Презентация по геометрии "Векторно-координатный метод решения стереометрических задач" (11 класс, геометрия)

КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД  СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ  ВЕКТОРНО­ РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧ Фетисова А.И. МБОУ Субботинская СОШ имени Героя  Советского Союза СУ. Кривенко Шушенский район

ВЕКТОРНО­КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В  РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ  ЗАДАЧ Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый –  классический требует отлично знания аксиом и теорем, логики,  умения построить чертёжи. Другой метод – применения векторов и координат. Это простые  формулы, алгоритмы и правила. Рассмотрим применение данного метода при решении задач на  вычисление:  угла между прямыми;  угла между прямой и плоскостью;  угла между плоскостями. МБОУ Субботинская СОШ

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ  Углом между пересекающимися прямыми  называют наименьший из углов,  образованных при пересечении прямых  0<(a,b)≤90  Углом между скрещивающимися прямыми  называется угол между пересекающимися  прямыми, соответственно параллельными  данным скрещивающимся .                                             [ 3, с. 16] МБОУ Субботинская СОШ

При нахождении угла  между прямыми  a и b  используют формулу cos   qp    p q   или в координатной форме:  yy 21  2 z 1 cos                                                                            , 2 2  zz 21  2 x y 2 xx1 2 y 1 2  2 x 1    z 2 2           где        и        ­ векторы, соответственно  p  q               параллельные этим прямым.  МБОУ Субботинская СОШ

ПРИМЕРЫ ВВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ  КООРДИНАТ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ФИГУР МБОУ Субботинская СОШ

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E – середина ребра A1B1 .  Найдите косинус угла между прямыми AE и BD1 . Z A1 А Решение: Введём прямоугольную систему  координат как показано на рисунке.  Тогда А(0;0,0,), Е(0,5;0;1), В(1;0;0),  D1 (0;1;1), АЕ{0,5;0;1}, BD1 {­1;1;1}.  cos       С           2 5,0  1110)1(5,0   2 2 1 )1( 2 1 0 2   15 15 2 1 D1 C1 B1 Е D Y Х            Ответ:       В 15 15 МБОУ Субботинская СОШ

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО: 1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E,F – середины рёбер  соответственно A1B1  и B1C1. Найдите косинус угла  между прямыми AE и BF. (0,8) 2. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E,F – середины рёбер  соответственно A1B1  и  C1D1  . Найдите косинус угла  между прямыми AE и BF. (√5/5) 3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все  рёбра которой равны 1, точки D,E – середины рёбер  A1B1 и  B1C1 . Найдите косинус угла между прямыми AD  и BE. (0,7) 4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1  E1F1 все рёбра которой равны 1, точки G и H –  середины рёбер A1B1  и B1C1. Найдите косинус угла  между прямыми AG и BH.  (0,9) МБОУ Субботинская СОШ

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И  ПЛОСКОСТЬЮ  Углом между плоскостью и не  перпендикулярной  ей  прямой   называется  угол между  этой  прямой  и   ее  проекцией  на данную плоскость.  0< (a,α)<90   Угол между взаимно перпендикулярными  прямой и плоскостью равен 90  Если прямая параллельна плоскости (или  лежит в ней), то угол между ними  считается равным 0.                                           [3, c. 21]   МБОУ Субботинская СОШ

 Угол между прямой a  и плоскостью   вычислить по формуле α  можно          или в координатной форме  yy 21  2 z 1 xx 21  2 y 1  sin                                                                          , 2 2 2 x 1   2 2  x zz 21  2 y 2 z     где        ­ ненулевой вектор, перпендикулярный  α ,        ­ направляющий вектор  прямой   p  n плоскости  a.                                                                              [1] МБОУ Субботинская СОШ

