Проекты уроков сквозной программы «Элементы логики, статистики. Комбинаторика и теория вероятностей» в 5-ом классе

Проекты  уроков сквозной программы  «Элементы логики, статистики. Комбинаторика и теория вероятностей»  в 5­ом классе Тема 1 Перебор возможных вариантов (уроки 1­ 4) Урок 1. Комбинаторные задачи 1) Ознакомить обучающихся с содержанием курса комбинаторики; 2) Способствовать   формированию   первоначальных   навыков   решения   комбинаторных задач с помощью перебора возможных вариантов. Цель урока: I. II. Организационный момент. Новый материал. Ход урока. Обучающимся предлагается старинная задача «Волк, козел и капуста»:  Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козла и капусту. Лодка так мала, что в ней кроме крестьянина может поместиться или только волк, или только козел,  или только капуста.  Но если  оставить  волка  с  козлом,  то волк  его  съест,  а  если  оставить  козла  с капустой, то будет съедена капуста. Как быть крестьянину? Решение: Сначала нужно перевезти козла. Затем крестьянин возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег и там оставляет, но везет обратно на первый берег козла. Здесь он оставляет его и перевозит к волку капусту. А затем, возвращаясь, перевозит козла. Головоломки  типа этой задачи называются  комбинаторными.  В них требуется путем взаимной перестановки элементов расположить   их в соответствии с условием  задачи в определенном порядке. Сегодня мы приступаем к изучению нового раздела математики – комбинаторики. Определение обучающиеся записывают в тетрадь: Комбинаторика – это раздел математики, в котором исследуются  и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составляемой по заданным правилам. Исходное множество обычно считается конечным, состоящим из n различных элементов, либо из  n1 одинаковых  элементов первого типа, n2  ­ второго, ……..,   nк – к ­ го типа, при этом n1+ n2+ ……nк = n Примеры  1. Множество а, в, с, d, е  состоит из n=5 различных элементов (букв). 2. Множество 1,3,3,5,1,1,7,5,5,5, состоит из n1=3 цифр 1, n2=2 цифр 3, n3=4 цифр 5, n4=1 цифры 7, всего n = n1+ n2+ n3+ n4= 3+2+4+1 элементов, среди которых не все различны. Центральное   место   в   элементарной   комбинаторике   занимают   так   называемые перечислительные задачи. При их решении указывается метод перебора всех возможных вариантов   построения   комбинаций   того   или   иного   вида,   либо   определяется   число   то   и другое. Перечисление вариантов (полный перебор) осуществляется с помощью:  1) таблиц;  2) графов (деревьев). Этот метод решения комбинаторных задач мы рассмотрим позже; 3) задания алгоритма, обеспечивающего получение всех возможных вариантов. Для   простейших   комбинаторных   задач   формулы   для   подсчета   числа   возможных комбинаций получаются с помощью двух основных правил комбинаторики. Обучающиеся записывают в тетради: I. Правило   суммы  (правило   сложения).   Если   элемент   А   выбран   к1  способами,   а элемент   В   другими   к2  способами,   причем   выборы   А   и   В   являются   взаимно исключающими,   то   выбор   «либо   А,   либо   В»   может   быть   осуществлен   к1  +   к2 способами. Пример:   Из   множества   1,2,3,4,5,6,7   (n=7)  выбрать   четную   цифру   можно   к1=2 разными   способами   (2   или   4),   а   выбрать   разными   нечетную   цифру   к2=5 способами. Тогда выбор четной или нечетной цифры может быть осуществлен к1 + к2  = 2 + 5 = 7 различными способами. II. Правило произведения (правило умножения). Если элемент А может быть выбран к1   способами, и после каждого из таких выборов элемент В может быть выбран  к2 способами,  то выбор «А и В» может быть осуществлен   к1 * к2  способами.  : Сколькими способами можно из множества 1,2,3,4,5,6,7  (n=7) выбрать Пример   два   элемента   так,   чтобы   образовать   из   них   четное,   двухзначное   число   без повторения цифр? Решение: Сначала берем четную цифру, которую поставим в разряд единиц. Это можно сделать к1=2 способами (2 или 4); после этого выбираем цифру в разряд десятков к2=6 способов (любая из оставшихся цифр); всего можно составить к1 * к2  = 2*6=12 четных двухзначных чисел без повторения цифр. Обучающимся можно предложить назвать эти числа перед разбором решения по правилу произведения. Ответ: 12,32,42,52,52,72,             14,24,34,54,64,74. III. Закрепление изученного материала Решить задачи:  1. Сколько различных  трехзначных  чисел  без повторения  цифр можно составить  из цифр 1,2,3,4,5,6? Решение:  Считаем   элементами   исходного   множества   цифры   (n=6),   а   местами комбинации – разряды составляемого числа (m=3). Выбираем элементы на каждое место поочередно; всего можно составить 6*5*4=120 различных чисел. 2. Двое размещаются в пустом четырехместном купе; каждый выбирает себе место. Сколькими способами они могут это сделать? Решение:  Мест четыре. Элементами считаем двух пассажиров.  Удобнее выбирать места для элементов: для первого пассажира можно выбрать любое из четырех мест в купе;   а   для   второго   –   любое   из   трех   оставшихся,   всего   есть   4*3=12   вариантов выбора. IV.Подведение итогов     Вопросы:  С каким разделом математики мы познакомились?   Что является основой изучения комбинаторики?  Назовите основные правила комбинаторики. Прочтите их по тетради. V.  Домашнее задание. Определение комбинаторики, правила комбинаторики выучить наизусть. 1 уровень Решить задачу: Сколько есть четырехзначных чисел, в записи которых две цифры 1 и по одной цифре 2 и 3? Решение: В данном случае элементы – цифры (n=4), а места – разряды составляемого числа (m=4). Будем выбирать места для элементов 2 и 3, а два оставшихся места заполним единицами; общее число вариантов: 4*3*1=12. 2 уровень  Решить задачу 1 уровня  Составить и решить по одной задаче на правила сложения и произведения. Урок 2. Комбинаторные задачи 1. Закрепление теоретического материала;  2. Способствовать   совершенствованию   навыков   решения   комбинаторных   задач   по правилу произведения. Цель урока: I. Организационный момент. II. Актуализация знаний обучающихся      а) Теоретический опрос: Ход урока Дайте определение комбинаторики  Сформулируйте правила сложения и умножения, применяемые при решении   комбинаторных задач. б) Проверить решение домашней задачи (решение заготовлено на доске). 