Презентация по математике "Перестановки" (11 класс, математика)

Теория вероятности для 11 класса Тема: «Перестановки» учитель математики МБОУ «Кожинская СОШ» Захарова М.Е.

Урок №1. Урок №1. Урок №1. Урок №1. Тема урока : Тема урока : Тема урока : Тема урока : «Перестановки». «Перестановки». «Перестановки». «Перестановки».

Основная цель: Ознакомить учащихся с понятиями перестановки и соответствующими формулами для подсчета их числа.

Знания и умения учащихся: знать основные правила и методы решения комбинаторных задач, уметь решать простейшие комбинаторные задачи.

Часто из элементов некоторого конечного множества приходится составлять различные комбинации и затем производить подсчёт числа всех возможных комбинаций, составленных по некоторому правилу. Такие задачи получили название комбинаторных, а раздел математики, занимающийся их решением, называется комбинаторикой. В комбинаторике имеют дело только с конечными множествами. Этот раздел имеет большое значение в теории вероятности, теории, вычислительной техники, теории автоматов, в экономических расчётах. Мы рассмотрим начальные сведения из комбинаторики.

Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью трёх цифр: 3,5,7 не повторяя их? Решение: 357,375,537,573,735,753. Таких чисел будет 6. Добавим к данным трем цифрам ещё одну, например 8. Тогда задача примет вид:

Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с помощью цифр 3,5,7,8, не повторяя их? Всего будет 24: 357 375 537 573 735 753 8357 8375 8537 8573 8735 8753 3857 3875 5837 5873 7835 7853 3587 3785 5387 5783 7385 7583 3578 3758 5378 5738 7358 7538

Сколькими различными способами можно посадить за столом четырёх человек, если к этому столу приставлены четыре стула? По существу эта задача не отличается от предыдущей о четырех цифрах, поэтому и ответ будет тот же – 24.

Пусть дано произвольное множество из n элементов. Упорядочить множество – значит поставить какой-либо элемент множества на первое место, какой-либо другой – на второе и т.д., пока не останется последний элемент, который займёт последнее, n- е место.

Мы установили, это множество из трёх цифр можно упорядочить шестью способами, а множество из четырёх цифр-24 . ВОПРОС: Сколькими способами можно упорядочить множество из n элементов, где n- любое натуральное число?

Каждый способ упорядоче-ния множества каких либо элементов называется перестановкой этих элементов.

Теорема: Число перестановок из n элементов равно произведению n первых натуральных чисел, т.е. 1·2·3...n. Произведение n первых натуральных чисел обозначают n! Например: 1! = 1; 2! = 1·2 = 2; 3! = 1·2·3 = 6; 4! = 1·2·3·4 = 24.

Задача №1. Сколькими способами можно составить список из 9 учеников? Решение: 9! = 1·2·3...8·9 = 362880.

Задача №2 Сколькими способами можно составить маршрут путешествия, проходящего через 7 городов? Решение: 7! = 1·2...6·7 = 5040.

Задание№3 Вычислите:  6 6! А) 6! -5! г) Б) 4! . 2! . . 5 6! 5! 6 . В) д) 8! 6! 12! 9! 3! .

Задание №4 Сократите дробь а) ! n n  1)! ( б) n ! n  2!( 2)! в) ( n  2)!(  ( n 2  n 4)! 9)

Задание №5 Решите уравнение: Задание №6 Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0,2,4,5,7, не повторяя их? ( n  n 2)! !  72

Правило умножения: Если элемент А можно выбрать а способами и если после каждого выбора этого элемента существуют в способов выбора элементов В, то упорядоченную пару элементов (А,В) можно выбрать ав способами.

Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг- это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом в произвольном Задание №7. порядке? Задание №8 Сколько различных четных пятизначных чисел, все цифры, которых различны, можно записать с помощью цифр 1,2,3,4,5?

Задание №9. Выполните действия: 25 (5 m m m   1)! 5(5 3 ( 5 1  m  1 ) 2)! Задание №10. Из цифр 1,2,3,4,5,6,7 составляют всевозможные семизначные числа без повторения цифр. Сколько среди них чисел не начинающихся цифрой 5?

Число перестановок из n элементов с повторениями ФОРМУЛА: P  ( n n 1, 2 ... n ) k n ! !... n 2 ! k n n ! 1 Задание №11. Сколько семизначных чисел можно составить из трех «единиц», двух «пятерок» и двух «девяток»?

Задание на дом: Задача №1 .В пассажирском поезде 14 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 14 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник? 15! 14!  14!  14 ( n n (   1)! 3)! Задача№2. Вычислить Задача №3. Сократить дробь Задача№4. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, физкультура, химия, история. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом? Задача№5. Сколько среди всех перестановок букв слова «высота» таких, которые начинаются с буквы «а»,а оканчиваются буквой «т».