РАЗРАБОТКА УРОКА НА ТЕМУ: "АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ" (9 КЛАСС АЛГЕБРА)

Разработка урока в 9 классе по теме  «Арифметическая прогрессия» Тип урока: урок изучения нового материала. Цель урока: Формирование понятия арифметической прогрессии как одного из видов  последовательностей, вывод формулы n­го члена, знакомство с характеристическим  свойством членов арифметической прогрессии. Решение задач. Задачи урока:    Образовательные ­ ввести понятия арифметической прогрессии; формулы n­го  члена; характеристическое свойство, которым обладают члены арифметических  прогрессий. Развивающие ­ вырабатывать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить  рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать  математическую модель некоторой реальной ситуации. Воспитательные ­ содействовать воспитанию интереса к математике и ее  приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои  взгляды. Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация «Арифметическая прогрессия», карточки для выполнения теста. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. План урока: Организационный момент, постановка задачи Актуализация знаний, устная работа Изучение нового материала Физкультминутка Самостоятельная работа Первичное закрепление Подведение итогов урока Домашнее задание Рефлексия Ход урока I. Организационный момент, постановка задачи. (слайд 1) Закончился XX век, Куда стремится человек, Изучен космос и моря, Строенье звезд и вся земля, Но математиков зовет Известный лозунг  “Прогрессия – движение вперед!” Приветствие. Тема сегодняшнего урока ­ арифметическая прогрессия. На этом уроке мы узнаем, что  такое арифметическая прогрессия, какой общий вид она имеет, выясним, как отличить  арифметическую прогрессию от других последовательностей и решим задачи, где  используются свойства арифметических прогрессий. II. III. Актуализация знаний, устная работа. Последовательность ( . Какой номер имеет член  этой последовательности, если он равен 36? 169? 900? Являются ли членами  этой последовательности числа 27? 49? 142? ) задана формулой:  = III. Изучение нового материала. Прогрессия ­ последовательность величин, каждая следующая из которых находится в  некоей, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей. Термин ныне во многом  устарел и встречается только в сочетаниях "арифметическая прогрессия" и  "геометрическая прогрессия". Термин "прогрессия" имеет латинское происхождение (progression, что означает "движение вперед") и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике  прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону,  который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном  направлении. В настоящее время термин "прогрессия" в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий ­ арифметическая и геометрическая ­ сохранили свои названия. Рассмотрим последовательности чисел:    3,7,11,15,19,23 :. 32,25,18,11,4,­3,­10 :. 9,9,9,9,9, :. Чему равен третий член первой последовательности? Последующий член? Предыдущий  член? Чему равна разность между вторым и первым членами? Третьим и вторым членами?  Четвертым и третьим? Если последовательность построена по одному закону, сделайте вывод, какой будет  разность между шестым и пятым членами первой последовательности? Между седьмым и  шестым? Назовите два последующих члена каждой последовательности. Почему Вы так считаете? (Ответы учеников) Каким общим свойством обладают эти последовательности? Сформулируйте это свойство. (Ответы учеников) Числовые последовательности, обладающие этим свойством, называются  арифметическими прогрессиями. Предложить учащимся самим попробовать  сформулировать определение. Определение арифметической прогрессии: арифметической прогрессией называется  последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему,  сложенному с одним и тем же числом:  ­ арифметическая прогрессия, если  ( Число d, показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от  предыдущего, называется разностью прогрессии:  Давайте еще раз посмотрим на последовательности и поговорим о различиях. Какие  особенности есть у каждой последовательности и с чем они связаны? . , где  некоторое число. Если в арифметической прогрессии разность положительна  является возрастающей: 3,7,11,15,19,23, :. (d=4) , то прогрессия  Если в арифметической прогрессии разность отрицательна ( является убывающей: 32,25,18,11,4,­3,­10, :. (d= ­ 7)  , то прогрессия  ) и все члены прогрессии равны одному и тому  В случае, если разность равна нулю ( же числу, последовательность называется стационарной: 9,9,9,9, :. Как задать арифметическую прогрессию? Рассмотрим следующую