3. Собрать тетради на проверку у обучающихся, выполнивших задание 2 уровня. 4.   Фронтальная   работа   –   решение   задач   с   помощью   перебора   возможных   вариантов (устно). Полученные ответы записывают в заранее заготовленный квадрат (на доске), разделенный на 9 квадратиков, начиная с верхнего левого по горизонтали. а) Сколько двухбуквенных слов можно составить, используя буквы ы, т, в? Ответ: Два слова: ты, вы. б) В магазине продают кепки трех цветов: белые (б), красные (к) и синие (с). Кира и Лена покупают по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек? Перечислите их. Решение: Кира   и   Лена   могут   купить   кепки   одинаковых   цветов,   т.е.   возможен   выбор   с повторением. Порядок выбора также важен и должен учитываться, так как выбор пары  «белая  –  красная»   означает,  что  белая  –  Кире,   а  красная  –  Лене,   а  выбор «Красная – белая» означает, что красная – Кире, а белая – Лене. Организуем выбор из ряда белые (б), красные (к), синие (с) следующим образом. На   первое   место   выбираем   поочередно   один   из   цветов,   каждый   раз   начиная   с первого: бб    кб     сб бк    кк     ск бс    кс     сс цифры могут повторяться?  Ответ: Четыре числа. Ответ: 9 вариантов. в) Сколько двухзначных чисел можно записать с помощь цифр 8 и 9, в которых г) В урне 4 красных шарика и 3 синих. Наугад выбирают один шарик. Сколькими способами может быть осуществлен выбор красного или синего шарика? Ответ:  7 способов. Вопрос: Каким правилом пользовались при решении задачи? Ответ: Правило сложения. д) Сколько четырехзначных четных чисел, меньших 5200, можно составить из цифр 1,2,3,5, в которых цифры повторять не могут? Перечислите все варианты. Решение:  1352, 1532, 3152, 3512, 5132 Ответ: Пять вариантов е) Имеются помидоры (п), огурцы (о), лук (л). Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должны входить в равных долях 2 различных вида овощей? Ответ: 3 вида салатов. 1) п,о,                                                  2) п,л;                                                  3) о,л. ж) Ашот (А), Марат (М) и Сергей (С) могут занять 1­е, 2­е и 3­е призовые места в соревнованиях. Перечислить все возможные последовательности из имен мальчиков, где   порядковый   номер   в   последовательности   соответствует   занятому   мальчиком месту в соревнованиях. Подсчитать их количество. Решение: Способы расположения юношей на призовых местах будут отличаться только   порядком   их   расположения   (перестановки).   Сначала   выбираем   одного   на первое место, а двух других меняем местами, потом берем на первое место другого, и т.д.:   АМС             МАС            САМ  АСМ             МСА            СМА Ответ:  6 вариантов. з) Сколько подарочных наборов можно составить из одного предмета? Ответ: Один. и)   Перечислить   все   возможные   варианты   разложения   по   двум   вазам   одного яблока (я), одной груши (г), одного апельсина (а). Решение:   Переберем   варианты   заполнения   первой   вазы;   все,   что   останется, поместим во вторую. Номер варианта Первая ваза Вторая ваза Ответ: 8 вариантов. 1 ­ я, г, а 2 я г, а 3 г я, а 4 а я, г 5 я, г а 6 я, а г 7 г, а я 8 я, г, а ­ А теперь посмотрите внимательно на заполненный квадрат. 4 3 8 2 7 6 9 5 1 Вопрос: Что в нем особенного? Ответ:  Если   внимательно   присмотреться   к   цифрам   от   1   до   9,   расположенным   в клетках квадрата, то можно заметить следующую закономерность: сумма цифр в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же – 15. Такой   квадрат   и   все   квадраты,   обладающие   аналогичным   свойством,   получили название магических. Историческая справка Составлением магических квадратов увлекались еще несколько тысячелетий назад в Древнем Китае. Задачи на составление магических квадратов и аналогичных им получили название   комбинаторных.   Полного   описания   всех   возможных   магических   квадратов   не получено и до сего времени. Магических   квадратов   2*2   не   существует.   Квадрат   3*3   –   единственный   с увеличением   числа   клеток   квадрата   быстро   растет   количество   возможных   магических квадратов. Так, например, различных магических квадратов 4*4 уже 880, а для размера 5*5 их количество приближается к четверти миллиона.  Комбинаторные задачи возникали и в связи с такими играми,  как шашки, шахматы, домино, карты и т.д. Комбинаторика стала наукой лишь в  XVII  веке – в период, когда возникла теория вероятностей. Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646­1716), опубликовавший   в 1666 году работу «Об искусстве комбинаторики», в которой впервые появляется сам термин «комбинаторный».   Замечательные   достижения   в   области   комбинаторики   принадлежит крупнейшему швейцарскому математику XVIII века Леонарду Эйлеру (1707 – 1783). Комбинаторными   задачами   интересовались   и   математики,   занимавшиеся составлением   и   разгадыванием   шифров,   изучением   древних   письменностей.   Теперь комбинаторика   находит   приложения   во   многих   областях   науки:   в   биологии,   где   она применяется для изучения состава белков и ДНК, в химии, механике сложных сооружений и т.д. В 1970 – 1980 годах комбинаторика добилась новых успехов. В частности, было доказано, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета так, чтобы никакие две страны, имеющие общую границу, не были окрашены в один и тот же цвет. Прекрасным   наглядным   пособием   по   комбинаторике   служит   кубик   Рубика, изобретенный в 1975 году преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития   пространственного   воображения   у   студентов.   Существовали   даже   чемпионаты мира по скоростной сборке кубика Рубика. Лучшее время в 1982 году составило всего 22,95 секунды. III. Самостоятельная   работа   обучающего   характера   (с   оказанием   индивидуальной дифференцируемой помощи). В соревнованиях по футболу участвовало  12 команд. Каждая команда провела с каждой из остальных по одной игре на своем поле и по одной игре на поле соперника. Сколько всего игр было сыграно?  