Презентация по математике на тему "Методические рекомендации по Вполнению заданий 13-17 ЕГЭ"

ОФОРМЛЕНИЕ ЗАДАНИЙ С РАЗВЁРНУТЫМ ОТВЕТОМ

2003-2016год областной эксперт по проверке заданий ЕГЭ с развёрнутым ответом
1987-2002 год член Медальной комиссии и Конфликтной комиссии города
С 1986 года член методического Совета

Анализ ошибок или недочётов, допущенных выпускниками, показывает, что большое количество их возникает из-за плохо оформленного решения, отсутствия необходимых пояснений при выполнении заданий, элементарной невнимательности.Работы выпускников зачастую выполнены небрежно, что свидетельствует об отсутствии культуры выполнения письменной работы. 

Правила выставления критериев оценивания заданий с развёрнутым ответом предписывают эксперту выставлять максимальный и минимальный балл согласно представленным критериям.

Пример 1. а) Решите уравнение 2 𝒄𝒐𝒔 𝟐Х 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐Х 𝟐𝟐Х 𝒄𝒐𝒔 𝟐Х + 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝐬𝐬𝐢𝐢𝐧𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝟐𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐 Х=𝟎𝟎,𝟓𝟓  б) Найти корни уравнения на отрезке − 𝟕𝝅 𝟐 ;−𝟐𝝅 − 𝟕𝝅 𝟐 𝟕𝟕𝝅𝝅 𝟕𝝅 𝟐 𝟐𝟐 𝟕𝝅 𝟐 ;−𝟐𝟐𝝅𝝅 − 𝟕𝝅 𝟐 ;−𝟐𝝅
Решение : 2 ( cos 2 cos cos 2 2 cos 2 Х− sin 2 sin sin 2 2 sin 2 Х)+ sin 2 sin sin 2 2 sin 2 Х =0,5 или 2 (1− 2sin 2 2sin 2sin 2 2 2sin 2 Х)+ sin 2 sin sin 2 2 sin 2 Х =0,5
После преобразований получается уравнение sin 2 sin sin 2 2 sin 2 Х =0,5
sin х= 2 2 sin sin х= 2 2 х= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin х= 2 2 или sin х= − 2 2 sin sin х= − 2 2 х= − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin х= − 2 2
А ведь можно многих ошибок избежать, если применять формулу понижения степени.

Пример 2. Решите уравнение cos2x+cosx+1 sinх−1 cos2x+cosx+1 cos2x+cosx+1 sinх−1 sinх−1 cos2x+cosx+1 sinх−1 =0.






Решение: cos2x+cosx+1=0→ 2 cos 2 cos cos 2 2 cos 2 х +соsх=0 →
cosx (cosx +1)=0 → cosx=0 или cosx=−1.
Чаще всего о записи sinх≠1 забывают или проверяют полученные корни, подстановкой в ОДЗ.
На окружности же хорошо видно, что cosx=0 удовлетворяет ОДЗ лишь прих = - 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 +2𝜋𝜋𝑛𝑛, n∈𝑍𝑍.
cosx=−1 показали на окружности и записали ответ.
Ответ: - 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 +2𝜋𝜋𝑛𝑛, n∈𝑍𝑍 ;𝜋𝜋 +2𝜋𝜋к, к∈𝑍𝑍

Рекомендация №2:
О.Д.З. тригонометрического уравнения обязательно необходимо показать на окружности!
Только после этого приступать к решению уравнения.

Отбор корней уравнения, принадлежащих отрезку, часто проводится не совсем корректно. Проверяют несколько значений n , и сразу пишут ответ. Такие рассуждения приводят к правильному ответу, однако, их следует считать недостаточными, т.к. не учтены другие значения n. Краткие пояснения (даже достаточно упоминания) того, что при остальных значениях nполучаем числа, не принадлежащие данному отрезку, уже дают основание считать, что выпускник понимает суть задания. Рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕР 5.а) Решите уравнение cos2x = 1- cos( π 2 π π 2 2 π 2 −x)б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку − − − 5𝜋 2 5𝜋𝜋 5𝜋 2 2 5𝜋 2 ; −𝜋𝜋).
Решение. а) После преобразований приходим к тому, что sinx =0 или sinx= 1 2 1 1 2 2 1 2 .
Понятно, что решением первого уравнения будет х=𝜋𝜋к, к∈𝑍𝑍 и второго х= (−1) 𝑛 (−1) (−1) 𝑛 𝑛𝑛 (−1) 𝑛 𝜋 6 𝜋𝜋 𝜋 6 6 𝜋 6 + 𝜋𝜋𝑛𝑛, n∈𝑍𝑍.
Отбор корней можно проводить на окружности, двойным неравенством, на графике и т.д. Всё же больше всего ошибок встречается в работах учащихся, которые производят отбор корней уравнения на окружности. И еще ни у одного выпускника я не встретила ошибку отбора корней, если использовали метод нахождения n и к двойным неравенством.

