Проектная работа на тему: "Изучение свойств функции".

«Колмогоровские чтения – 2019» Тема: Изучение свойств функций. План Вступление. I. II. Изучение свойств функций. 1.  Пропедевтика и дальнейшее развитие таких понятий: как области определения,  области значений функции, монотонности, чётности и нечётности, периодичности и  непрерывности. 2.  Подробное изучение свойств периодичности и непериодичности функций.  Примеры  1­2 при изучении темы «Периодические функции. Задания 1 – 7­ методы  доказательств. ● ● ● ● III. IV. V.  О сумме периодических функций.  Период суммы функций с соизмеримыми периодами.  Примеры. Нахождение периодов функций.  Период суммы функций с несоизмеримыми периодами. Выводы по внеклассному уроку. Блок упражнений и задач для подготовки к единому экзамену.. Заключение.    Актуальность      Необходимость восполнения в более подробном (и самостоятельном) изучении свойств   функций в школе и при подготовке к ЕГЭ именно сейчас, в свете задач проблемного  обучения и осуществления (ФГОС) единства обучения и воспитания и определило  актуальность темы исследования. В ­ первых, изучение этой темы отвечает практике;  во­вторых, при подготовке к урокам полученные результаты помогут и пополнят  материалы, не включённые в основную школьную программу 7­11классов. Цели и задачи: 1) изучить свойства функций в учебное время и на внеклассных занятиях; 2)  обобщить знания учащихся по теме “Изучение свойств функций”;  3)  рассмотреть на примерах и формировать навыки применения свойств функций  4) научить читать и строить  графики функций; выработать умения, необходимые для  успешного решения задач единого экзамена; 5) формировать УУД и содействовать повышению интереса к изучению математики. Первоочерёдной задачей изучения курса математики (а также и свойств функции)   является качественное изучение предмета (конкретно темы), раскрытие принципов  действия, решение задач не только ради точного ответа, а ради способа его получения,  ради логических рассуждений на пути к нему. 1 Изучение свойств функций. Методическая концепция. Начнём с простого перечисления свойств функций, которые на том или ином уровнях  строгости изучаются в различных разделах школьного курса математики. Их одиннадцать  (перечень даётся с некоторым запасом по сравнению с традициями):  1. Область определения функции. 2. Область значений функции. 3. Монотонность. 4. Чётность. 5. Периодичность. 6. Непрерывность. 7. Выпуклость. 8. Ограниченность. 9. Экстремумы.  10. Наибольшие и наименьшие значения функции. 11. Асимптоты графика. Теперь рассмотрим три вопроса, которые ставил перед молодыми учителями на одном из семинаров А. Мордкович ещё в 1994 году. 1. Каким из понятий (свойств функций)  следует давать в школе строгое определение, а  какие достаточно лишь описать? 2. Как и когда вводить, то или иное определение? 3. Если строгое определение вводится позже первичного использования некоторого  свойства, то каковы пропедевтика и динамика развития соответствующего понятия?      Действительно эти вопросы далеко не праздны, а очень важны. Основная методическая ошибка – появление этих свойств в более или менее полном  объёме практически одновременно в теме « Построение графиков функции с помощью  производной», что вызывает естественные затруднения у учащихся (из­за переизбытка  информации). Это и есть педагогическая ошибка, ­ говорил на семинаре для молодых  учителей профессор А. Мордкович в своё время.  Дело в том, что каждый учитель реализует в своей педагогической практике различные  программы: интереса, памяти, развития и т. д.  Среди них важное место занимает программа развития математической речи,  (включающая, в частности, правильное использование терминов математического языка).  Не следует забывать, что употребление (со смутным пониманием) определённых терминов  в реальной жизни часто предшествует их полноценному пониманию, а понимание термина  приходит только после привыкания к нему.      Рассмотрим с этих позиций 6 свойств функций из 11 указанных. 2 Пропедевтика и дальнейшее развитие таких понятий: как области определения,  области значений функции, монотонности, чётности и нечётности, периодичности и  непрерывности. 1. Область определения функции Область определения функции может быть естественной, тогда при задании функции она  не указывается. Область определения функции может быть заданной, тогда при задании  функции она указывается. Первые функции, с которыми знакомятся школьники в 7 классе,  это функции y= kx + b, y=x2, y=x3, рассматриваемые на всём множестве действительных  чисел. В это время говорить об области определения преждевременно. Затем появляется  функция y= k x  с ограничением x≠ 0. Здесь можно ввести термин «область определения», отождествляя его с понятием естественной области определения (но, разумеется, ничего не говоря об этом учащимся). Функция обратной пропорциональности и функция  y=x2    вводятся в учебнике алгебры 8 класса, автор – Мерзляк Е. А., а по учебнику Алимова с  графиком обратной пропорциональности учащиеся знакомятся лишь в 9 классе. Эта линия  продолжается и при изучении в 8 классе функции y= √x . Представление о заданной (а не естественной) области определения формируется постепенно при рассмотрении кусочных  функций, а также при решении задач на отыскание наибольших и наименьших значений  функций на промежутках. Само понятие заданной области определения появляется в 9  классе при введении понятия функции. Учителя, даже опытные, часто ограничиваются лишь одним типом упражнений; для данной  функции найти её область определения, забывая об упражнениях противоположного типа – построить график функции по заданной области определения. Если задачи первого типа  носят в основном репродуктивный характер, то задачи второго типа – это творческие  задания, что имеет, несомненно, большую ценность, например, из учебника 8 класса  (Мерзляк А. Г.), учебника 9 класса (Ю.М. Колягин и др.). 1) X= (−∞.1)∪(1,+∞)   (f(x)= 1 x−1) . 2) X= ¿−∞,0¿ ¿     3)  X= ¿−∞,0¿ ¿     . (f(x)=√−x) (f(x)= 1 √−x) . 