Вариант 1 Решение:  Порядок выбора  пары имеет  значение.  Для каждой  игры  принимающую команду   можно   выбрать   12   способами,   а   команду   гостей   11   способами;   по   правилу произведения общее количество игр равно 12*11=132 Ответ: 132 игры Вариант 2 При  встрече  8  человек   обменялись  рукопожатиями.  Сколько   всего  было  сделано рукопожатий?  Решение: Порядок выбора не имеет значения: если Иванов пожимает руку Петрову, то   одновременно   и   Петров   поджимает   руку   Иванову,   поэтому   общее   количество рукопожатий (пар) равно (7*8)/2=28 Ответ: 28 рукопожатий. IV. Подведение итогов V. Домашнее задание Решите задачу: Перечислить все трехзначные числа, в записи которых используются цифры 0,1 и 2, при условии, что: 1) все цифры в числах различны; 2) цифры в числах могут повторяться. Решение: На первом месте не может стоять ноль. 1. 2. Если  все   цифры  должны  быть   различны:  выбираем   первой   единицу;   на второе место можно выбрать одну из оставшихся цифр: 0 или 2; на третье место ставим последнюю   оставшуюся:   102;   120.   Аналогично   при   первой   двойке:   201;   210.   Всего получаем  4 разных числа. Если   цифры   в   числах   могут   повторяться,   то,   рассуждая   аналогично, получаем:              100    110    120  101   111     121   102   112     122                                                                                 200    210    220    201    211    221    202    212    222  Всего получаем 18 различных чисел. Ответ:    1) 4 числа;  2) 18 чисел Урок 3 Дерево возможных вариантов 1. Способствовать   формированию   первоначальных   навыков   решения   задач Цель урока: комбинаторики с помощью графов. 2. Ознакомить обучающихся с деревом вариантов как средстве организации полного перебора. Ход урока I. Организационный момент. II. Проверка домашнего задания III. Новый материал. Обучающимся предлагается задача: У Левы 2 конверта: обычный и авиа, и 3 марки: прямоугольная, квадратная и треугольная. Сколькими способами он может выбрать конверт и марку, чтобы отправить письмо? Решение: С помощью перебора возможных вариантов получаем ответ 6. Далее учитель предлагает удобный способ решения таких задач, при котором трудно пропустить какую­либо возможность – построение фигуры, состоящей из точек и отрезков, их соединяющих:  О Т К П Письмо  А Т К П Данная фигура в комбинаторике называется графом Граф – это конечная совокупность точек, называемых вершинами; некоторые из них соединены  друг  с  другом  отрезками,  называемыми  ребрами.   Типичным  примером   графа является   сеть железнодорожных дорог на географической карте (географическую карту необходимо   повесить   на   доску).   Кружочки   обозначают   станции     ­   вершины   графа,   а соединяющие их пути – ребра. Историческая справка Впервые   основы теории графов появились в работе Л. Эйлера, где он описывал решения головоломок и математических развлекательных задач. Широкое развитие теория графов получился с 50­х годов 20 века в связи со становлением кибернетики и развитием вычислительной техники. IV. Закрепление нового материала 1) Решите   задачу  с   помощью   графа   (на   доске   с   помощью   учителя):   Ужасные грабители Кнопка и скрепка решили украсть из сейфа золотой ключик Буратино. Для того, чтобы открыть замок входной двери, им нужно подобрать двухзначный код. Причем известно, что дверь запирает Буратино, который знает пока еще только 4 цифры: 1, 2, 3, 4.  Сколько вариантов  придется перебрать Кнопке и скрепке, чтобы проникнуть в дом? Решение:  1                                    1                        2 3 4 1 1 КОД 3 3 4 4 4 2 2 2 Вторая ячейка  Ответ: 16 вариантов. 3 1 2 3 4 2) Решите задачу самостоятельно с последующей проверкой на доске: В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник, а также четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель. Постройте дерево возможных вариантов. Решение: ОБЕДЫ Борщ Гуляш Котлеты Пельмени  Сосиски  Рассольник Гуляш Котлеты Пельмени Сосиски Ответ: 8 разных обедов из двух блюд. V. Подведение итогов VI. Домашнее задание. Определение графа наизусть знать. Решите задачу:  1 уровень  При   встрече   каждый   из   друзей   пожал   другому   руку   (каждый   пожал   каждому). Сколько рукопожатий было сделано, или друзей было четверо? Решение:  Построим  полный граф. 1                             2 3                            4  Ответ: Возможно 6 рукопожатий. 2 уровень Перечислить все возможные варианты обедов из трех блюд (одного первого,  одного второго и одного третьего блюда), если в меню столовой имеются два первых блюда: щи (щ) и борщ (б), три вторых блюда: рыба (р), гуляш (г) и плов (п); два третьих:  компот (к) и чай (ч). Решение: Нарисуем граф – дерево: Первое блюдо                                     блюдо                                     блюдо                                     обедов Второе Третье     Варианты     Компот Рыба Гуляш Плов Рыба Гуляш Рыба Чай Чай Компот Чай Компот Чай Компот Чай  Компот Чай Компот Чай Борщ Обеды Щи Б­Р­К         Щ­Р­К Б­Р­Ч         Щ­Р­Ч Б­Г­К         Щ­Г­К Б­Г­Ч         Щ­Г­Ч Б­П­К        Щ­П­К Б­П­Ч        Щ­П­Ч Ответ:  12 вариантов. Урок 4. Дерево возможных вариантов Цель урока 1. Способствовать   совершенствованию   навыков   решения комбинаторных задач с помощью графов I. Организационный момент II. Проверка домашнего задания Ход урока. III. Актуализация знаний обучающихся а) Устная работа. Что называется графом? По   окончании   деловой   встречи   специалисты   обменялись   визитными   карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько всего визитных карточек было роздано, если   во   встрече   участвовали:   1)   3   человека;   2)   4   человека?   Постройте   на   доске соответствующие графы. Решение:               1 a)                         3 ребра, 6 стрелок 2 3  Ответ: Передано 6 визитных карточек b)    1                        2          6 ребер, 12 стрелок    3                        4               Ответ: Передано 12 визитных карточек c)  Решение задачи: Руководство некоторой страны решило сделать свой государственный флаг таким: на одноцветном прямоугольном фоне в одном из углов помещается   круг   другого   цвета.   