1)− 5𝜋 2 5𝜋𝜋 5𝜋 2 2 5𝜋 2 ≤𝜋𝜋к< −𝜋𝜋, к∈𝑍𝑍, 2) − 5𝜋 2 5𝜋𝜋 5𝜋 2 2 5𝜋 2 ≤ 𝜋 6 𝜋𝜋 𝜋 6 6 𝜋 6 +2𝜋𝜋𝑛𝑛< −𝜋𝜋
− 5 2 5 5 2 2 5 2 ≤к< −1 3) − 5𝜋 2 5𝜋𝜋 5𝜋 2 2 5𝜋 2 ≤ 5𝜋 6 5𝜋𝜋 5𝜋 6 6 5𝜋 6 +2𝜋𝜋𝑛𝑛< −𝜋𝜋
к=- 2, х=-2𝜋𝜋
Ответ: а) 𝜋𝜋к, (−1) 𝑛 (−1) (−1) 𝑛 𝑛𝑛 (−1) 𝑛 𝜋 6 𝜋𝜋 𝜋 6 6 𝜋 6 + 𝜋𝜋𝑛𝑛, n, к∈𝑍𝑍; б)−2𝜋𝜋; - 11𝜋 6 11𝜋𝜋 11𝜋 6 6 11𝜋 6 ; - 7𝜋 6 7𝜋𝜋 7𝜋 6 6 7𝜋 6 .

cosx = 1 4 1 1 4 4 1 4 , − − − 7𝜋 2 7𝜋𝜋 7𝜋 2 2 7𝜋 2 ; −2𝜋 −2𝜋𝜋 −2𝜋 .
х= + − + + − − + − 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐 cos 1 4 cos cos 1 4 1 4 1 1 4 4 1 4 cos 1 4 + 2𝜋𝜋𝑛𝑛, n∈𝑍𝑍.
Если промежуток задан «не совсем подходящий» для работы с окружностью, то можно предложить отбор , используя прямую.
А) на окружности;
Б) на прямой.
Иногда в работах вообще никаких рассуждений нет, просто выпускник представляет набор корней. Конечно, такой подход поощрять нельзя.
Однако, если ответ очевиден, то эксперт вправе засчитать его как правильный.
Например, х= + − + + − − + − 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐 cos 1 4 cos cos 1 4 1 4 1 1 4 4 1 4 cos 1 4 + 2𝜋𝜋𝑛𝑛, n∈𝑍𝑍.
На отрезке − − − 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 ; 𝜋 𝜋𝜋 𝜋 х= + − + + − − + − 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐 cos 1 4 cos cos 1 4 1 4 1 1 4 4 1 4 cos 1 4 .

Рекомендация 4:
Владеть необходимо всеми способами отбора корней, к каждому промежутку подходить «индивидуально»:
−𝟐𝝅;𝟐𝝅 −𝟐𝟐𝝅𝝅;𝟐𝟐𝝅𝝅 −𝟐𝝅;𝟐𝝅 -используем окружность
Другие промежутки – двойное неравенство.
Если промежуток задан «не совсем подходящий» для работы с окружностью, то можно предложить отбор корней уравнения на отрезке, используя прямую.

критерии проверки и оценки решений задания №14 .

Стереометрическая задача позиционируется как задача для большинства успевающих учеников, а не только для избранных. Поэтому она достаточно простая, решить которую возможно с минимальным количеством геометрических построений и технических вычислений.
Пункт а) может по разному соотноситься с пунктом б).
Решение: а) У меня не получилось. Если использовать а) при решении б), то получается…( и далее верное обоснованное решение).
1 балл!

Тем не менее, в последнее время всё чаще приходится ставить 0 баллов! Иногда и ответ правильный, но автор явно не имеет геометрического представления о происходящем: недостаточно обоснованные объяснения; пояснений нет, аргументации нет, ссылок на соответствующие теоремы нет, чертёж выполнен не соблюдая законов параллельного проектирования и т.д.

Позиция разработчиков КИМ состоит в том, что в первую очередь необходимо поощрять за достижения, а не наказывать за промахи. Никакого запрета нет и на применение формул, не изучаемых в курсе геометрии 10-11 класса (речь идёт о формулах координатно - векторного способа). Если у ученика 11 класса имеются серьёзные проблемы с пониманием определений, с чтением или построением сложного рисунка, если никак не удаётся подобрать необходимые дополнительные построения, то РЕКОМЕНДАЦИЯ 5: стоит заняться изучением координатно-векторного способа!. Метод координат- весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве.

Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций. Можно разработать элективный курс для 10-11 класса.