4) X= [2,5]    (f(x) = √x−2  + √5−x ). Область значений функции 3 Понятие области значений функции имеет смысл определить формально в 9 классе вместе  с понятием функции, а до этого пользоваться им в описательном плане при решении  упражнений на чтение графиков. Например, а в  8 классе вы учащимся предлагаете не  только построить график функции y=x2 на отрезке  [−1;2],   но и найти на этом отрезке  наибольшее и наименьшее значения функции (соответственно, 4 и 0), а также найти область значений функции  (E(y)=[0,4]) . Изучив функцию y= √x , предложить учащимся  найти область её значений как во всей (естественной) области определения 0,+∞¿ E(y)=¿ ¿   , так и на заданных промежутках, замкнутых или незамкнутых. Например, для  отрезка  [1;25]   область значений есть E(y)= [1;5],  для интервала (4; 49) получаем  Е(у)=(2; 7). Это является подспорьем, кстати, и для пропедевтики темы 10 класса  «Отыскание наибольших и наименьших значений функций на промежутках». 3. Монотонность. Обычное определение возрастающей (убывающей) функции можно дать уже при изучении  линейной функции в 7 классе (что обычно и делается в школе). Рассматривая в 8 классе  функцию y=x2 , не говоря уже о кусочных функциях, вы можете создать представление о  промежутках монотонности, причем, по крайней мере, в 7­8 классах это лучше делать с  помощью построенного графика, а не опираясь на определение возрастания или убывания  функции на промежутке. Определения учащимся труднее понять и применять, а в век  компьютеризации – на графике им нагляднее. Они с помощью программы построения  любого графика по формуле – это делают быстро. А определения даже учащиеся 9 класса с трудом применяют. 4. Чётность. Формальное определение чётной (нечётной) функции естественно дать в 9  классе, где оно будет активно использоваться при изучении степенных функций y=xn, y=x­n, (n ∈  Z). Важно, чтобы школьники понимали геометрический смысл чётной функции  (график симметричен относительно оси у), нечётной – симметричен относительно начала  координат. В связи с этим уметь по виду графика установить чётность или нечётность  функции. Важно, чтобы учащиеся понимали, что в случае чётной (нечётной) функции  работу по построению её графика можно рационализировать: исследовать функцию при х>0  построить соответствующую ветвь графика, а затем построить ветвь графика при  х ¿0  так, чтобы она была симметрична построенной относительно оси у (или  соответственно – начала координат). Полезно также, опираясь на геометрические  представления, сформулировать серию теорем о связи понятий чётности (нечётности) и  монотонности функций: 1)  Если функция чётная и возрастает при х ¿ 0, то она убывает при х ¿0 . 4 2) Если функция чётная и убывает при х ¿ 0, то  она возрастает при х ¿0 . 3) Если функция нечётная и возрастает при х ¿ 0, то она возрастает и при х ¿0 . 4) функция нечётная и убывает при х ¿ 0, то она убывает и при х ¿0. Определение чётной (нечётной) функции формулируют следующим образом: Функция y=f(x)? x ∈ X называется чётной (нечётной), если для любого x  из X  выполняется равенство  f(­x)=f(x) соответственноf9­x)=­f(x). Это значит, в частности, чтоf(­ x) существует наряду с f(x), т. е. что вместе с х в область определения функции входит и – х. Числовое множество Х, обладающее указанным свойством называется симметричным.  Таким образом, симметричность области определения – необходимое условие четности  (нечётности) функции. Об этом полезно сообщать учащимся, чтобы в ряде случаев они не  выполняли лишнюю работу. Например, для исследования на чётность функции у= х2−5х+6 х−4   нет необходимости составлять выражение f(­x) и сравнивать его с f(x).  Достаточно убедиться в несимметричности области определения (­4  ∈  D(y), тогда как 4 ∉  D(y)) и отсюда сделать вывод о том, что поэтому функция не является ни чётной, ни  нечётной.  В заключение дадим два совета по пропедевтике понятия чётной (нечётной) функции. Первый совет. Так как школьник зачастую не может исследовать функцию на чётность (нечётность) не  потому, что он не знает определений, а вследствие того, что испытывает затруднения с  функциональной символикой, не понимает смысл записи f(­x). Значит, соответствующие  упражнения должны присутствовать в арсенале учителя. Второй совет. Ещё в 8 классе (даже можно уже и в 7 кл.) обратите внимание своих учеников на то, что  (­x)2 = x2 и что график функции y = x2 симметричен относительно оси у. Пусть они заметят также, что (­x)3 = ­ x3 и что график функции y = x3 симметричен относительно начала  координат. Позднее в 9 классе, когда будут введены соответствующие понятия и  сформулированы соответствующие теоремы о чётной функции, тогда этот материал не  покажется ученикам абсолютно новым.  5. Периодичность.   В этом разделе даются известные определения  периодической функции и (новое для  учащихся) на коллоквиуме вводится краткое определение периодичности через кванторы.  5 Затем приводится теоретический материал, и рассматриваются примеры периодических и  непериодических функций, периодов суммы функций с соизмеримыми и с несоизмеримыми периодами. Материал использовался при проведении нестандартного урока ­ коллоквиума.  Учащиеся должны иметь целостную картину о периодических функциях. Разобран способ  нахождения периода для суммы тригонометрических функций. Важно, чтобы школьники  понимали, что же такое период функции и на «провокационный» вопрос типа: «можно ли  сказать, что 22 π   ­ период функции  sinх », не отвечали, «нет». В работе попытаемся показать, как этого достичь?      Основная методическая ошибка – это появление всех этих свойств в более или менее  полном объёме практически одновременно в теме «Построение графиков функций с  помощью производной», что и вызывает затруднения у учащихся (из­за переизбытка  информации).  Это и есть педагогическая ошибка. Дело в том, что каждый учитель реализует в своей  педагогической деятельности различные программы: интереса, памяти, развития  математической речи, ориентации на прочное усвоение базовых (или профильных) знаний,  формирования универсальных учебных действий и т. д. Среди них важное место занимает  математическая речь, математическая грамотность. Не следует забывать, что употребление (со смутным пониманием) определённых терминов в реальной жизни часто предшествует  их полноценному пониманию, а понимание термина приходит только после привыкания к  нему. Поэтому считается не только возможным, но и полезным употребление  школьниками, начиная с 7­го класса, таких, например, терминов, как непрерывность,  выпуклость и,  конечно,  периодичность без знания строгих математических определений.  