Цвета   решено   выбрать   из   трех   возможных:   красный, желтый, зеленый.  Сколько вариантов такого флага существует?   Сколько из них флагов с кругом в верхнем правом углу?  Сколько флагов не желтого прямоугольного фона?  Сколько красных флагов с кругами в нижних углах? Решение: 1) Дерево возможных вариантов флагов.      Красный                                         Желтый       Выбор цвета фона                        Зеленый                                                           ФЛАГИ   1  2   3   4                                         1     2   3  4     Выбор угла для круга                   1    2   3    4 Ж З  Ж З Ж З Ж З                      Ж З   Ж З  Ж З  Ж З Выбор  цвета                Ж З  Ж З Ж З  Ж З                                                                                                                                               круга  4 флага (на левом ответвлении половина вариантов) Всего возможно 24 разных вариантов флага. 2)  6 флагов (одна четвертая часть); 3) 16 флагов (левое и правое ответвления дерева); 4) Ответ:   1) дерево с тремя уровнями, 24 вариантами;               2)  6;                3)  16;               4)   4. IV. Проверочная работа    Вариант 1 1. Решите задачу, используя правило произведения: Сколько существует способов занять 1­е, 2­е и 3­е места на чемпионате по футболу, в котором участвуют 10 команд? Решение: На первое место можно поставить любую из 10 команд, на второе – любую из 9 оставшихся, на третье – любую из 8 оставшихся, на третье – любую из 8 оставшихся; по правилу произведения общее число способов равно 10*9*8=720 Ответ: 720 способов. 2. Маше на день рождения подарили три букета цветов: из роз (р), астр (а), и гвоздик (г).  В доме было две вазы: хрустальная (х) и керамическая (к). Маша пробовала установить каждый   букет   в   каждую   вазу.   Перечислить   все   полученные   сочетания   букета   с   вазой. Построить граф – дерево. Решение:                     Ваза                  Цветы Хрустальная ваза Варианты Керамическая ваза Полученные сочетания:          Х­Р                   К­Р Х­А                  К­А Х­Г                   К­Г Ответ:   6 сочетаний. Розы Астры Гвоздики  Розы Астры Гвоздики Вариант 2 1.Решите задачу, используя правило произведения:  У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы? Решение:   Юбку   можно выбрать 3 способами, после этого кофту – 5 способами; всего 3*5=15 различных комбинаций из юбок и кофт.  Ответ:  15 комбинаций. 2. В каждую из трех ваз: хрустальную (х), керамическую  (к) и стеклянную (с) – пробуют поставить по одному из двух имеющихся букетов цветов: из роз (р) и гвоздик (г). Перечислить все возможные варианты установки каждого букета в вазу. Построить граф – дерево. Решение:                                  Ваза                                 Цветы Розы Хрустальная ваза Варианты Керамическая ваза Стеклянная ваза Гвоздики Розы Гвоздики  Розы Гвоздики  Варианты установки букетов:           Х­Р         К­Р          С­Р           Х­Г         К­Г          С­Г Ответ:  6 вариантов. V. Домашнее задание. Придумать текст комбинаторной задачи и построить для ее условия граф – дерево. Тема 2 Случайные события (уроки 5­6) Урок 5. Возможные и невозможные события. 1. 2. Цель урока: Ознакомить обучающихся с понятием «случайное событие» и их видами (возможные и невозможные, достоверные); Способствовать   формированию   первоначальных   навыков решения комбинаторных задач по данной теме. Ход урока I. Анализ проверочной работы. II. Новый материал. Многие явления в природе, технике, экономике и в других областях носят случайный характер, то есть невозможно точно предсказать результаты того или иного эксперимента. Исследованием случайных событий и вероятностью их наступления занимается еще один раздел математики – теория вероятностей. Теория вероятностей – наука о вычислении вероятностей случайных событий. Примечание 1:       По ходу объяснения нового материала определения основных понятий обучающиеся   записывают   в   тетради   или   специально   заведенные словарики математических терминов. Интуитивное   понятие   вероятности   существовало   всегда.   Вспомните   русские пословицы: «Бабушке на двое сказала» (предполагается, что имеются два равновероятных исхода); «Семь раз отмерь – один раз отрежь» (предполагается, что при одном измерении имеется   вероятность   ошибиться).   В  этом   случае   решения   принимаются   на   интуитивном уровне – числовых оценок вероятности нет. Для решения многих встречающихся в жизни задач требуются численные значения тех или иных вероятностей. Первые   численные   оценки   вероятностей   были   получены   в   области   азартных   игр. Французский   математик   Пьер  Берма   (1601­1665),   французский   математик   Блез   Паскаль (1632­1662)   и   математик   Х.   Гюйгенс   (1629­1695)   ввели   понятия   вероятности   и математического ожидания в той или иной игре. Их формулы и расчеты помогали игрокам выигрывать. Их работы продолжили швейцарский математик Якоб Бернулли (1654­1705), английский математик Муавр (1667­1754), П.С. Лаплас (1769 – 1827), немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777­1855), С.Д. Пуассон (1781­1840). Большой вклад в развитие теории вероятности внесли такие русские ученые как В.Я. Буняковский (1804­1889) – первый в Росси курс по теории вероятностей, П.Л. Чебышев (1821­1889), А.А. Марков (1856­1922), А.М. Ляпунов (1857­1918), А.Я. Хинчин (1894­1959), А.Н. Колмогоров (1903­1987). Примечание 2.  Фамилии ученых – математиков целесообразно выписать на доску. Формулы и законы теории вероятностей нашли применение в вопросах страхования, строительстве   телефонных   станций,   вопросах   статистики   и   экономики.   Грамотное управление отраслями государства и крупных хозяйственных объектов также предполагает знание формул и законов теории вероятностей. Рассмотрим основные понятия теории вероятности. Событие – это результат опыта. Случайное   событие  –   событие,   которое   может   произойти   или   не   произойти   в результате эксперимента.  