Практическое занятие на тему:"Решение заданий на выполнение действий над комплексными числами"

Практическое занятие

Решение заданий на выполнение действий над комплексными числами в алгебраической форме.

Краткая теория

Алгебраическая форма комплексного числа.

Запись комплексного числа в  виде a + bi  называют  алгебраической  формой  комплексного  числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное  число.

Комплексное  число a + bi  считается  равным  нулю,  если  его действительная  и  мнимая  части  равны  нулю: a = b = 0

Комплексное  число a + bi  при  b = 0  считается  совпадающим  с  действительным  числом  a:  a + 0i = a.

Комплексное  число a + bi  при  a = 0  называется  чисто  мнимым  и  обозначается  bi:  0 + bi = bi.

Два  комплексных  числа   z = a + bi  и  = a – bi,  отличающиеся  лишь  знаком  мнимой  части,  называются  сопряженными.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

1) Сложение.

Определение. Суммой комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i называется комплексное число z,  действительная  часть  которого  равна сумме  действительных  частей z₁ и z₂, а  мнимая  часть  -  сумме  мнимых  частей  чисел  z₁  и  z₂,  то  есть z = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i.   

Числа z₁ и z₂ называются  слагаемыми. 

Сложение  комплексных  чисел  обладает  следующими  свойствами: 

1º. Коммутативность: z₁ + z₂ = z₂ + z₁. 

2º. Ассоциативность: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃).

3º. Комплексное число –a –bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi.  Комплексное  число,  противоположное комплексному  числу  z,  обозначается  -z. Сумма  комплексных  чисел  z  и -z  равна  нулю:   z + (-z) = 0

Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).

                  (3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Вычитание.

Определение. Вычесть из комплексного числа z₁ комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z, что z  + z₂ = z₁.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственна.

Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) - (-3 + 2i).

                  (4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Умножение.

Определение. Произведением комплексных чисел z₁=a₁+b₁i  и  z₂=a₂+b₂i  называется  комплексное  число z,  определяемое  равенством: z = (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i. 

Числа  z₁ и  z₂  называются  сомножителями. 

Умножение  комплексных  чисел  обладает  следующими  свойствами:

1º. Коммутативность:  z₁z₂ = z₂z₁.

2º. Ассоциативность: (z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃)

3º. Дистрибутивность  умножения  относительно  сложения:

     (z₁ + z₂) z₃ = z₁z₃ + z₂z₃.

4º. z ·  = (a + bi)(a – bi) = a² + b²  - действительное  число.

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i =                                           = (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) =                                           = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Деление.

Определение. Разделить комплексное число z₁ на комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z, что z  · z₂ = z₁.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если           z₂ ≠ 0 + 0i.

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z₁ = a₁ + b₁i, z₂ = a₂ + b₂i, тогда .

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное .

1 способ.

.

2 способ.

.

5) Возведение в целую положительную степень.

а)  Степени  мнимой  единицы.

Пользуясь  равенством  i² = -1,  легко  определить  любую  целую  положительную  степень  мнимой  единицы.  Имеем:

i³ = i² i = -i,

i⁴ = i² i² = 1,

i⁵ = i⁴ i = i,

i⁶ = i⁴ i² = -1,

i⁷ = i⁵ i² = -i,

i⁸ = i⁶ i² = 1 и т. д.

Это  показывает,  что  значения  степени  iⁿ,  где  n – целое  положительное  число,  периодически    повторяется  при  увеличении  показателя  на  4 .

Поэтому,  чтобы  возвести  число  i  в  целую  положительную  степень,  надо  показатель  степени  разделить  на  4  и  возвести  i  в  степень,  показатель  которой  равен  остатку  от  деления. 

Пример 5. Вычислите: (i ³⁶ + i ¹⁷) · i ²³.

i ³⁶ = (i ⁴)⁹ = 1⁹ = 1,

i ¹⁷ = i ^{4× 4+1}  =  (i ⁴)⁴× i = 1 · i = i.

i ²³ = i ^{4× 5+3}  =  (i ⁴)⁵× i³ = 1 · i³ =  - i.