Например:  ­ Где вы встречались со словами: период и периодичность? Ответы учащихся: период в музыке – построение, в котором изложено более или менее  завершенная музыкальная мысль.  Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет. В ЕГЭ встречаются примеры: период полураспада радиоактивного вещества,  периодическая дробь, периодическая система Менделеева и т. д… Дети, конечно же,  находят в памяти эти термины.       Впереди у всех ­  ЕГЭ. Поэтому  подготовка к экзамену не должна  сводиться к  «натаскиванию» учащихся на выполнение определённого типа задач, содержащихся в  демонстрационной версии экзамена, а должна начинаться с конкретно наглядной (а не  абстрактной)  математики,  а затем приобретается умение строить математические модели. Различные анализы результатов ЕГЭ позволяют сделать выводы, относящиеся к основным  вопросам математики, на которых должна быть сосредоточена подготовка к ЕГЭ.  Прежде  всего, это арифметические действия и культура вычислений; алгебраические преобразования и действия с функциями (что в данном случае  нас и  интересует);  решение практических задач.      Государственный стандарт по математике предполагает приоритет деятельностного  подхода к процессу проблемного обучения, в котором участвуют и учащиеся, и учителя.  В конце отобранного материала мы приведём схему анализа такого внеклассного урока –  коллоквиума. 6 О периодичности и непериодичности функций. Примеры при изучении темы  «Периодические функции и непериодические функции».      Теперь мы рассмотрим методическую концепцию  изучения  свойств периодичности  и  непериодичности функций, которые и вызывают затруднения при нахождении периодов  для построения или чтения графиков функций на уроках и при сдаче ЕГЭ.      Рассмотрим с этих позиций и свойство периодичности. В технике и в природе часто  встречаются процессы, которые повторяются периодически через определённые  промежутки времени. Периодически изменяющиеся величины описываются с помощью  периодических функций.      В школьном курсе математики, когда речь заходит о примерах периодических функций,  учащиеся, как правило, называют основные тригонометрические функции. Но в курсе  алгебры встречаются и другие периодические функции. Например, y = {x} ∈  R. Как можно ещё получить периодические функции?  Например, по формуле y = f (g(x)), где g – периодическая функция, а f – произвольная.  y = cos23x , y = log2cosx , y = |sin2x|  и т. д.  или y =3 при x      Не все учащиеся справляются с задачами, в которых требуется доказать, что заданная  функция является периодической, хотя для ребят из профильного класса это бывает  нетрудно. Они сначала угадывают период, а затем с помощью определения доказывают  периодичность функции. Значительные трудности учащиеся испытывают в тех случаях,  когда нужно доказать непериодичность конкретной функции. Обычно,  обучая школьников методам доказательств непериодичности, можно пойти двумя путями. Сначала разберём основные этапы первого пути. Надо проанализировать с учащимися логическую структуру определения периодичности и  точно сформулировать определение непериодической функции. Структура определения периодической функции: Пусть задана некоторая функция f(x)  на области определения D(f). Функция f(x) называется периодической, если существует  такое положительное число Т, что для любого x ∈  D справедливо:  1) x +T ∈  D(f),  2)  x ­ T  ∈  D(f),  3)  f (x +T) = f(x) = f(x ­ Т). Если использовать кванторы (квантор существования   ∃ и квантор всеобщности  ∀ ),  то краткая запись определения примет вид: ( ∃  Т ≠ 0) ( ∀ х  ∈  D) f (x ­T) = f(x) =  f(x + Т). 7 По сути дела, это первое определение в школьном курсе алгебры, где, говорят математики, «навешены» два квантора. В этом психологическая трудность определения, что следует  учитывать учителю. Например, с чётностью, нечётностью, монотонностью функций дело  обстоит проще. Сравните: чётность – ( ∀x∈  D)   f(­ x)=f(x); нечётность ­ ( ∀x∈  D)    f(­ x)= ­f(x); возрастание – ( ∀ х1, х2  ∈  D) х1  ¿  х2  D) х1  ¿  х2  Во всех этих определениях фигурирует лишь один квантор. С понятием периодической функции связан другой существенный момент – наличие у неё  бесконечного множества периодов. В самом деле, если Т – период функции y= f(x), то  любое число вида kT, где k ∈ Z, также является её периодом. Например, любое число  вида 2 π k является периодом функций y=  sinx , y=  cosx,  а любое число вида πk   ­ периодом функций y=  tgx,  y=  ctgx. ⇒ f(x1)  ¿  f(x2); убывание ­ ( ∀ х1, х2  ∈ ⇒ f(x1)  ¿  f(x2). Но школьники привыкли работать с основными периодами, т. е. с наименьшим из всех  положительных периодов функций. Поэтому полезно: во­первых, объяснить, что основной  период выбирают только из соображений удобства (если основной период функции y= f(x)  равен T, то, построив ветвь графика на промежутке длины  Т, например на (­  Т 2 ;  Т 2 ),  дальнейшее исследование можно не проводить, а ограничиться параллельным переносом  построенной ветви по оси х на  ± Т,  ±2Т  и т. д.); во­вторых, полезно показать хотя  бы сильным учащимся, что основной период существует не всегда. Стандартный пример в  этом плане – функция Дирихле. D(x) =  { 1,еслих−рациональноечисло; 0,если−иррациональноечисло.   8 Любое рациональное число r является периодом функции. В самом деле, если х –  рациональное число, то x+r, x­ r – рациональные числа, а потому D(x – r) = D(x) = D(x+r) =  1; если же х – иррациональные числа, а потому D(x – r) = D(x) = D(x+r) = 0. Однако среди  положительных рациональных чисел наименьшего числа нет; значит, у периодической  функции Дирихле не существует основного периода. С введением понятия периодической функции в силу указанной выше психологической  трудности его восприятия торопиться не следует, оно естественно вводится в теме  «Тригонометрические функции». Однако вы совершите методическую ошибку, если не  приведёте ученикам хотя бы один пример периодической функции из «другой оперы», не  являющейся тригонометрической. И в этом плане есть стандартный пример (не считая  {x}.  