Достоверное событие – событие, которое в данном опыте произойти не может. Например, бросается игральная кость. События – выпадает значение, меньшее 10, ­ достоверное. Событие – выпадает значение 0 – невозможное. События – выпадает значение, меньшее или равное 5, или значение, большее 5 и меньшее или равно 10, равновероятные. Равновероятные (равновозможные) события  – события, шансы происхождения которых одинаковые. III. Закрепление нового материала. 1.Для каждого из описанных событий определите, каким оно является:  Из 25 обучающихся класса двое справляют день рождения 30 a. января; b. февраля; c. Из списка журнала 5­го класса случайно выбран один ученик, этому ученику больше Из 25 обучающихся класса двое справляют день рождения 30 двух лет; d. Бросается   игральный   кубик,   у   которого   2   грани   окрашены   в   красный   цвет,   а остальные – в желтый. События – «выпала желтая грань» и «выпала красная грань» Ответы:   Случайное,   оно   может   произойти,   а   может   и   не   произойти   (все   зависит   от состава группы из 25 обучающихся);  Невозможное, поскольку даты 30 февраля не существует;  Достоверное, так как каждый ученик 5­го класса старше двух лет;  Выпадение каждой из шести граней при бросании кубика равновозможно. Если 2 грани красные, а 4 грани желтые, то событие «выпала красная грань имеет меньше   шансов   появления,   чем   событие   «выпала   желтая   грань»   ­   события неравновозможные.  2.Перечислите все события, которые могут произойти в результате:  Подбрасывания 1 монеты;  Подбрасывания игрального кубика;  Из полной колоды карт вынимается одна карта. Ответы:    На верхней грани ­1, или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 (n=6);  Выпадает одна из 36 карт (n=36); «Герб» или «Решка» (n=2); IV. Подведение итогов Повторить   определения   основных   понятий,   придумать   собственные   примеры, характеризующие то или иное событие. V.Домашнее задание 1.Основные понятия теории вероятности наизусть. 2.Решить задачу: В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте следующие события:  Из мешка вынули 4 шара, и все они синие;  Из мешка вынули 4 шара, и все они красные;  Из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета. Решение:   Невозможное, так как в мешке только 3 синих шара;  Случайное может произойти, может и не произойти; Невозможное, так как в мешке лежат шары только трех разных цветов; Достоверное, так как в мешке нет шаров черного цвета.   Урок 6. Достоверные, невозможные и случайные события. Цель урока: 1. Способствовать   совершенствованию   навыков   в   определении   видов   событий   в конкретных условиях упражнений и задач; 2. Способствовать   формированию   нахождения   вероятности   случайных   событий   в простейший случаях. Ход урока I. II. Организационный момент Проверка  решения   домашней   задачи, повторение формулировок  основных понятий теории вероятности. Актуализация знаний обучающихся III. Проверочный тест с последующей проверкой (через копировальную бумагу) Охарактеризуйте события: 1. Бросают две игральные кости. На первый кости выпало 3 очка, а на второй – 5 очков. 2. Бросают две игральные кости. Сумма выпавших на двух костях очков равна 1. 3. Бросают две игральные кости. Сумма выпавших на двух костях очков равна 13. 4. Бросают две игральные кости. На обеих костях выпало по 3 очка. 5. Бросают две игральные кости. Сумма очков на двух костях меньше 15. 6. В мешке 36 шариков: 18 красного цвета и 18 синего цвета. События   ­ «Вынут шарик красного цвета» и «вынут шарик синего цвета».                Ответы:  а) Равновозможные;                                          б) Неравновозможные. 7. В мешке 99 бочонков (от 1 до 99). События – «вынут бочонок с четным числом» и «вынут бочонок с числом, оканчивающимся цифрой 0».                Ответы: а) Равновозможные;                                          б) Неравновозможные. Ответы к вопросам 1­5: а) Невозможное; б) Достоверное; в) Случайное. Ответы к тесту:1в, 2а, 3а, 4в, 5б, 6а, 7б IV. Формирование навыков и умений обучающихся. Вопросы:   1)Подбрасывают монету. Каков шанс (вероятность) выпадения орла при одном бросании. Ответ: ½. 2)Таня   забыла   последнюю   цифру   номера   телефона   подруги   и   набрала   ее наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей подруге? Ответ:   Из n событий (10 цифр) одно верное. Вероятность равна 1/10. 3) На   экзамене   25   билетов.   Какова   вероятность   того,   что   взятый   наугад учеником билет имеет однозначный номер? Ответ:   Число билетов  n=25. Билетов с однозначным номером 9 (одна цифра от 1 до 9). Вероятность равна 9/25. V. VI. Подведение итогов Домашнее задание 1 уровень  Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадает: 1) 1 очко; 2) более 3 очков? Решение:  Всего событий 6.  Выпадение 1 очка – 1 исход;  Вероятность равна 1/6;  Выпадение более 3 очков – 3 исхода (цифры 4,5,6). Вероятность равна 3/6. 2 уровень Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших на костях очков равно: 1)  5;  2)  12. Решение: Общее число исходов при бросании двух игральных костей  36: 1 и 1, 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 1 и 5, 1 и 6, 2 и 1, и т.д. 1) Произведение очков равно 5 – 2 исхода: 1 и 5, 5 и 1. Вероятность равна 2/36 2) Произведение равно 12 – 4 варианта: 2 и 6, 3 и 4, 4 и 3, 6 и 2. Вероятность равна 4/36. Тема 3.  Множества и комбинаторика (уроки 7­9) Урок 7. Множество. Элемент множества подмножество Цель урока: I. Сформулировать   на   интуитивном   уровне   начальные   понятия   о   множестве   и подмножестве. Ход урока I. II. III.  Организационный момент Проверка домашнего  задания. Совершенствование навыков и умений обучающихся. Обучающимся   предлагается   кодированные   упражнения:   полученные   ответы соответствуют определенной букве. В результате верного решения получается слово. 1. Перечислить   все   трехзначные   числа,   в   записи   которых встречаются только цифры 1 и 2. Сколько таких чисел?     Решение: 111, 112, 122, 211, 212, 221, 222.     