Проект урока по алгебре и началам анализа в 11-ом классе по теме: «Применение производной к исследованию функций».

Проект урока по алгебре и началам анализа в 11­ом классе по теме: «Применение производной к исследованию функций».  Цели урока:  обобщить знания по теме: «Применение производной к исследованию функций, к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке»;  формирование   умения   применять   теоретические   знания   к   работе   с   графиком функции, производной и касательной;  развитие интереса и внимания при решении  задач по готовым чертежам. Задача: отработка навыка работы с производной при подготовке к ЕГЭ. План урока:    1. Организационный   момент.   Постановка   цели   урока.   Мотивация   учебно­ познавательной цели. 2. Теоретический материал по теме «Производная и её применение». 3. Устная работа на вычисление производных. 4.  Решение заданий на применение производной. 5. Динамическая пауза. 6.  Самостоятельное решение типовых  заданий ЕГЭ. 7. Подведение итогов урока. 8. Рефлексия. Оборудование:  Мультимедиа установка. ХОД УРОКА 1. Организационный   момент.   Постановка   цели   урока.   Мотивация   учебно­ познавательной цели. Учитель: Сегодня урок начну с одной поучительной притчи. «Однажды молодой человек пришёл к мудрецу.  «Каждый день по пять раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в мою жизнь». Но радости в моей жизни нет», ­ сказал он. Мудрец положил перед собой ложку, свечу Чугунова Л. М. 235-341-282 и кружку и попросил: «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку», ­ ответил юноша. «Произнеси это пять раз», ­ сказал мудрец. «Я выбираю ложку», ­ сказал юноша. «Вот видишь,   ­   сказал   мудрец,   повторяй   хоть   1000000   раз   в   день,   она   не   станет   твоей. Надо…» Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и сегодня надо взять свои знания и применить их на практике. А вспомнить нужно всё по теме «Производная и её применения». 2. Теоретический материал по теме: «Производная и её применение».   1) Что нужно знать для нахождения производной функции. Уравнение касательной.      Нужно знать таблицу и правила вычисления производных      Y=f (а) + f ׳ (а) (х­а) ­ уравнения касательной, где а­ абсцисса точки касания, f(а)    – значение функции в точке касания, f´(а)­значение производной в точке касания.  2) Физический смысл производной    . Если материальная точка движется по закону Х (t), то: 1). Производная от координаты по времени есть скорость, т.е. V (t)= Х ´(t). 2).  Производная   от  скорости   –   ускорение    a  (t)   =  V‘   (t),  то  есть   ускорение   равно второй производной от функции                a (t) = V‘ (t) = S“ (t).  3) Геометрический смысл производной.      Если к графику функции y = f (x) в точке с абсциссой х = а можно  провести касательную, непараллельную оси у, то   k = tg(α) = F׳ (x).  Угловой коэффициент касательной равен тангенсу   угла   наклона   касательной   или   значению   производной   функции   в   точке касания. Если угол α острый, то k = tg(α) = F׳ (x).  Если α тупой, то α = 180­β, тогда  то k = tg (α) = F׳ (x) = ­ tg (β)   4) Связь свойств функции с  её  производной.  Признак постоянства функции:Если f׳(х)=0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x) постоянна. Признак возрастания функции:   Если f׳(х)>0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x) возрастает. Признак убывания  функции:     Если f׳(х)<0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x) убывает. Признак максимума функции: Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума функции. Чугунова Л. М. 235-341-282 Признак минимума функции: Если в точке х0 производная меняет знак  с минуса на плюс, то х0 есть точка максимума. 5) Наибольшее и наименьшее значения функции. Дифференцируемая на (а;b) и непрерывная на [a;b] функция у=f(x) достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на границе отрезка [a;b] или в одной из точек экстремума на интервале (а;b). Если   функция   удовлетворяет   условиям   теоремы   и   имеет   единственную   точку экстремума – точку максимума (минимума), то в ней достигается наибольшее (наименьшее)   значении   функции.Если   функция   возрастает  (убывает)  на  отрезке [a;b],то  f(в) наибольшее значение,  f  (а) – наименьшее значение;  (f    (в) наименьшее значение,        наибольшее значение) функции.  f   (а) –   Теоретический материал для учащихся Сжатый справочный материал Физический смысл производной: V (t)=Х ´(t); a (t) =V‘(t); V‘ (t) =S“( t)  Геометрический смысл производной.      k = tg(α) = F׳ (x); угол α острый, то f׳(х) > 0; угол α тупой,   то f׳(х)<0; угол α =0,   то f׳(х)=0. Общий вид уравнения касательной.      Y=f  (а) +  f  ׳ (а) (х­а)  ­ Общий вид уравнения касательной. где а­ абсцисса точки касания, f(а)   –значение функции в точке касания, f´(а)­значение производной в точке касания. Связь производной и самой функции 1).Y= f(x) на промежутке – возрастающая   – убывающая ,  f ׳ (х)<0;      – постоянная   ↔  f ׳ (х) > 0,   ↔  f ׳ (х) = 0                                      2).