Напомним, что экзотической функции Дирихле) – это «дробная часть числа» y=  {x}  = {х+1}  ­ целая часть числа. Отсюда следует, что  [x],где[x] , причём это основной период. Построим эти  {х−1} {х}  =   = x ­  , т. е. 1 – период функции  {х} графики. Приведём два примера на построение графиков, которые рассматривали  учащиеся на внеклассном уроке. (П.­1 – Лавриненко Н. и П. ­2 – Беликов К.) Пример 1. Построение графиков функции вида y = [f(x)] а) Пусть имеется график функции у = f(х). Чтобы построить график функции    у = [f(x)],  поступаем следующим образом: 1. Проводим прямые у = n, n = 0; ­1; +1; ­2; +2; … и рассматриваем одну из  полос, образованных прямыми у = n,  у = n + 1. 2. Отмечаем точки пересечения прямых у = n, у = n + 1 с графиком функции у =  f(х). Эти точки принадлежат графику функции  у = [f(x)], так как их ординаты  целые числа (на рисунке это точки А, В, С, D).  Для получения остальных точек графика функции у = [f(x)] в указанной полосе часть  графика у = f(х), попавшую в полосу,  проектируем параллельно оси Оу на  прямую у = n. Поскольку любая точка  М этой части графика функции у = f(х)  имеет такую ординату  , что n ≤   <  9 ] = n.  В каждой другой полосе, где имеются точки графика функции  у = f(х),  n + 1, то [ построение проводится аналогично. б) Построим график функции у = [х]. Для этого: • проводим прямые у = n, n = 0; ­1; +1; ­2; +2; … и рассматриваем одну из полос,  образованных прямыми у = n, у = n + 1; • отмечаем точки пересечения прямых у = n, у = n + 1 с графиком    функции у = [х]. Эти точки принадлежат графику функции у = [х],  так как их координаты целые числа; • для получения остальных точек графика функции у = [х] в указанной полосе часть  графика у = х, попавшую в полосу, проецируем параллельно оси Оy  на прямую у = n, у = n + 1.  Поскольку любая точка М этой части графика функции y = x, имеет такую ординату y0,  что n < y0 < n + 1, то [y0] = n; • в каждой другой полосе, где имеются точки графика функции у = х, построение  проводится аналогично. Графический способ решения уравнений Пример 2. [х] = 2{х} Решение. Решим это уравнение графически. Построим графики функций     у = [х] и у =  2{х}. Найдём абсциссы точек их пересечения. Ответ: х = 0; х = 1,5. В некоторых случаях удобнее по графику найти ординаты точек пересечения графиков.  Затем подставить полученное значение в одно из уравнений и найти искомые значения х. 10 Определение непериодической функции строится как отрицание определения  периодической функции. Теперь построим определение непериодической функции. Функция f(x) не является периодической, если для любого T > 0 найдётся такое x ∈  D,  что не будет выполнено хотя бы одно из условий: 1) – 3)  1) x +T ∈  D(f),  2)  x ­ T  ∈  D(f),  3)  f (x +T) = f(x). Рассмотрим материал на примерах и укажем некоторые свойства, которые используются в  разобранных задачах. Пример – 1. Докажите, что функция f(x) =  sin 1 x    не является периодической. не является периодической. x    не является периодической. Областью определения данной функции являются все действительные числа, кроме 0, т. е.  x ≠0. Пусть T – произвольное положительное число. Так как – T ≠0, то точка х0 =­ ­T  принадлежит области определения. Но  хо + T = (­T) + T = 0 и хо + T  ∉  D (f).  Нарушено  условие (1), следовательно, функция f(x) =  sin 1 Пример – 2. Докажите, что функция f(x) =  x3 Областью определения данной функции являются все действительные числа, поэтому для  любого T точки x + T и x – T принадлежит области определения. Значит, нужно доказать,  что для любого T > 0 существует (хотя бы одно) значение х, для которого f (x +T)  ≠   f(x). В качестве такого х можно взять, например, х=0. Тогда f (x) = f(0) = 0. f (x +T) = f(Т) =Т2 >  0, т. е. f (x +T)  ≠  f(x). Теперь рассмотрим, в чём заключается второй путь доказательства непериодичности   функции.  Он основан на таком очевидном утверждении: если все периодические  функции обладают некоторым свойством, а данная функция им не обладает, то она  не является периодической.                       Пойти по этому пути доказательства возможно в том случае, когда определён набор  необходимых свойств периодических функций.  Укажем некоторые такие свойства. I. Если точка x0 принадлежит области определения периодической функции с  периодом  T, то её области определения принадлежат и все точки x0 + nT, где n – любое целое  число. 11 Это значит, что область определения периодической функции содержит положительные и  отрицательные числа, сколь угодно большие по абсолютной величине.     Отсюда, например, вытекает, что функция y= logax  не является периодической, так  как любое x  ≤  0 не принадлежит её области определения. II. Периодическая функция f(x) принимает каждое своё значение при бесконечном  числе значений x, среди которых есть положительные и отрицательные числа, сколь  угодно большие по абсолютной величине. Это свойство вытекает из равенства f (x +nT)  ¿  f(x), , где n ∈ Z, верного для  периодической функции с периодом T > 0. В частности, периодическая функция не может  быть строго монотонной на всей области определения. Например, сразу ясно, что функция  y=a2  не может быть периодической, поскольку  она строго монотонна. III. Периодическая функция не может иметь на своей области определения конечного числа точек разрыва. Например, функция  y =  не является периодической,  1 x(x−2) так как имеет только две точки разрыва: х=0 и х=2. IV. Если f(x) – периодическая функция, определённая на всей числовой прямой, то  уравнение f (x +T)  ¿  y = {x},  где Т рассматривается как неизвестное,  а х – как параметр, имеет  по крайней мере одно положительное решение Т=Т0, удовлетворяющее этому уравнению  при всех значениях параметра х ∈ R. Пример – 3. Докажите, что функция y = {x} + sinх  не является периодической. Предположим, что f(x) – периодическая функция с периодом Т>0. Тогда при любом х  верно  {х+Т}  +  sin(х+Т) =  При х=0 выполняется равенство.   {х} + sinх . {Т}  + sinТ =0; (*)  При х = ­ Т запишем  {−Т}  ­  sinТ =0; (**) Складывая почленно равенства (*) и (**), получим:  {Т} Так как дробная часть любого числа неотрицательна, то  {−Т}  +  {Т}=¿    = 0. {−Т}  =0,  {Т}=¿ 0, то из равенства (**) следует, что  sinТ =0. т. е. Т – целое число. Если,   Значит, Т = k π , k ∈  Z. Но если k ≠  0, то Т = k π  не является целым числом.  