Всего 8 чисел. 2. Сколько рукопожатий было сделано? Встретились   5   друзей.   Каждый   пожал   руку   каждому.                   1 5                                      2                                                                4                 3     В графе 10 ребер; возможно 10 рукопожатий. 3. В клетки квадратной таблицы 2*2 произвольно ставят крестики и нолики. Сколькими способами  можно заполнить эту таблицу?          Решение:  Для заполнения первой  клетки  есть 2 способа  (крестик  или  нолик);  для заполнения каждой последующей – тоже 2 способа; общее число способов заполнить таблицу по правилу произведения равно 2*2*2*2=16. 4. Из трех стаканов сока – ананасового (а), брусничного (б), виноградного (в) – Иван решил последовательно выпить два. Сколькими вариантами можно это сделать?      Решение: Возможны варианты: аб, ба, ва, ав, бв, вб. Всего 6 вариантов. 5. Двухзначное число составили из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что это число четное?          Решение:  В разряд десятков двухзначного числа можно поставить любую из данных цифр, кроме 0; всего 4 варианта. В разряд единиц можно поставить любую из 5 данных цифр. Получим n = 4*5=20 вариантов всего. Четное число оканчивается цифрой 0,2,4 – 3 варианта. При этом первая – любая, кроме 0. Вероятность равна 12/20. 6. Студент не выучил один билет при подготовке к экзамену из 25. Какова вероятность того, что ему достанется на экзамене невыученный билет? Ответ: 1/25. 7. На клумбе распустились цветы трех видов. Сколькими способами можно сделать букет из трех цветов, если цветов первого вида всего 7, второго вида ­4, третьего вида – 3?       Решение: По правилу произведения общее число способов  равно 7*4*3=84. 8. Сколько различных по комплектации парфюмерных наборов из двух предметов можно составить, если в наличии имеются одинаковые флаконы одеколона и одинаковые куски мыла? Решение: Возможны следующие варианты наборов: одеколон, одеколон;     одеколон, мыло; мыло, мыло. Всего 3 набора. 9. Сколькими способами можно выбрать из множества 7 синих, 3 желтых и 6 красных шаров синий, желтый или красный шар? Решение: По правилу суммы получим 7+3+6=16 способов. Вопрос: Какое слово получили в процессе решения задач? Ответы Соответствующая буква алфавита 16 О 4 А 1/25 С 20 Е 3 В 8 М 24/25 К 10 Н 94 Р 6 7 84 И Ж Т IV. Изучение нового материала. Получили слово «Множество». Давайте разберем, что в математике понимается под множеством. В обычной жизни мы употребляем это слово: множество людей, множество книг, множество денег и т.д. В   математике   –   это   одно   из   основных   понятий,   используемое   почти   во   всех   ее разделах. Множество – это совокупность, набор каких – либо предметов (объектов). Одним из создателей теории множеств был немецкий математик Георг Кантор (1845­1918). По его словам  «множество   есть   многое,   мыслимое  нами   как   единое».  Множества   обычно обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, С, ….  Предметы, составляющие множество, называются его элементами. Множество,   не   содержащее   ни   одного   элемента,   называется  пустым.  Примером пустого множества можно считать все слова, которые начинаются с мягкого знака.  Множества,  состоящие из конечного числа элементов, называются  конечными,  а остальные множества –  бесконечными.  Например, множество китов в океане конечно, а множество натуральных чисел бесконечно. Приведите примеры конечных и бесконечных множеств. Если А и В два множества, то запись А=В означает, что они состоят из одних и тех же   элементов.   Если   каждый   элемент   множества   А   является   в   то   же   время   элементом многочлена В, то говорят, что А – подмножество в В. Каждое непустое множество имеет по крайней мере два  подмножества: пустое множество и само множество А. Приведу примеры подмножеств: 1. Обучающиеся вашего класса есть подмножество всех учеников нашей школы; 2. Множество всех квадратов есть подмножество всех прямоугольников; 3. Множество всех кошек есть подмножество всех домашних животных. Приведите свои примеры подмножеств. V. Закрепление нового материала. 1. Назовите элементы множества натуральных чисел, делящихся на 10 и меньших 100.     Ответ: 10, 20, 30, 40 , 50, 60, 70, 80, 90. 2. Сколько элементов содержит множество натуральных двузначных чисел?       Ответ: 90. 3. Перечислите элементы подмножества двузначных натуральных чисел, делящихся на 20, множества всех натуральных двузначных чисел. Ответ: 20, 40, 60, 80. VI. Подведение итогов. VII. Домашнее задание. 1. Подготовить сообщение о Г. Канторе (устно или письменно). 2. Придумать примеры конечных, бесконечных множеств, подмножеств. Урок 8. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера. Ввести понятия объединения и пересечения множеств; Способствовать   формированию   навыков   и   умений   нахождения   и   пересечения Цель урока: множеств; Способствовать   формированию   навыков   решения   простейших   задач   с   помощью диаграмм Эйлера. Ход урока Организационный момент Актуализация знаний обучающихся. Фронтальный опрос:  1. ». 2. Что называется элементом множества? 3. Какие виды множеств вы знаете? Приведите примеры. 4. Что называется подмножеством? Приведите примеры. 5. Кто был одним из создателей теории множеств? 6. Послушать сообщение о немецком математике Г. Канторе. Изучение нового материала. Пример: Множество А: 1, 3, 4, 5. Множество В: 4, 5, 6, 7, 8. Множество С: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 1. 2. 3. IV. V. VI. Вопрос: Что вы можете сказать об элементах множества С? Ответ: Множество С содержит все элементы из множества А и все элементы из множества В.  Определение:  Объединением С множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А или множеству В. Элементы, одновременно принадлежащие множеству А и множеству В, зачисляются в   объединение   С   только   один   раз.   То   есть,   в   объединение   входят   все   элементы, принадлежащие   хотя   бы   одному   из   множеств.   Объединение   часто   называется   суммой. Объединение трех или более множеств определяется аналогично. 