Разработка урока на тему: " Тригонометрически уравнения"

Урок по теме:       «Решение тригонометрических уравнений» Преподаватель  математики   ГБОУ СПО «НГТ»  Иванникова Елена Станиславовна Тип урока    :   урок повторения и обобщения знаний, закрепления умений. Цели  урока: 1) образовательные – сформировать у студентов  умение различать   тригонометрические уравнения по способам решения, отработать навыки решения  всех видов тригонометрических уравнений;         2) развивающие – развивать умения работать с книгой, самостоятельно  добывать знания; развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у  студентов  знания в изменённой ситуации; развивать логическое мышление, умение  делать выводы и обобщение; 3) воспитательные – воспитывать трудолюбие, умение общаться со своими  сверстниками в процессе работы в парах, аккуратность, культуру поведения,  чувство ответственности. Задачи урока: 1)Организовать деятельность студентов по обобщению знаний и способов  деятельности при закреплении умения решать тригонометрические уравнения. 2) Вызвать интерес  к занятию, придать ему проблемно­творческий характер, что  отвечает личностным интересам и потребности студентов. 3) Развить у студентов потребность в творческой деятельности, в самовыражении  через различные виды работы. Оборудование урока: презентация,   доска, карточки;  чистые листы для  самостоятельной работы; таблицы по тригонометрии: а) значения тригонометрических функций; б) решение простых тригонометрических уравнений (частные случаи); в) основные формулы тригонометрии; ПЛАН УРОКА: 1. Орг. момент. 2. Устная работа.      3.Решение уравнений с дополнительными заданиями.      4.Физкультминутка 3. Домашнее задание. 4. Итог урока. ОРГ. МОМЕНТ. Здравствуйте! Я очень рада вас всех видеть на уроке , надеюсь, что это  взаимно. Итак. Начнем урок. Тема нашего урока :  «Решение  тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в  систему изученные виды, типы, методы и приёмы решения  тригонометрических уравнений. Эпиграфом к нашему уроку, я выбрала слова Конфуция: Три пути ведут к знанию: ­Путь размышления – это путь самый благородный;       ­Путь подражания – это путь самый лёгкий ;       ­Путь опыта ­  это путь самый горький…. (Конфуций) К этому уроку вами была проделана огромная работа. Вы должны были  изучить много дополнительной литературы, собирали материал по теме :  “Тригонометрические уравнения” из разных источников.  Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело…  Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом». Давайте будем  следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, всё будем  делать с удовольствием и большим желанием. Перед вами задача – показать  свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Устная работа. Тригонометрия традиционно популярна при проведении всевозможных  экзаменов (в том числе ЕГЭ), конкурсов, олимпиад. В связи с этим очень  важно научиться решать тригонометрические уравнения, определять способы  решения тригонометрических уравнений.  Повторим теоретический материал  по теме.                1.Что называется arcsin а?                2. Что называется arccos а?                3.Что называется arctg a?                4. Назовите формулу нахождения корней уравнения вида sin x = a.                5.Назовите формулу нахождения корней уравнения вида cos x = a.                6.Назовите формулу нахождения корней уравнения вида  tg x = a. Решение уравнений с дополнительными условиями. Вычислите: 1) arcsin ;                 2) arccos  ;                3) arctg  ;           4) arcsin                              Решите уравнения:     1) sin x = 1,5;                              2) cos x = ­2;                           3)tg x=3.  Найти ошибки в решениях тригонометрических уравнений: 3 2  2 kk , )1 cos x  x   5 6       sin)2 x                            )3 tgx  3       2 2  x   4  kk ,  x   3   ,2 kk       Физкультминутка Ребята, прежде чем начать и правильно настроиться на работу, выполним простое  упражнение. – Сядьте поудобнее на стуле, запрокиньте ногу на колено, придержите ее руками. Это  поза бесконечности. Сосредоточьтесь над знаком бесконечность – вытянутая  горизонтальная восьмерка. Она находиться над вашим теменем, плавно колеблется над вашей головой. Вы это ярко представили. Постарайтесь удержать это изображение в  вашем мысленном образе в течении нескольких секунд. (Пауза – молчание в течении 5  секунд). Спасибо!  Когда человек сталкивается с бесконечностью, он невольно  задумывается о своем здоровье.       А теперь ребята, давайте выполним следующее задание.  Индивидуальная работа.  Каким способом можно решить уравнения.        1.cos (4x – 2) =  ;                  2. cos2 x – 2cos x = 0;       3. cos2 x – sin2 x = 1;                                                                                                                    4. 3sin2 x – 5sin x – 2 = 0;         5. (tg x ­  ) (2sin   + 1) = 0; Работа в группах. Ребята, а хотели бы вы узнать применение тригонометрии в жизни,  применение в геодезии, астрономии, технике, электротехнике? Студенты подготовили  сообщения по этим вопросам. Древняя Греция. Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг  круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра  окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина  поделенной пополам хорды — это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости,  значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня,  были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной  хордовой форме. Как тригонометрия дошла до наших дней. В 8 в. Учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами  индийских математиков и астрономов и перевели их на арабский язык. В середине 9 века среднеазиатский учёный Аль­Хорезми написал сочинение «Об индийском  счёте». После того как арабские трактаты были переведены на латынь, многие  идеи индийских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой  науки. Современная тригонометрия Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик восемнадцатого  столетия Л. Эйлер. Он ввел известные определения тригонометрических функций,  стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения.  Различные факты стали доказываться путем применения формул,  доказательства стали компактнее и проще. Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Такою она  была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические  методы, особенно после появления логарифмов. Постепенно тригонометрия  органически вошла в математический анализ, механику, физику и технические  дисциплины. Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению  уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания  колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому  тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение для всей математики. Применение в геодезии Поскольку почти всякую фигуру можно разбить на множество треугольников,  тригонометрия  дает  мощный  метод  решения  геометрических  задач.  Чтобы  воспользоваться  им,  строители  туннелей  намечают  геодезический   пункт,   откуда  видны  концы  туннеля. Затем  они  визируют  направления  и   определяют  углы  между  ними.   Применение в астрономии На  сфере, как  и  на  поверхности  Земли, о  расстояниях  можно  судить  по   углам  под  которыми  они  видны  из  центра  сферы. Положению  точки  на  поверхности  Земли  определяются  ее  широтой (углом   отсчитываемым  от  экватора) и  долготой. Это  дает  мореплавателю   расстояние  и курсовой  угол.     Астрономы  определяют  положение  звезд  при  помощи  таких  сферических   небесных  треугольников. Применение в технике Применения  тригонометрии  разнообразны.  Принцип действия самозахватывающего  ключа основан на измерении косинуса угла между захватами. При  уменьшении  угла  косинус  возрастает  ­ захваты   смыкаются. При  смыкании  небольшое  перемещение  захватов  обеспечивает  плотное   сцепление с  отвинчиваемой  деталью. Применение в электротехнике В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с  периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые  промежутки времени. Такие процессы называют колебательными, например,  колебания тока в электрической цепи. Колебательные явления различной  физической природы подчиняются общим закономерностям, которые можно  описать по закону синуса или косинуса. Следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей,  статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и  компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как  следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение,  компьютерная графика. Самостоятельная работа. 1 человек  выполняет тестовую работу с выбором ответа у  доски, остальные получают карточки разного уровня, выполняют работу. 1 вариант cos x=  1 2 π 3  +2 nπ  ,n є Z; а)x=                                               Домашнее задание.                                            I карточка б)x=±       Решите уравнения. π 3  +2 nπ ,nєZ; = ­  1) cos (3x+ в)x=(­1)k   √3 π π 4 ) 2 3  +2 nπ , nє Z 2) 3sin2x+sin xcosx=2cos2x sin x= ­   3 3) Решить уравнение sin 2x = 2 1 2  . Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  а) x=(­1)k+1   π 3  + kπ , kє Z а) x=(­1)k                                              II карточка π Решите уравнения 3  + kπ , kєZ б) x=±  1)2cos2x+ √3  cosx=0 2) 3sin 2x+cos 2x=2 cos2x в) x= 3) Решить уравнение (sinx+cosx)2 ­1=0. Найти корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  π 3  + kπ  ,k є Z; б) x=±  в) x= π 6  +2 nπ , nєZ π 6  +2 nπ  ,n є Z; 2 вариант sin x= ­ 1 2   а)x=(­1)k+1  π 6  + kπ , kєZ; б)x=±  π 6  + kπ , kєZ в)x=(­1)k  π 6  + k,kєZ π cos x=    3 2 [0;π ] π 6  +2 nπ , nє Z [0;π] ctg x= ­1  −π 4  + nπ  ,n є Z; а) x= б) x=(­1)k   π 4  + nπ , nє Z в) x=±  π 4  + nπ , nєZ [−π ;π] 2                                           III карточка tg x= 1  π 4  + nπ , nєZ а) x=±         Решите  уравнения 1) 2cos2x=3sinx 2) Sin7x­sinx=cos4x б) x=(­1)k   π 4  + nπ , nє Z 3) Решите уравнение  cos3x=  ­  π 4  + nπ  ,n є Z; в) x= √2 2           Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  cos(x+ Рефлексия.  Продолжи предложение: 5π 6  + nπ  ,n є Z; а) x=  3 Сегодня я узнал….. π 6  + nπ  ,n є Z; б) x= в) x=±  π 6  + nπ , nєZ )= 0  sin(x­ )= 0   3 а) x=(­1)k   π 3  + nπ , nє Z б) x=±  π 3  + nπ , nєZ π 3  + nπ  ,n є Z; в) x= 2cos x= 1  4sin x= 2 а) x=  + nπ  ,n є Z; а) x=  + kπ  ,k є Z; Было трудно….. Я научился…………… б) x=±   +2 nπ , nєZ Меня заинтересовало………….  +2 nπ , nє Z Мне захотелось……… в) x=(­1)k   sin 4x=1  Меня удивило………………… Теперь я могу……  + nπ  ,n є Z; а) x= б) x=(­1)k    + kπ , kє Z в) x=±   + kπ , kєZ cos 4x= 0  а) x=±   +  , nєZ Итог урока. б) x=±   +  , nєZ б) x=(­1)k    +  , nє Z в) x=(­1)k         Великий математик, физик и политик А. Эйнштейн заметил “Мне приходиться  делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения гораздо важнее.  , nє Z  +  в) x=  +   ,n є Z; Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать  вечно.”       Я надеюсь, что сегодняшний урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись  бороться с трудностями при решении тригонометрических уравнений, вы сможете  преодолевать любые жизненные трудности.