Следовательно, уравнения  (*) и (**) имеют лишь один корень Т=0. Поэтому f(x) не  является  периодической функцией. * Если для периодической функции f(x) с периодом Т на некотором промежутке [а;а+Т]  выполнено неравенство  |f(x)|  ≤ М, то это неравенство выполняется и  для любого значения переменной х. 12 Из этого утверждения вытекает, что для периодической функции f(x), определённой и  непрерывной на всей числовой оси, существует такое число М>0, что неравенство  |f(x)|  ≤ М выполняется для всех х ∈ R.  2. Приведём некоторые задания, которые учащиеся 10­11 классов выполняют при  изучении темы «Периодические дроби». Задание №1.  Докажите, что функция f(x) = |sinх|  является периодической с периодом  π . Областью определения функции f(x) является числовая прямая. Поэтому для любого х  точки х и х+ π  и х­  π  принадлежат области определения.  Проверим равенство f(x + π ) = f(x); f(x +  π ) = |sin(х+π)| = |−sinх| = |sinх| = f(x). Задание №2. Найти основной период функции f(x) = cos4х  + sinх . Функция определена на множестве действительных чисел, поэтому числа х+Т и х ­ Т  принадлежат области определения функции. Число 2 π  является периодом функции,  так как cos4(х+2π)  + х (¿+2π) sin¿  = cos4х  + sinх . Докажем, что никакое положительное число Т, которое является периодом функции f(x), причём 0 < Т < 2 π  не является периодом функции. Предположим противное:  существует число Т, которое является периодом функции, причём 0 < Т < 2 π .   Рассмотрим число х = ­  Т 2  . Значение f (­  Т 2 ) должно быть равно f (­  Т 2  +Т) = f( Т 2 ). 13 −Т 2 ¿ cos4¿ −Т 2 ¿ sin¿ ) + Но  )  ≠cos4Т 2  + sin Т 2  , так как  −Т 2 ¿ sin¿ ) и  Т 2 ¿ sin¿ ) отличны от  нуля и противоположны по знаку, а числа  −Т 2 cos¿ Т 2 cos¿  ) и   ) совпадают. Противоречие. Задание №3. Найти главный период функции у = 3  cosх+cos 2х . Областью определения данной функции является вся числовая прямая. Пусть Т – период  данной функции, тогда для любого х имеем 3 cos(х+Т)  +  (2(х+Т))=¿ cos¿ Т: 3 cosТ  +  cos2Т=4 . 3 cosх +  cos2х . При х=0 получаем уравнение для  Поскольку  cosТ  ≤ 1 и  cos2Т  ≤ 1, выполняется неравенство 3 cosТ  + cos2Т≤4 , поэтому Т удовлетворяет системе уравнений: { cosТ=1 cos 2Т=1 Наименьшим положительным решением этой системы является число Т=2 π . Проверим, что Т =2 π  действительно является периодом данной функции.  Действительно, для любого х числа  х + 2 π , х ­ 2 π  принадлежат области  определения данной функции и (2(х+π))=¿ 3 cos(х+2π) 3 cosх +  cos2х .  +  cos ¿ Поэтому число Т =2 π  является главным периодом данной функции. Задание №4. Докажите, что функция f(x) =  10х2–х+1 х2+х+1  не является  периодической. 14 10х2–х+1 х2+х+1 Уравнение   области = а, где а – некоторое фиксированное число, принадлежащее  значений функции f(x), приводится к виду:  х2(10 –а) – х(а + 1) +1 – а = 0. Отсюда ясно, что оно не может иметь более двух корней. Поэтому каждое своё значение  функция f(x) принимает не более чем в двух точках. Значит, она не является  периодической, в соответствии со свойством II. Задание №5. Докажите непериодичность функции f(x) = 2х х ¿ ¿ ¿ cos¿ ). Область определения данной функции – вся числовая прямая. Допустим противное:  функция  f(x) = 2х х ¿ ¿ ¿ cos¿ ) и Т >0 – её период. Так как f(x) определена на всей числовой  прямой и   |f(x)|  ≤ 2Т при х ∈[0;Т] , то по свойству: ( Если для периодической функции f(x)   выполнено неравенство  |f(x)|   с периодом Т на некотором промежутке  ≤ М, то это неравенство выполняется и для любого значения переменной х) при любом [а;а+Т] х ∈  R имеет место неравенство  х ¿ (¿2¿) 2хcos ¿ ¿ ¿  ≤ 2Т. Но это неравенство не выполняется  при х =  √2πn , если n такое, что  √2πn  > Т. Противоречие. Задание №6. Доказать  непериодичность  функции  f(x) =  coslogа|х| . Областью определения функции f(x) – вся числовая прямая, кроме х = 0,  т. е. D(f) = ( −∞;0¿∪  (0;  ∞ ). Если бы f(x) была периодическая с периодом Т > 0, то,  так как Т ∈D(f),  по определению  периодической функции следовало бы заключить 0 =  Т ­ Т ∈D(f),  что неверно. 15 Задание №7. Докажите, что функция f(x) =  sin√|х|  не является периодической. Предположим противное – данная функция имеет период Т, возьмём положительное  значение х, удовлетворяющее условию  sin√х  =1. Тогда  sin√х+Т  =  sin√х  =1,  значит,  √х+Т  ­  √х  = 2 π n, n ∈N. Очевидно, что  √х+Т   ≥   √х  ,  поэтому  √х+Т   ≥   2π  + √х . В обеих частях неравенства стоят положительные  числа, и мы можем возвести обе части этого неравенства в квадрат.В результате получим: х+Т  ≥ 4 π2 Получим противоречие, т. к. число  √х можно выбрать как угодно большим, т. е. таким,  чтобы последнее неравенство не было выполнено для фиксированного числа Т.  + 4  π√х  +х, или Т  ≥  4 π2  + 4  π√х.   3. О сумме периодических функций. В разных пособиях для учащихся приводится много поучительных примеров, связанных с  периодическими функциями. При этом к каждой функции применяют особый подход  (индивидуальный).  И  у некоторых школьников  часто возникают следующие вопросы (общего характера). 1.Каким может быть период суммы периодических функций с заданными  периодами? 2. Может ли сумма двух непрерывных периодических функций с несоизмеримыми  периодами быть функцией периодической? Приведём для этого предварительные сведения Напомним, что функция f называется периодической, если для некоторого числа T ≠0   при любом x из области определения D(f) числа x+T и x – T принадлежат D( f) и  выполняется равенство f (x+T ) =  f( x) = f ( x – T). При этом число T  называют периодом  функции. Наименьший положительный период функции (если, конечно, он существует)  будем называть основным периодом. Теорема 1. Если у функции есть основной период T0 , то любой период функции имеет вид n•T0, где n ≠ 0, n ∈ Z. Доказательство. Действительно, если T период  данной функции не кратен основному  периоду, то найдётся такое целое число, что число  k, что kT0  ¿ T ¿  (k+1)T0.  Легко  проверить, что число  T – k T0  будет при этом положительным периодом, меньшим основного – противоречие. 16 Теорема 2 (без доказательства) Если у непостоянной периодической функции нет  основного периода, то у неё есть  периоды, сколь угодно близкие к любому наперёд заданному числу.   