1) Приведу примеры:  Обозначим через А множество точек треугольника  МNК, а через В – множество точек треугольника РНО. Тогда их объединением будет множество точек фигуры, ограниченной жирной линией (учитель показывает на доске рисунок.                                                                                                             N                  Н                                                                                               М                                                                                               Р                                                   О 2) Пусть А – множество девочек вашего класса, а В – множество мальчиков вашего класса.  Тогда  объединением  множеств  А и В является  множество  всех  учеников вашего класса. Приведите свои примеры. Запишем множество Д: 4, 5. Вопрос: Что это за множество? Ответ: Оно содержит одинаковые элементы множеств А и В. Определение:  Пересечением С двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих множеств А и множеству В одновременно. Иными   словами,   пересечение   образовано   всеми   общими   элементами   данных множеств. Аналогично определяется пересечение трех или более множеств.  Приведу примеры: 1. Пусть А – множество мальчиков всей школы, В – множество учеников вашего класса. Тогда их пересечение будет множество мальчиков вашего класса.  2. Пересечением множества  всех натуральных  чисел и всех четырех чисел является множество четных чисел. Приведите свои примеры Пересечение и объединение множеств наглядно можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера. Диаграмма   Эйлера   –   это   замкнутая   линия.   Внутри   которой   расположены   элементы данного множества, а снаружи – элементы, не принадлежащие этому множеству. Например, нарисуем диаграммы Эйлера к предыдущей задаче (на доске). 1   3   А    6 7 8               В 1   3   А    6 7 8    В      Объединение                                                    Пересечение VII. Закрепление изученного материала. Чему   равны   объединение   и   пересечение   следующих   множеств?   Изобразите   их   с помощью диаграмм Эйлера. 1. Множество А: ½; 1/3; ¼; 1/5.      Множество В: 0,2; 0,63; 0,5; 0,72; 1. 2. Множество А: 10, 12, 20, 24, 30, 33. Множество В: числа, делящиеся на 3. 3. Множество А: домашние животные. Множество В: все животные. VIII. IX. Подведение итогов. Домашнее задание. Изобразить с помощью диаграммы Эйлера пересечение и объединение трех множеств А, В и С. Множество А: 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Множество В: ½; 1/3; ¼; 1/5. Множество С: 0,31; 0,50; 0,63; 0,75. Урок 9. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера. 1. Способствовать совершенствованию нахождения объединений и  пересечений Цель урока: данных  множеств. I. II. Проверка домашнего задания. III. Актуализация знаний обучающихся. Ход урока   Организационный момент 1. Что называется пересечением двух множеств? 2. Что называется объединением двух  множеств? 3. Дайте определение понятию «диаграмма Эйлера». 4. Придумайте   множества   А,   В,   С,   пересечением   которых   является   множество состоящее из чисел 15, 100, 2. 5. Что является объединением следующих множеств? А – множество натуральных чисел; В – множество четных чисел; С – множество чисел, кратных 3. IV. Решение задач (самостоятельно с последующей проверкой).  1. Чему равно пересечение множеств А и В? Множество А – все птицы, множество В – домашние птицы, множество С: ворона, курица, дятел, сорока, индюк.  2. Чему равно объединение множеств, состоящих из корней следующих уравнений: а) 2х + 4х – 15 = 45; б) 2 (х – 6) + 21 = 15. 3. Найдите пересечение множеств А и В. Множество А: 10, 12, 16, 18, 20. Множество В: корни уравнения – 15 *(2х – 10) – 20 = 40 Ответ: пустое множество. V. Подведение итогов VI. Домашнее задание. Составить кроссворд из понятий, входящих в изучение темы: «Элементы комбинаторики, логики и теории вероятностей».   Урок 10. Повторительно­обобщающий урок по теме: «Элементы комбинаторики, логики и теории вероятностей». Обобщить и систематизировать знания и умения по данной теме; Способствовать развитию смекалки, логического мышления. Цель урока: 1. 2. I. Организационный момент II. Собрать домашнее задания для проверки. Ход урока. III. Актуализация знаний обучающихся На доске записана одна из основных формул, которую должен знать и помнить каждый ученик. Хотите   ее знать? Первый множитель вы узнаете, если разгадаете кроссворд. Это слово получится в выделенной строчке. По вертикали:  1. Раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного  множества  и  расположения   их  в некоторой  комбинации,  составляемой   по заданным правилам.  2. Исход в эксперименте, обладающий заранее указанным свойством. 3. Событие, которое может произойти,  а может не произойти. 4. Событие, которое обязательно происходит при каждом проведении эксперимента. 5. Одно из основных правил комбинаторики. 6. Одно из основных правил комбинаторики. 7. Решите задачу: Сколько среди двузначных чисел, составленных из цифр 1, 3, 5, 7, 9 – кратных 5? 8. Совокупность, набор каких – либо предметов. 9. Множество, в котором нет ни одного элемента.  10.   Множество,   состоящее   из   элементов,   принадлежащих   множеств   А   и   множеству   В одновременно. 1 6  5 10 8 4 9 11 2 3 7 Итак, первое слово в неизвестной формуле – способности (3 по горизонтали). IV. Дидактическая игра (дифференцированная) Класс делится на три группы по трем   уровням знаний. Каждой группе предлагается карточка математического лото. Группа решает задачи (на карточках), ответ накладывают на карточку лото, на обратной стороне квадратика с ответом соответствующая буква. В результате получается слово. Задания записаны на карточке лото. 1 уровень Определите, каким является событие?  