Точка                    Максимума              Минимума                     F ׳ (х) + –                      f ׳ (х) – +                                         3).Y= f(x) на [а; в] Чугунова Л. М. 235-341-282         возрастающая                                            убывающая                                                     f (в) – наибольшее значение                        f (а) – наибольшее значение 3. Задания для устной работы. 1. Найдите производную 1. 2. 3. 4. 5. 6. 4. Решение заданий на применение производной. Разбор заданий ЕГЭ по образцу Задание №1.   Образец (для учащихся) На   рисунке   изображён   график   функции   проведённая в точке с абсциссой  точке  (рисунок 1). . Найдите значение производной функции и   касательная   к   этому   графику,  в Решение: Значение   производной   функции   в   точке   равно   угловому   коэффициенту   касательной   к графику функции в этой точке, или тангенсу угла, образованного данной касательной с положительным   направлением   оси   абсцисс:   .  Значение   тангенса   угла можно легко найти из прямоугольного треугольника (тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему,­ катеты же этого треугольника очень хорошо выделены на рисунке):  Задание №2     Образец (для учащихся) Функция  у   =  f(x)  определена   на   интервале   (­7;   6).   На   рисунке   изображен   график   ее производной.  1).Исследовать функцию на монотонность и экстремумы по графику производной. 2).В какой точке отрезка [­1;4] функция принимает наибольшее значение. Чугунова Л. М. 235-341-282 3).В какой точке отрезка [­4;­1] функция принимает наибольшее значение. 4) Определите, сколько существует касательных к графику функции, которые параллельны прямой у=3х­5 или с не совпадают (рисунок 2). Решение: 1).Производная  заданной функции определена и непрерывна в каждой точке  интервала (­8;8). По графику легко определить промежутки её знакопостоянства, т.е.  положительные значения производная имеет на интервалах (­7;­4), (­1;3) и (6;8),  следовательно, функция при этих значениях аргумента – возрастает. Длина наибольшего из выбранных промежутков равна 4.  Ответ: 4. 2) К=0, значит значение производной равна 0.Производная равна 0 в 5 точках. 4.2.  Задания по теме  «Механический смысл производной»              Точка движется прямолинейно по закону  Х(t)=3t³­2t²+4                                                                 x(t)=6t³­2t²+7 (Х измеряется  в метрах, t – в  секундах)                  а) Найти скорость в момент времени t=3c t=2c                б)Найти ускорение в момент времени   t=2c                                                                                          t=3c                 в)Через сколько секунд точка остановится?                                                         Ответы:   а)69м/с                                                                     а)64м/с б)32м/с?                                                                    б)104м/с? в)4/9с                                                                        в)2/9с 4.3.  Задания по теме «Геометрический смысл производной».  а) Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой  Хо, если  f(x)=x²­х­ 20                                                       f(x)= ­x² +9х­ 20   Xо=2                                                                     Хо=4  Чугунова Л. М. 235-341-282 б) Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) в точке его с абсциссой Хо.  f(x)=x²+9x,   Xo=2                    3 балла                              f(x)=­x²+4x,   Xo=­2   Ответы:  а)3                                                                              а)1 б)y=13x­4                                                                  б)y=8x+4                                                          4.4. Задание на нахождение наибольшее и наименьшее значений функции   Найдите наименьшее значение функции    на отрезке           на отрезке  Ответ: 4                                                          Ответ:9 5. Динамическая пауза. Плотно закрывать и широко открывать глаза 4­6 раз подряд с интервалом 15 секунд. ­ Вращать глазами по кругу: вниз, вправо, вверх, влево и в обратную сторону. ­ Быстро моргать в течение 1 минуты. ­ Смотреть вдаль перед собой 2­3 сек. Перевести взгляд на кончик носа на 3­5  сек. Повторить 6­8 раз. ­ стоя взглянуть в правый верхний угол комнаты, затем в нижний левый 10­ 12 раз. Затем 10 раз движение глазами из верхнего левого в нижний правый угол комнаты. 6. Самостоятельное решение типовых заданий ЕГЭ (приложение 1). 7. Подведение итогов урока. 8. Рефлексия. Ребята по кругу отвечают на вопрос: Что я научился делать сегодня на уроке? Какие задания я смогу решить на ЕГЭ?   Чугунова Л. М. 235-341-282 Чугунова Л. М. 235-341-282