Теорема 3 (без доказательства) Если у непостоянной периодической функции нет  основного периода, то она разрывная  во всех точках своей области определения Из теоремы 1 следует, что у функции, имеющей основной период, любые два периода  соизмеримы. Классическим примером функции, не имеющей наименьшего периода, является функция  Дирихле, равная 1 в рациональных точках и нулю в иррациональных. Любое рациональное  число, отличное от нуля, является периодом функции Дирихле, а любое иррациональное  число не является её периодом. Здесь два периода несоизмеримы.  4. Период суммы функций с соизмеримыми периодами. Теорема 4 (без доказательства) Пусть f и g ­ периодические функции  с основными периодами mT0  и nT0 , где m и  n –  взаимно простые числа. Тогда основной период их суммы (если он существует) равен mnT k ,  где k  ­ натуральное число, взаимно простое с числом  mn. Теорема 5 (без доказательства, рассмотрим на примере) Пусть m, n и k  ­ попарно взаимно простые числа, а  T0­ положительное число. Тогда  существуют  такие периодические дроби f g что основные периоды f, g и f + g равны  соответственно  mT0,  nT0  и   (mnT0 :  k1 )     mnT0 k1 . Приведём утверждение. Пусть m и  n взаимно простые числа. Тогда функции m  +  cos x f1( x) =  cos x число  2πmn . n    и  f2( x) =  cos x m  ­  cos x n   имеют основным периодом  Теперь построим для теоремы 5  ­ пример. 17 1) Пусть m, n и k  ­ попарно взаимно простые числа и хотя бы одно из них n или  k отлично  от 1. Тогда n ≠  k и в силу приведённого утверждения, функции f( x) =  cos x k   имеют периоды   2π mk и m  +  cos x k    и  g( x) =  cos x n  ­  cos x 2π nk соответственно, а у их суммы h (x) = f (x) +g (x) =  cos x период равен  2π mn. m+cos x n основной  = k = 1, то подойдёт пара функций f( x) = 2 cos x m  +  cosx   и g( x) = 2) Если n cosx . Их основные периоды, а также период функции h (x) = 2 cos x m ¿  +  cosx¿, как  легко проверить, равны соответственно  2πm,   2π ,  2 πm . Итак, для произвольных попарно взаимно простых чисел m,  n  и k  указаны функции f  и g  такие, что основные периоды функций f , g и f+g  равны соответственно  mT ,  nT   и mnT k ,  где T = 2 πk.  Условию теоремы  удовлетворяют функции f ( Тх Т0 ¿   и g Тх Т0 ¿  ) .   Период суммы функций с несоизмеримыми периодами (будет рассматриваться в  дальнейшем отдельно). Приведём поучительные примеры. 5. Нахождение периодов тригонометрических функций. Примеры рассматривались на  кружке в гимназии №5. Памятка 1. Для нахождения периода тригонометрической функции, состоящей из суммы  простейших тригонометрических функций, надо найти период каждого из слагаемых. 2. Затем привести к общему знаменателю оба периода (или несколько). 3. Найти НОК числителей (приведённых дробей к общему знаменателю). 18 4. Разделить НОК на общий знаменатель (т. е.  НОК НОЗ  ). П­1 Найти период функции: y= sin3x  + cos5x 2π 3 ;  T2 = 1) T1 = T1=10π 15 ; T2 = 2π 5 ;   2) НОЗ(3;5)=15 ­ знаменатель 6π 15 ; 3) НОК(10 π;6π )= 30 π . 4) T = 30π 15 =2 π .  Ответ:  2 π. П­2  y=2  cos4x ; T=  2π 4  = π 2 .  П – 3 y= 3 (sinπx+3) ; T = 2π π =2. П – 4  y =  sinx 5  ;  T = 2π 1 5  = 10 π. П – 5.  Найти период функции: y =  cos12x  +  tg4x , 2π 12  =  1)  T1 = (2 π  ; 3 π ) = 6 π ; π 6 ;  T2 =  π 4 ;  2)  НОЗ (6, 4) = 12 .T1 = 2π 12 ;  2)  T2 =  3π 12 ;  3) НОК 6π 12  =  π 2 .  Ответ:  π 2 . 4) T = П ­6  Найти период функции: y = 15 sin212x  + 15 sin215x . y = 15   ∙1−cos 24x  + 12   ∙1−cos 30x 2 2 15 2  (1 ­  cos24x ) + 6 (1 ­  cos30x ) y =  19 1)  T1 = 2π 24  =  π 12 ;  T2 =  π 15 ;  2)  НОЗ (12, 15) = 60. T1 = 5π 60 ; T2 =  4π 60 ; 3) НОК (5 π  ; 4 π ) = 20 π ;  4) T = 20π 60  =  π 3 .  Ответ:  π 3 . 6. Период суммы функций с несоизмеримыми периодами. Теорема 6 Пусть f и g ­ периодические функции  с несоизмеримыми  основными периодами T1  и T2,  а сумма этих функций h=f+g периодична и имеет основной период T.Тогда число T  несоизмеримо ни с T1, ни  с T2. Доказательство. С одной стороны, если числа Т и Т1 соизмеримы, функция g=h – f имеет  период, соизмеримый с Т1. С другой стороны, в силу теоремы 1 любой период функции g  кратен числуТ2. Получаем противоречие с несоизмеримостью чиселТ1 и Т2.Несоизмеримость Т и Т2  доказывается аналогично. Замечательным и даже в некотором роде удивительным является тот факт, что  справедливо и утверждение, обратное теореме 6. В школьной (и не только в школьной)  среде широко распространено заблуждение о том, что сумма двух периодических функций  с несоизмеримыми периодами не может быть функцией периодической. На самом же деле  это не так. Более того, период суммы может быть любым положительным числом,  удовлетворяющим утверждению теоремы 6. Теорема 7. Пусть Т1, Т2 и Т – попарно несоизмеримые положительные числа. Тогда  существуют такие периодические функции f  и g, что их сумма h=f+g периодична, а  основные периоды функций f,  g  и h равны соответственно Т1, Т2 и Т (в приведённых  примерах f и g – разрывны; см. «Математика в школе»­№3, 2002г. стр. 71­72). Теорема 8. Если две функции не имеют соизмеримых периодов и каждая из них достигает  наименьшего значения и непрерывна хотя бы в одной из точек минимума, то сумма не  является периодической функцией.   Следствие 1. Если две непрерывные функции не имеют соизмеримых периодов, то их  сумма не является периодической функцией. Следствие 2. Произведение двух непрерывных непостоянных положительных  периодических  функций с несоизмеримыми периодами является непериодической. 7. Схема анализа внеклассного урока с применением рейтинг – контроля. Коллоквиум по парадигме: периодичность.   Пропедевтика и  дальнейшее развитие  понятия периодичности.       Из 11 свойств функций, которые на том или ином уровнях строгости изучаются в  20 различных разделах школьного курса математики, мы с учащимися решили для изучения  (на кружке)  выбрать  свойство периодичности. Правда, мои выпускники в 2016 году уже  поступили в технические вузы. Конечно, приобретённые  навыки  им помогут установить  связь, как говорит  В. Н. Дятлов,  между школьными знаниями и простейшим, изучаемым в  вузе материалом.  