрии.
Творческое задание.
Записать координаты картинок симметричных относительно заданных осей симметрии.
Тема: Центральная симметрия.
Цель: закрепить свойства центральной симметрии при выполнении заданий на координатной плоскости.
закрепление алгоритма построения точки, симметричной данной относительно начала отсчета,
закрепление алгоритма построения фигуры, симметричной данной относительно
начала отсчета,
закрепление алгоритма построения точки, симметричной данной относительно заданного центра симметрии,
закрепление алгоритма построения фигуры, симметричной данной относительно
заданного центра симметрии.
Понятие поворота на 1800.
Заключение
Результат учебно-воспитательного процесса во многом зависит от разнообразия используемых преподавателем дидактических и технических средств.
Предмет информатика реализует межпредметные связи, то есть при его изучении целесообразно практические задания по информатике наполнять различным предметным содержанием.
Координируя изучение математики с другими предметами, в частности с информатикой, тем самым подчеркивая роль и влияние практики на развитие математики, указывая условия, а иногда и причины зарождения тех или иных идей и методов, мы тем самым способствуем развитию у школьников диалектического мышления и формированию собственного мировоззрения, содействуем процессу их умственного созревания и сознательному усвоению ими учебного материала. Достигнутое таким образом более глубокое понимание школьного курса математики, безусловно, вызовет у школьников повышение интереса к предмету, развитие их познавательной активности.
Список литературы.
1. Т.А. Алдамуратова, Т.С. Байшоланов «Математика – 6» Алматы «Атамура» 2006
2. «Уроки математики 5 – 10 классов с применением информационных технологий» Москва «Глобус»2009
3. Н.Я. Виленкин «Математика – 6» Москва «Русское слово»2000
4. Н.В. Макарова «Информатика. Начальный курс» Санкт-Петербург «Питер» 2002
5. Н.В. Макарова «Информатика. Начальный курс. Практикум по информационным технологиям» Санкт-Петербург «Питер» 2002
6. Н.В. Макарова «Информатика. Базовый курс» Санкт-Петербург «Питер» 2005
7. Н.В. Макарова «Информатика. Базовый курс. Практикум по информационным технологиям» Санкт-Петербург «Питер» 2002
8. В.К. Совайленко «Система обучения математике в 5-6 классах» Москва «Просвещение» 1999
9. Э.Р. Нурк, Тельман А.Э «Математика – 6» Москва «Просвещение» 1991
Содержание
Пояснительная записка.................................................................................... 3
Прямоугольная система координат. Построение точки по ее координатам..... 5
Осевая симметрия............................................................................................ 8
Центральная симметрия................................................................................. 10
О функциях и декартовых переменных величинах........................................ 13
Графический способ задания функции.......................................................... 13
Линейная функция и ее график...................................................................... 16
График линейной функции в частных случаях.............................................. 19
Взаимное расположение графиков линейной функции.................................. 21
Тема: Построение перпендикулярных прямых.............................................. 23
Тема: Построение параллельных прямых...................................................... 25
Тема: Прямоугольная система координат...................................................... 26
Тема: Прямоугольная система координат...................................................... 27
Тема: Осевая симметрия................................................................................. 28
Тема: Осевая симметрия................................................................................. 30
Тема: Осевая симметрия................................................................................. 31
Тема: Осевая симметрия................................................................................. 32
Тема: Центральная симметрия....................................................................... 33
Заключение..................................................................................................... 35
Список литературы......................................................................................... 36
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.