Критерии проверки и оценки решений задания №15

Пример1. log 2 8 х log 2 log log 2 2 log 2 log 2 8 х 8 х 8 8 х х 8 х log 2 8 х − 10 log 2 16х 10 10 log 2 16х log 2 16х log 2 log log 2 2 log 2 log 2 16х 16х log 2 16х 10 log 2 16х ≥0;
Решение: t = log 2 𝑥 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥 𝑥𝑥 log 2 𝑥 , тогда 3 - t- 10 𝑡+4 10 10 𝑡+4 𝑡𝑡+4 10 𝑡+4 ≥0, 3−𝑡 𝑡+4 −10 𝑡+4 3−𝑡 3−𝑡𝑡 3−𝑡 𝑡+4 𝑡𝑡+4 𝑡+4 −10 3−𝑡 𝑡+4 −10 𝑡+4 𝑡𝑡+4 3−𝑡 𝑡+4 −10 𝑡+4 ≥0, 2+𝑡 1−𝑡 𝑡+4 2+𝑡 2+𝑡𝑡 2+𝑡 1−𝑡 1−𝑡𝑡 1−𝑡 2+𝑡 1−𝑡 𝑡+4 𝑡𝑡+4 2+𝑡 1−𝑡 𝑡+4 ≥0.
Значит, t<4 или -2≤ t ≤1. Возвращаясь к х, получаем: log 2 𝑥 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥 𝑥𝑥 log 2 𝑥 <−4,
0<х< 1 16 1 1 16 16 1 16 или -2 ≤ log 2 𝑥 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥 𝑥𝑥 log 2 𝑥 ≤1, значит, 1 4 1 1 4 4 1 4 ≤ х≤ 2. Ответ: (0; 1 16 1 1 16 16 1 16 ) ∪ 1 4 ;2 1 4 1 1 4 4 1 4 ;2 1 4 ;2 .

«Обоснованно получен верный ответ»: сразу заметим, что решение уж очень лаконичное. И как раз обоснованности решения явно не хватает: отсутствует ОДЗ для значений «х»; отсутствует упоминание о характере монотонности логарифмической функции, поэтому не обоснован переход от логарифмического неравенства к алгебраическому. Но выпускник явно понимает вопрос. Поэтому 1 балл или 2 балла- принимает решение эксперт.
Если бы включены были точки х=0 или х= 1 16 1 1 16 16 1 16 выставлено было бы 0 баллов. Если бы речь шла о 1 4 1 1 4 4 1 4 или 2, то 1 балл.

Редко можно увидеть решение неравенства ОБОБЩЁННЫМ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ. Если применить этот метод к только что рассмотренному неравенству (что совершенно не обязательно, это выбор решающего), то решение выглядит несколько иначе.

Проверяем справедливость неравенства в полученных промежутках: log 2 8 х log 2 log log 2 2 log 2 log 2 8 х 8 х 8 8 х х 8 х log 2 8 х ≥ 10 log 2 16х 10 10 log 2 16х log 2 16х log 2 log log 2 2 log 2 log 2 16х 16х log 2 16х 10 log 2 16х
а) х=4, log 2 8 4 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 8 4 8 4 8 8 4 4 8 4 log 2 8 4 ≥ 10 log 2 16⋅4 10 10 log 2 16⋅4 log 2 16⋅4 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 16⋅4 16⋅4 log 2 16⋅4 10 log 2 16⋅4 → 1 ≥ 10 6 10 10 6 6 10 6 неверно
б) х=1, log 2 8 1 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 8 1 8 1 8 8 1 1 8 1 log 2 8 1 ≥ 10 log 2 16 10 10 log 2 16 log 2 16 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 16 16 log 2 16 10 log 2 16 → 3≥ 10 4 10 10 4 4 10 4 верно и т.д.
Записываем ответ.

ОБОБЩЁННЫЙ МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ 1. НАХОЖДЕНИЕ ОДЗ (ЗАГОТОВКА «КРЫШИ»)2. Записать соответствующее уравнение, заменив знак неравенства знаком равенства. Решить уравнение.3. На числовой оси отметить ОДЗ (накрыв «крышами»). Корнями уравнения разбить ОДЗ неравенства на интервалы.4. ПРОВЕРКА СПРАВЕДЛИВОСТИ НЕРАВЕНСТВА В ПОЛУЧЕННЫХ ПРОМЕЖУТКАХ.5. Записать ответ.

Преимущества применения этого метода:
Применяется ко всем видам неравенств.
Гораздо проще найти правильный ответ, т.к. нет необходимости следить за равносильностью преобразований неравенства.
Нет потери одиночных точек, в которых неравенство справедливо.
Можно применять к тригонометрическим неравенствам (на окружности).

РЕКОМЕНДАЦИЯ 6: Применение обобщенного метода интервалов – гарантия решения задания №15!