Цели  и  задачи урока: • формирование у обучающихся представлений о  периодичности  функции; • развитие логического мышления, математической грамотной речи, умения точно излагать  свою мысль; • воспитание добросовестного отношения к учебе, чувства  ответственности за  качественное выполнение заданий.  Расширять кругозор учащихся через сообщения и их презентации по данной теме. Подготовительные условия: 1) отработать достаточно понятия периодичности и непериодичности в пропедевтическом  плане на наглядно­интуитивном уровне; 2) приучать школьников к тому, что геометрическая иллюстрация (график) есть лишь  модель определения и не заменяет самого определения, чтобы понимали смысл  записи: f (x +T) = f(x) = f(x ­ Т).  Предметные цели. Ввести понятие периода в жизни и в математике (периодической функции как  периодически сменяющихся циклических явлений в природе) и изучить свойства  периодических и непериодических функций. Систематизировать знания учащихся по теме “Периодичность функций”  и             рассмотреть примеры, формируя навыки применения свойств периодической функции для  нахождения наименьшего положительного периода функции. Показать построение графика периодической функции по её  частям.  Научиться  находить значения периодической функции в любой точке, зная период  и  значение функции в одной точке. Задачи: • Организовать решение устных и письменных задач, построение графиков, выполнение  самостоятельной работы. Провести эстафету – «Найди ошибку». • Развивать умения моделирования, навыки сравнения, аналогии, выбора ответов,  чертёжные навыки путем построения графиков функций. Формировать УУД и  содействовать повышению интереса к изучению математики. Планируемые результаты    использовать понятие периодичности при решении задач из практики; анализировать и осмысливать текст задачи, переформулировать условие, извлекать  необходимую информацию;  моделировать условие задачи с помощью графиков; 21      строить логическую цепочку рассуждений, искать и выбирать пути решения задачи – проблемы; осуществлять самоконтроль, проверять ответ задачи на соответствие условию; приводить примеры использования периодичности на практике; осуществлять поиск информации, содержащей данные по периодичности,  интерпретировать их; использовать свои знания по теме в других исследованиях, связанных с  периодичностью. Обратить внимание на  то, что эти знания в дальнейшем могут  быть полезны и в других науках и областях. Планируемые умения.  После изучения этой темы учащиеся должны уметь самостоятельно пополнять и   систематизировать свои знания; строить графики; знать приемы сравнения,  обобщения, уметь делать выводы, приводить  примеры периодических  функций. Описание урока.  1. Данный урок – это компетентностно – ориентированный урок (в форме коллоквиума)  самостоятельного изучения материалов по теме периодичность.   На внеклассном уроке использовалась  обучающая программа «Современный учебно­ методический комплекс «Алгебра и начала анализа, итоговая аттестация выпускников».  Такой урок готовит учащихся к самостоятельной работе, к контрольной работе, а также  урок является одним из этапов подготовки учеников к ЕГЭ по математике. 2. На уроке применялись методы взаимоконтроля, метод переноса знаний в проблемную  ситуацию, метод проектов, метод критического мышления, метод оценивания рейтинг­ контролем.  3. На этапе «Постановка парадигмы урока и мотивация учебной деятельности  учащихся» использовались методы стимулирования и мотивации учения, включающие  упражнения, стимулирующие интерес к учению, формирование обязательности,  ответственности, точности и аккуратности (учащиеся показывали графики и рисунки с  орнаментами периодических функций). 4. На этапе «Воспроизведение и актуализация опорных знаний и умений учащихся»  пользовались методами: вопросно­ответный, наглядный. Достигалась проверка основных  правил, умения объяснять их сущность, аргументировать свои суждения. При этом  использовалась транзитивная,  фронтальная и индивидуальная формы  работы (доклады,  сообщения, презентации). 5. На этапе  «Практическая деятельность учащихся» ­ отрабатывались умения,  усваивались новые знания и способы действия. Под руководством преподавателя  достигалось совершенствование учебного процесса, используя частично­поисковый метод  (самостоятельно составленные  упражнения репродуктивного, конструктивного и  творческого характера).  22 6. На этапе «Осуществление коррекции знаний» использовались следующие методы:  дифференцированная работа, самоконтроль, самооценка и работа в группах.  Проводился зачёт «три С»  ­ сильные, слабые и средние». Решали средние и слабые,  проверяли сильные. Виды с­работ: воспроизводящие, констатирующие, логически­ поисковые . 7. На этапе «Подведение итогов» использовался рейтинг­контроль. 8.  Рефлексия. Символические отметки – в методлистах. Выбранные методы обучения и  способы управления учебной деятельностью способствовали достижению целей и  соответствовали уровню обученности учащихся. Считаю, что на уроке соблюдались  основные условия конструирования современного урока. (Рейтинг­контроль разобран  подробно в моей методичке). 9. Слово учителя о деятельности. 1. На коллоквиуме понятия и свойства периодичности и непериодичности изучены,  отработаны, считаем  достаточно  (в профильных пределах обязательных результатов  обучения). 2. Знания по теме обобщены, систематизированы и применены на практических примерах.        10. Примеры. I .  Выводы 1. Изучены свойства периодических и непериодических функций, приведены  примеры на нахождение периодов суммы тригонометрических функций. 2. Рассмотрены функции с соизмеримыми и несоизмеримыми периодами. 3. Разобраны различные способы нахождения периодов функций, а также два пути  разбора доказательств непериодичности функций. 4. Приведена схема анализа конструирования технологической карты внеклассного  урока.  Рассмотренный в работе по периодичности материал может быть применён на  компетентностно­ориентированных уроках и при подготовке к ЕГЭ  (по  разделу   «Функции и графики») для дальнейшего развития УУД учащихся. 6. Непрерывность. 23 Заметим, что свойство непрерывности функции в точке или на промежутке абсолютно  понятно на наглядно­интуитивном уровне (график представляет собой сплошную линию).  