Разработка урока "Олимпиадные задания"

Конспект урока по математике.                                                     Тема урока: Решение логических олимпиадных задач. Вид урока: урок общеметодологической направленности. Цель урока: научить учащихся решать логические задачи Задачи урока: Образовательные: Формирование и развитие различных видов памяти,  внимания, воображения; формирование и развитие общеучебных умений и  навыков; формирование общей способности искать и находить новые решения,  необычные способы достижения требуемого результата, новые подходы к  рассмотрению предлагаемой ситуации; формирование межпредметной связи. Развивающие: развить смекалку, сообразительность, логическое мышление;  сформировать умение  сопоставлять факты, рассуждать, анализировать, делать  выводы; развить познавательные и творческие способности учащихся;  сформировать способы умственных действий воспроизведения в учебной  деятельности логики научного познания. Воспитательные: воспитывать трудолюбие, чувство коллективизма,  ответственность за результаты своего труда; совершенствовать навыки  групповой работы. Прогнозируемые результаты: Предметные:  сформировать у учащихся представление о логических задачах;  формировать умение решать логические задачи повышенной трудности;  Метапредметные:  формирование информационной, коммуникативной и учебной  компетентности учащихся, умения работать с имеющейся информацией в  новой ситуации;  способность  принимать   и сохранять  цели и  задачи учебной  деятельности, находить способы её осуществления;  умение оценивать себя и результаты своей работы.  системно­деятельностное   обучение, Технологии,   методы   и   приёмы: проблемное обучение, частично­поисковый метод. Формы   работы:  фронтальная,   индивидуальная,   самостоятельная,   работа   в группах. Раздаточный материал: тексты логических задач. Литература: 1. Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам  [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://math­ege.sdamgia.ru/test? theme=210 2. http://info.olimpiada.ru/main Ход урока I. Подготовка учащихся к восприятию нового материала. 1. Организация учащихся на урок. 2. Актуализация опорных знаний. Сегодня «золотой мыслью» нашего занятия будут слова математика Г. Цейтен: «Правильному применению методов можно научиться только применяя их на  разнообразных примерах.» Как вы понимаете эти слова? Решим задачу: «Двенадцать стульев стоят в ряд. Иногда на один из свободных стульев садится человек. При этом ровно один из его соседей (если они были) встает и уходит.  Какое наибольшее количество человек могут одновременно оказаться  сидящими, если вначале все стулья были пустыми? Как называются такие задачи? 3. Определение темы урока. ­Догадались ли вы какая тема нашего урока? Сегодня мы будем решать особенные задачи для решения которых вам  потребуются не только знания , умения, но и особенное мышление. II. Решение задач. Задача 1 Ваня и Маня одновременно вышли навстречу друг другу из пунктов А и В.  Ванина собака Бобик начинает движение вместе с Ваней и бежит, пока не  встретит идущую навстречу Маню, а затем не переводя дух мчится назад, до  встречи с Ваней, после чего снова разворачивается и бежит навстречу Мане и  т.д. Бобик бегает между Ваней и Маней до тех пор, пока они не встретятся.  Известно, что скорость Вани 4 км/ч, скорость Мани 3 км/ч, а скорость Бобика 11 км/ч. Какое расстояние пробежал Бобик, если расстояние между А и В 21 км?  Какое общее расстояние пробежал Бобик по направлению от А к В? Решение Ваня и Маня сближались со скоростью 7 км/ч, поэтому их встреча состоится  через 3 часа после старта. За это время Бобик пробежит 11×3 км, а встреча  состоится в 12 км от пункта А. Пусть Бобик пробежал х км по направлению от А к В и у км в противоположном направлении. Тогда х + у = 33, х − у = 12. Из этих уравнений находим х = 22,5 км. Ответ: 33 км; 22,5 км. Задача 2 Кое­кто в классе смотрит футбол, кое­кто — мультики, но нет таких, кто не смотрит ни то, ни другое. У любителей мультиков средний балл по математике  меньше 4, у любителей футбола — тоже меньше 4. Может ли средний балл всего класса по математике быть больше 4? (Среднее нескольких чисел — это сумма  этих чисел, делённая на их количество.) Решение.  