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ В единичном кубе ABCDA1B1C1D1  найти угол между прямой   AD1  и плоскостью , проходящей через точки  A1 , E и F, где E–  середина ребра C1D1  , а точка F лежит на ребре  DD1 , так, что  D1 F=2 DF  [ кор  c.23] А(0;0;0), А1(0;0;1), D1 (1;0;1), E(1;0,5;1),  F (1;0;1/3), AD1 {1;0;1}, A1E{1;0,5;0}, A1F {1;0;­2/3}. Пусть n{x,y,z}­ вектор, перпендикулярный плоскости  . Тогда    nDA     nDA   0 EAn  вектор       найдём из условия                       y=­2x,   z=1,5x, пусть х=2,     0 FAn                тогда n{2;­4;3},                   ,                           1 AD  29n  n sin  1 1 1 2       1 nDA 5    Ответ: =arcsin  5/√58           sin  5  2  29 5 58 Нарвинская СОШ

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО: 1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E – середина ребра  A1B1  . Найдите синус угла между прямой  AE и  плоскостью BDD1.      (√10/10) 2. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все  рёбра которой равны 1, точка D – середина ребра  A1B1  . Найдите синус угла между прямой AD и  плоскостью BCC1.       (√15/10) 3. В правильной шестиугольной призме  ABCDEFA1B1C1D1 E1F1 , все рёбра которой равны 1,  точка G  – середина ребра A1B1  . Найдите синус  угла между прямой AG и плоскостью BCC1.                                                                           (√15/10) МБОУ Субботинская СОШ

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ  Двугранный угол, образованный полуплоскостями  измеряется величиной его линейного угла,  получаемого при пересечении двугранного угла  плоскостью, перпендикулярной его ребру.  Величина двугранного угла принадлежит  промежутку (0, 180)  Величина угла между пересекающимися  плоскостями принадлежит промежутку (0, 90]  Угол между двумя параллельными плоскостями  считается равным 0    Нахождение угла между плоскостями может  быть сведено к нахождению угла между  перпендикулярами к данным плоскостям МБОУ Субботинская СОШ

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ В единичном кубе ABCDA1B1C1D1  найти угол между  плоскостями  AD1 E  и D1 FC, где точки E и F– середины  рёбер A1B1 и  B1C1 соответственно [ кор  c.33] А(0;0;0), С(1;1;0), D1 (1;0;1), E(0;0,5;1),  F (1/2;1;1), AD1 {1;0;1}, AE{0;0,5;1}, СF {­1/2;0;1) ,  CD1  {0;­1;1}.   n Вектора       и       находим из условий   1;2;1   n                                                         1;1;2m                                      6n  6m  m  CDm 1  CFm   0  0       0 EAn     0 1DAn   mn   mn cos  3mn cos  3  6  1 2 6 Ответ: 60 МБОУ Субботинская СОШ

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО: 1. Точка K — середина ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1.  Найдите угол между плоскостями B1DK и ABC.   (arccos √6/3) 2. В основании правильной треугольной призмы  ABCA1B1C1 лежит треугольник ABC, в котором  AB = a. На боковых рёбрах призмы взяты точки M, P и  K, удалённые от плоскости основания ABC  соответственно на расстояния a/2, a,3/2a. Найдите угол  между плоскостями ABC и MPK. (π/4).  Все рёбра правильной треугольной призмы  ABCA1B1C1 равны между собой. Точка K — середина  ребра B1C1. Найдите угол между плоскостями AKC и  AA1K.     (arccos 6/√57) 3.   [6, с. 60,61] МБОУ Субботинская СОШ

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ: 1. Атанасян Л.С. И др. Геометрия 10­11.  (М.: Просвещение, 2010)  2. Бердов П. ( www.berdov.com ) 3.  Корянов А.Г., А.А. Многогранники: виды задач и методы их  решения. (www.alexlarin.narod.ru) 4. Малкова А.Г. Подготовка к ЕГЭ по математике. ( www.EGE­Study.ru ) 5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10­11 классы в  2ч. (М.: Мнемозина 2009) 6. Шестаков С.А. Векторы на экзаменах. Векторный метод в  стереометрии. (М. :МЦНМО, 2005)  7. Открытый банк заданий  ( www.mathege.ru )  8. Федеральный институт педагогических измерений.  Демоверсия 2015, кодификатор, спецификация  ( www.fipi.ru ) МБОУ Субботинская СОШ