Поэтому вполне оправданно использование термина «непрерывность» как синонима  термина «сплошной график», начиная с линейной функции в 7­м классе. При изучении  кусочных функций и функции y=  k x  появятся первые упоминания о точках разрыва.   Постепенно накапливающаяся информация готовит учащихся к восприятию основного  результата математического анализа – о непрерывности любой элементарной функции во  всех точках её области определения. Что же касается формального определения  непрерывной функции  , то вводить его в 10­м классе можно лишь при  f(x)=f(a) ¿ lim n→∞ ¿ выполнении трёх условий. 1) Если понятие непрерывности достаточно надёжно отработано в пропедевтическом плане на наглядно­интуитивном уровне; 2) если учитель постоянно приучает школьников к тому, что геометрическая иллюстрация  есть лишь модель определения и не заменяет самого определения; 3) если учитель включает в программу 10­го класса тему «Понятие предела функции».   Остальные свойства: выпуклость, ограниченность, экстремумы, наибольшее и наименьшее  значения и асимптоты графика функции продолжим исследовать поэтапно в этом же  долгосрочном проекте. Практикум. Блок упражнений и задач для подготовки к единому экзамену (9­10­11классы)      В обычной школе учащиеся лишь знакомятся с элементами математического анализа –  времени на изучение нет. Они просто зазубривают производные элементарных функций,  правила нахождения промежутков возрастания функции, экстремумов и площадей  элементарных фигур. В специализированных классах изучение более глубокое, но тонкости могут остаться непонятыми. Поэтому остановимся на заданиях, связанных с  исследованием функций. Область определения функции. Множество значений функции.      Задать функцию – это значит задать некоторое множествоX  ∈  R и закон, или  правилоr f, по которому каждому x  ∈X ставится в соответствие действительное число,  которое часто обозначают буквой у и записывают у= f(x). Множество X называется  областью определения функции и обозначается D(y) или D(f). Такие элементарные функции, как Pn(x),  определены на всей числовой оси (т. е. X=R). Другие элементарные функции имеют меньшую область определения. 1. Дробь определена там, где знаменатель не равен нулю. 2. Корень чётной степени существует только из неотрицательных чисел. 3. Степень при произвольном действительном  α  определена для положительных чисел. 24 2n−1√x,   sinx,cosx,  аn, n ∈  N, 4. Логарифмы существуют только у положительных чисел. Большинство функций, с которыми приходится работать, являются сложными функциями.  Чтобы найти их область определения, необходимо решить некоторые неравенства.         По данному  блоку можно было бы составить полный и довольно длинный список  умений, необходимый для решения задач единого экзамена. В этот список войдут умения  находить область определения, множество значений функции, нули функции, промежутки  знакопостоянства, точки максимума и минимума и т. п. Но можно выделить два  обобщённых умения, связанных с исследованием свойств функций: а) уметь читать график функции и переводить его свойства с графического языка на  алгебраический (и наоборот); б) уметь работать с формулой, задающей функцию, обосновывая или проверяя наличие  указанных свойств. В подготовке к решению подобных заданий поможет таблица, в которой перечислены  свойства функций и дан их «перевод» на язык графиков. Таблица. Свойства функции Графическая интерпретация х         у Функция возрастает Функция убывает Функция чётная Функция нечётная Функция имеет точку  максимума х1. Найти. Функция имеет точку  минимума х2 Найти. С увеличением значений аргумента график функции «поднимается» вверх С увеличением значений  аргумента график функции «опускается» вниз График функции  симметричен относительно  оси Оу Графики  функций  симметричны относительно начала координат. Графический образ у= k x   имеет разрыв в точке х=0 В точке М с абсциссой х1  график функции имеет вид  горы (вершины) В точке F с абсциссой х2  график имеет вид  «впадины» 25 Функция принимает  положительные  (отрицательные) значения. График функции  расположен над осью Ох   (под осью Ох) Упражнения. Область определения функции. Пример – 1. Найти область определения функции  y =  х−3 3х+4−9  . Решение. Числитель и знаменатель дроби определены при всех действительных значениях х.  Поэтому найдём все значения х, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключим  их из множества действительных чисел. 3х+4 ­9 = 0; 3х+4 = 32; х+4=2; х= ­2. Итак, данная функция определена при всех значениях х, кроме ­2, т.е. верный ответ: ( −∞;−2¿∪(−2;+∞). Пример­2 Найти область определения функции у=  Решение По определению логарифма получаем 3­2х  ¿0, следовательно, 3 ¿2х, т.е. х  ¿  1,5. Ответ: (­ ∞;1,5¿ log0,5(3−2х) . Пример – 3 Функции заданы графиками. Указать область определения этих функций.        (х+4)+3 2  .                                                       Пример – 4 Указать область определения функции у=  √log1 Искомая область D(y) задаётся множеством  √log1  х  ∈¿−4;4¿¿ 2 (х+4)   ≥  ­3  ❑ ⇔   {х+4>0 х+4≤8❑ ⇔ 26 Пример – 5. Найти область определения функции у=  √52π−115∙5х−1−50 . Область D(y) задаётся неравенством 52х – 115  ∙  5х­1 – 50  ≥  0; (5х)2 ­ 23 ∙  (5х) – 50 ≥  0;   (5х – 25) ∙ (5х + 2)  ≥  0; 5х  ≥  52;  х  Область значений функции. . 2;+∞¿ ∈¿ [−5;5]    6√x ;  3)  h(x)=  lgx;   4) p(x)= 10x .  Ответ:№4 Пример – 6. Найти область значений функции f(x)= ­5  cosx . Ответ:  Пример – 7. Указать функцию, областью значений которой является промежуток (0; + ∞¿. 1) у=  sinх ; 2) g(x)=  Пример – 8 Найти множество значений функции y(x) =  Замечаем, что под знаком логарифма стоит квадратный трёхчлен, поэтому получим: f(x) = (x­1)  ∙  (5 – x)  ≡  ­ х2 + 6х – 5  ≡  ­(х­3)2 + 4 Отсюда следует, что ­  ∞0 Из найденной области определения следует, что х+2 ¿0  и х­4  ¿0 , |х+2|+|х−4| поэтому |х+2| +  |х−4|  =х+2­х+4  ≡  6, тогда  log2(|х+2|+|х−4| 6+4х−2х2≠1    ❑ 3 )   ≡ 1. 3 ⇔{ −1<х<3, х≠2±√14 2   ≡ 2 и 6+4х−2х¿ 2 ¿ log2¿ |х+2|+|х−4| ) 3 ¿ Поэтому в D(y), имеем: y(x)=  log6+4х−2х2(|х+2|+|х−4| )≡   3 ≡   2 х−¿ 8−(¿¿2) . log2¿ ¿ ¿ 1 ¿ 0<¿ 8 – (х – 2)2  ¿1 ,   1<¿ 8 – (х – 2)2 ≤8,  следовательно, −∞<¿    2 х−¿ 8−(¿¿2) ¿ ¿ log2¿ log2( , 28 0<¿    2 х−¿ 8−(¿¿2) ¿ ¿ log2¿  = 3.  ¿   { −∞