Появление 17 очков при  бросании трех игральных  костей В пустыне Сахара  температура воздуха – 320С  ниже нуля Выплата 10 рублей четырьмя купюрами В одном килограмме  1000  граммов При бросании монеты «герб» или «решка» Из 15 шаров в мешке вынули  наугад один. События –  «вынут шар с четным  числом» и «вынут шар с  числом, меньшим 5» а е и з н Достоверные  Неравновозможные  Равновозможные  Случайное Невозможное 2 уровень В ателье на выбор 5  пар брюк, 6  камзолов, 3 шляпы, 2 пары сапог. Сколько  различных  карнавальных  костюмов можно  составить из этих  предметов? Сколько подарочных наборов можно  составить из двух  предметов: одной  вазы и одной ветки  сирени? На плоскости 10  точек, никакие три из них не лежат на  одной прямой. Три  покрасили в рыжий  цвет, три – в черный.  Сколько можно  провести отрезков с  рыжими концами? Сколькими  способами Петя и  Вова могут занять 2  места за одной  двухместной партой? Сколько различных  правильных фраз  можно составить,  изменяя порядок  слов в предложении  «Я пошел гулять?» Имеются 3 предмета: карандаш, тетрадь и  линейка. Сколькими  способами из этих  принадлежностей  можно выбрать одни  предмет?  Сколькими  способами могут  быть заняты 1­е, 2­е,  3­е места на  соревнованиях, в  которых участвовало 5 человек (по одному человеку на место)?  У жителей планеты х три буквы: А, О, Х.  Слова состоят не  более чем из трех  букв (буква в слове  может повторяться).  Какое наибольшее  количество слов  может быть в  словаре жителей  этой планеты? Т 180 Р 60 И 39 Н 2 Е 3 П 6 3 уровень С помощью  цифр 8 и 9  записать все  возможные  двузначные  числа, в  которых  цифры могут  повторяться.  Сколько таких чисел  получилось? Перечислить  все  двузначные  числа, в  записи  которых  используются  только  цифры 8, 9 и 0, если  цифры в  числах   могут повторяться.  Сколько таких чисел  получилось? Сколько  двузначных чисел  можно  составить  из цифр 2,  3, 4, если  одинаковых цифр в  числах не  должно  быть? В двух урнах  находятся по  пять шаров 5  различных  цветов: белого,  синего,  красного,  желтого,  зеленого. Из  каждой урны  одновременно  вынимают по  одному шару.  Охарактеризуйте событие –  вынуты 2 шара,  причем каждый  оказался  окрашенным в  один из  В двух урнах  находятся по  пять шаров 5  различных  цветов:  белого, синего, красного,  желтого,  зеленого. Из  каждой урны  одновременно  вынимают по  одному шару.  Охарактеризу йте событие –  вынуты  черный и  белый шары. Охарактери зуйте  события.  Вы открыли книгу на  любой  страницы и  прочитали  первое  попавшееся существите льное.  Оказалось,  что в  написание  выбранного слова есть  гласная  буква. Охаракте ризуйте  события.  Вы  открыли  книгу на  любой  страницы  и  прочитал и первое  попавшее ся  существи тельное.  Оказалось , что в  написании выбранно го слова следующих  цветов: белый,  синий, красный,  желтый, зеленый Из коробки  содержащей 8  мелков  различных  цветов, Гена и  Таня берут по  одному мелку.  Сколько  существует  различных  вариантов  такого выбора  двух мелков?  Сколько  существует  различных  двузначных  чисел, записи  которых  можно  использовать  цифры 1, 2, 3,  4, 5, 6, если  цифры в числе должны быть  различными?  Сколькими  способами  могут  встать в  очередь в  билетную  кассу 3  человека?   Сколько  трехзначны х чисел  можно  составить  из цифр 0,  1, 2, если  все цифры  в числах  различны?  есть  мягкий  знак? Брошены  две  игральные кости.  Какова  вероятнос ть того,  что на  обеих  костях  6не  выпало  два  одинаков ых числа  очков? Какова  вероятность  того, что при  одном  бросании  игральной  кости  выпадает не 6  очков? Мама решила  сварить  компот из  фруктов двух  видов.  Сколько  различных  (по сочетанию  видов  фруктов)  вариантов  компотов  может сварить мама, если у  неё имеется 7  видов  фруктов? Е Случайное С 4 Л 21 Т 6 О 30 А Достоверной Ь 5/6 Н 56 Р Невозможное V. Подведение итогов  Итак,   получились   следующие   слова:   знания,   старательность   и   терпение.   Прочные знания   –   это   результат   произведения   способностей,   старательности   и   терпения.   Но   в математике   есть   еще   одно  правило:   если   хотя  бы   один   из   множителей   равен   0,   то   все произведение равно 0. Сегодня на уроке вы доказали, что у вас есть способности, которые необходимо развивать дальше, старательность и терпение. Я надеюсь, что и после изучения этой темы вы овладели прочными знаниями. Приложение к уроку 8 Из автобиографии Георга Кантора Георг   Кантор  –   один   из   величайших   математиков   нового   времени. Созданием   теории   множеств   он   во   многом   определил   лицо   современной математики.  Георг   Кантор   родился   2   марта   1845   года   в   Петербурге   в   семье немецкого коммерсанта, который занимался экспортом товаров из России в Германию. Мать Кантора М. Бём происходило из семьи известных венских музыкантов.   Отмечают,   что   музыкальная   культура   с   детства   оказала влияние на формирование личности будущего ученого. Семья Кантора была тесно  связана  с Россией:  здесь   проживали многие   их  родственники.   Дядя матери,   известный   прогрессивный   юрист   Димитрий   Мейер,   был профессором Казанского университета. Начальную школу Кантор посещал ещё   в   Петербурге.   Затем   семья   возвращается   в   Германию,   в   западный немецкий   город   Дармштадт,   где   мальчик   оканчивает   реальное   училище, получив как в школе, так и дома прекрасное и очень широкое образование: он   владел   несколькими   иностранными   языками,   был   замечательным знатоком древних языков – латыни и греческого. Знание языков открыло ему доступ   к   трудам   мыслителей   прошлого   –   классической   античности   и средневековья.   Это   обстоятельство   сыграло   немало   важную   роль   при становлении теории множеств: Г. Кантор был знаком со всеми тонкостями в рассуждениях о понятии бесконечности в трудах математиков и философов прошлых веков. Математике Кантор учился в 60­х годах в Берлинском университете под руководством знаменитого аналитика К. Вейерштрасса (1815­1897). Это была эпоха критического переосмысления начал анализа бесконечно малых. Под грозными ударами критики основ математического анализа в трудах К. Вейерштрасса   и   Р.   Дедекинда   (1831­1916)   началась   перестройка   всей математической   науки,   приобретшей   постепенно   своё   современное   лицо. Созданием   теории   множеств   Г.   Кантор   внёс   сюда,   возможно,   самый существенный вклад.