задачу. Задача. На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад  приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение  этого времени уголь со склада не расходовался. Если выписать количество угля, находящегося на складе каждого числа, получим  арифметическую прогрессию. Как решить эту задачу? Неужели придется просчитывать  количество угля в каждый из дней месяца? Можно ли как­то обойтись без этого? Замечаем, что до 30 числа на склад придет 29 машин с углем. Таким образом, 30 числа на складе  будет 50+3 29=137 тонн угля. Таким образом, зная только первый член арифметической прогрессии и разность, мы  можем найти любой член последовательности. Всегда ли это так? Проанализируем, как зависит каждый член последовательности от первого члена и  разности: ::::::::::::: Таким образом, мы получили формулу n­ого члена арифметической прогрессии. Пример 1. Последовательность (аn)­арифметическая прогрессия. Найдите   а30,  если а1 и d=3. Воспользуемся формулой n­ого члена  а30=а1+29*d=50+29*3=137 Ответ: 137. Пример 2. . Пример3. IV. V. Физкультминутка   Самостоятельная работа К а р т о ч к а  № 1. 1. Найдите число членов арифметической прогрессии а1;а2; …; а2п, если а2 + а4 + а6 + … + а2п = 126 и ап – 2 + ап + 4 = 42. 1) 6;          2) 8;          3) 10;          4) 16;          5) 12. 2. Найдите 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 + … + 97 – 99. 1) –46;          2) –48;          3) –50;          4) –52;          5) –54. 3. Вычислите  сумму  первых  п членов  последовательности  1; 3; 7; 15; 31; …;  2п – 1. 1) 4п + 3п;          2) 2 (2п –1) – п;          3) 2п + п + 1; 4) 22п – 4п;          5) определить нельзя. К а р т о ч к а  № 2. 1. Сколько бы ни взять первых членов арифметической прогрессии, сумма их                       равна утроенному произведению квадрата числа этих членов. Найдите                     седьмой член   этой прогрессии.              1) 8;          2) 9;          3) 11;          4) 10;          5) 7. 2. На сколько уменьшится сумма 1 ∙ 4 + 2 ∙ 8 + 3 ∙ 12 + … + 20 ∙ 80, если второй  множитель в каждом слагаемом уменьшить на единицу? 1) 60;          2) 120;          3) 210;          4) 375;          5) 465. 3. Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 75 включительно, при  делении квадратов которых на 3, получается остаток, равный 1. 1) 1875;          2) 925;          3) 1900;          4) 2850;          5) 2125. К а р т о ч к а  № 3. 1. Сумма четырех первых членов арифметической прогрессии равна 124, а  сумма четырех последних ее членов равна 156. Сколько членов в этой  прогрессии, если известно, что сумма их равна 350? 1) 8;          2) 9;          3) 11;          4) 10;          5) 7. 2. На сколько уменьшится сумма 1 ∙ 4 + 2 ∙ 6 + 3 ∙ 8 + … + 10 ∙ 22, если второй  множитель в каждом слагаемом уменьшить на 3?             1) 165;          2) 30;          3) 180;          4) 90;          5) 330. 3. Вычислите сумму (а3 – а1) + (а5 – а3)2 + … + (а19 – а17)2 для арифметической  прогрессии с членами а1, а2, … ап и разностью d = 1. 1) 1022;          2) 8192;          3) 4094;          4) 8194;          5) 4096. К а р т о ч к а  № 4. 1. Сумма первых четырех членов возрастающей геометрической прогрессии  равна 15, а сумма последующих четырех членов равна 240. Найдите сумму  первых шести членов этой прогрессии. 1) 31;          2) 48;          3) 63;          4) 127;          5) 144. 2. Найдите сумму первых 20 чисел, которые при делении на 5 дают остаток 1. 1) 950;          2) 1070;          3) 1090;          4) 1030;          5) 1100. 3. Сколько  арифметических  прогрессий  (хп)  удовлетворяют  условию (| хп | –  1)2 + (| хп | – 1)2 + … + (| хп | – 1)2 + ... = 0? 1) 2;          2) 1;          3) n;          4) 2n;          5) n – 1. VI. Первичное закрепление.  № 16.2, 16.2 (устно) № 16.3(а,б), 16.4(а,б) № 16.5(а,б), 16.7(а,б) 16.14(а,б), 16.16(а,б) 16.34(а,б), 16.35(а,б)      VII. Подведение итогов урока. Вспомним начало нашего урока, ребята. Удалось ли за сегодняшний урок узнать что­то  новое, сделать какие­то открытия? А какие цели урока мы ставили перед собой? Как Вы  считаете, нам удалось достигнуть поставленных целей? VIII. Домашнее задание. П.16 № 16.3 (б,в), 16.4 (в,г), 16.14 (в,г). Творческое задание для сильных учеников: Докажите, что в арифметической прогрессии  для любых номеров, таких что k<в выполняются равенства    и  . Спасибо за урок, ребята. Вы сегодня хорошо потрудились. IX. Рефлексия Учащиеся поднимают тот цвет, который соответствует их настроению. Урок полезен, все понятно. (Зеленый) Лишь кое­что чуть­чуть неясно. (Желтый) Еще придется потрудиться. (Оранжевый) Да, трудно все­таки учиться! (Красный)