(i ³⁶ + i ¹⁷) · i ²³ = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

б) Возведение  комплексного  числа  в  целую  положительную  степень  производится  по  правилу возведения  двучлена  в  соответствующую  степень,  так  как  оно  представляет  собой  частный  случай  умножения  одинаковых  комплексных  сомножителей.  

Пример 6. Вычислите: (4 + 2i)³

(4 + 2i)³ = 4³ + 3× 4²× 2i + 3× 4× (2i)² + (2i)³ = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Практические задания

 1.Выполнить сложение  комплексних чисел:

(3+2ί) + (-1-5ί) = (3-1) + (2-5)ί = 2-3ί

(4-5ί) + (2-ί) = (4+2) + (-5-1)ί = 6-6ί

(2+3ί) + (6-3ί) = (2+6) + (3-3)ί= 8

(10 – 3ί) + (-10+3ί) = (10-10) + (-3+3)ί = 0

2.Выполнить вычитание  комплексних чисел.

(3+4ί) – (1+2ί) = (3-1) + (4-2)ί = 2 + 2ί;

(-5+2ί) – (2+ί) = (-5-2) + (2-1)ί = -7+ί;

(6+7ί) – (6-5ί) = (6-6) + (7+5)ί = 12ί;

(0,3+2,5ί) – (-0,75+1,5ί) = (0,3+0,75ί) + (2,5-1,5ί) = 1,05+ί;

(Ö2-2ί) – (Ö2+3ί) = (Ö2-Ö2) + (-2-3)ί = -5ί;

1+1/2) – (1/4-3/5) = (1/3-1/4) + (1/2+3/5) = 1/12 + 11/10.

3. Выполнить умножение комплексних чисел.

1) (4-5ί)(3+2ί) = 12+8ί -15ί -10ί²= 12+10-7ί =22-7ί;

2)(Ö3-ί)(Ö2+Ö5ί) = Ö6-Ö2ί+Ö15ί-Ö5 ί²= (Ö6+Ö5) + (Ö15-Ö2)ί;

3)8ίх3ίхÖ3 = -24Ö3; 4)(2-ί)(-5) = -10+5ί;  5)(-4-3ί)(-6ί) = -18+24ί.

4. Найти произведение комплексних чисел.

(3+5ί)(3-5ί) = 9+25 = 34;

(2+ί)(2-ί) = 4+1 = 5;

(4+Ö3ί)(4-Ö3ί) = 16+3 = 19;

(Öх+Öуί)( Öх-Öуί) = х+у;

(3/4+2/5ί)(3/4-2/5ί) = 9/16+4/25 = 289/400.

5. Разложить на множители двучлен

            1)а+9 = (а+3ί)(а-3ί);

2)16m²+25n² = (4m+5nί)(4m-5nί);

3)49+36 = (7+6ί)(7-6ί);

4)а+16 = (Öа+4ί)( Öа-4ί);

5)в+7 = (Öв+Ö7ί)( Öв-Ö7ί).

6. Найти частное комплексних чисел.

1) (2+5ί)/(3-2ί) = (2+5ί)(3+2ί)/(3-2ί)(3+2ί) = (-4+19ί)/13 =  -4/13+19ί/13;

2) (3+ί)/ί = (3+ί)(-ί)/ί = 1-3ί;

7. Возвести в степень двучлени:

(2+5ί)² = 4+20ί +25ί² = -21+20ί;

(3+2)³ = 27+54ί +36ί²+8 = -9+36ί;

(1+ί)² = 1+2ί + ί²= 2ί;

(1-ί) ² = 1-2ί + ί²= -2ί;

(1-ί) = (1-2ί +ί) ² = (-2ί) ² = 4ί²  = -4;

(1+ί) = ((1+ί)²)³ = (2ί) ³ = 8ί³ = -8 ί;

Домашняя работа

Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: учебное пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1991.

§2 стр.107-110. Решить №154, 155, 166, 173, 199, 200.

Литература

1.   Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: учебное пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1991.

2.   Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. Учебник для СПО. – 5-е изд., перераб. и доп. – Москва: Издательство Юрайт, 2022.

3.