Например, пусть есть два человека, которые имеют по математике 5 и смотрят  только мультфильмы, три человека, у которых по математике 3, а смотрят они и то, и другое, и, наконец, еще два человека, у которых по математике тоже 5, но  смотрят они только футбол). Тогда средний балл любой из двух групп равен но общий средний балл равен Ответ. Может. Задача 3 В пробирке находятся амебы трех типов: А, В и С. Две амебы любых двух типов  могут слиться в одну амебу третьего типа. После нескольких таких слияний в  пробирке осталась одна амеба. Каков ее тип, если исходно амеб типа А было 19  штук, типа В – 20 штук, а типа С – 21 штука? Решение Пусть a, b и c – число амеб типа А, В и С соответственно. При слиянии амеб  типа А и В величина a – b не меняется. Если сливаются А и С, эта величина  уменьшается на 2. Если сливаются В и С, эта величина увеличивается на 2. Значит, при любом слиянии четность величины a – b остается неизменной. То же  верно и по отношению к величинам b – c и c – a. В заключительный момент одна из величин a, b и c равна 1, а две остальные  равны нулю. Значит, эти две последние и изначально были одинаковой четности.  Поэтому это a и c. А в одиночестве осталась амеба В. Ответ: В Задача 4  В каждой клетке клетчатого квадрата 7 × 7 стоит по числу. Сумма чисел в  каждом квадратике 2 × 2 и 3 × 3 равна 0. Докажите, что сумма чисел в 24  клетках, расположенных по периметру квадрата, тоже равна 0. Первое решение.  Так как равна нулю сумма и в квадратике 3×3, и во входящем него квадрате 2 ×  2, равна нулю и сумма в остающемся уголке из 5 клеток. Но по аналогичной причине равна нулю сумма чисел в уголке из 7 клеток,  получающемся выкидыванием из квадрата 4 × 4  (т. е. 4 квадратов 2 × 2) квадрата 3 × 3. Осталось заметить, что из уголков двух таких видов легко составить рамку  квадрата 7 × 7. Второе решение.  Из 2 квадратов 3×3 можно составить прямоугольник 3×6, а из трех квадратов  2×2 — прямоугольник 2×6. Поэтому сумма чисел в любом прямоугольнике 1 × 6 равна нулю. Осталось заметить, что из четырех прямоугольников 1 × 6 можно составить  рамку квадрата 7 × 7. Задача 5. Сорока­ворона кашу варила, деток кормила. Третьему птенцу досталось столько же каши, сколько первым двум вместе взятым. Четвертому — столько же,  сколько второму и третьему. Пятому — столько же, сколько третьему и  четвертому. Шестому — столько же, сколько четвертому и пятому. А седьмому  не досталось — каша кончилась! Известно, что пятый птенец получил 10 г каши. Сколько каши сварила сорока­ворона? Решение.  Пусть первому птенцу досталось m г каши, а второму — n г. Тогда третьему  досталось m + n (г), четвертому — m + 2n (г), пятому — 2m + 3n (г), шестому — 3m + 5n (г).  Следовательно, всего было каши: m + n + (m + n) + (m + 2n) + (2m + 3n) + (3m +  5n) = 8m + 12n = 4(2m + 3n) (г). Это в 4 раза больше, чем досталось пятому  птенцу, значит, сорока­ворона сварила 10 • 4 = 40 (г) каши.  Ответ: 40 г. Итоговая часть урока. Рефлексия. III. 1. Рефлексия.  Какие задачи научились решать?  В каком месте возникали трудности?      2.  Оценка содержательного аспекта деятельности учащихся на уроке.  (поощрение детей, выставление отметок за урок, их комментирование,  замечания учащимся).       3. Задание на дом.   Задача 1 Задача 9. Сумма квадратов n простых чисел, каждое из которых больше 5, делится на 6.  Докажите что и n делится на 6.    Задача 2 Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать  точки, то получится палиндром (т.е. число, читающееся слева направо и справа налево одинаково). Найдите ближайшую к 10.02.2001 дату, обладающую тем же свойством.  Рассмотрите два случая:  1) требуемая дата еще не наступила, 2) требуемая дата уже прошла. Ответ обосновать. Решение домашнего задания. Задача 1.  Если сумма нескольких чисел делится на шесть, то и сумма их остатков при  делении на шесть тоже будет делится на 6. Простое число, большее пяти, может иметь при делении на 6 только остатки 1  или 5 (иначе это число будет делиться на 2 или 3). Следовательно, квадрат любого простого числа, большего чем 5, имеет при  делении на 6 остаток 1. Так как сумма этих остатков равна количеству чисел n,  значит n делится на 6. Задача 2.  Заметим, что при условии, что дата записывается как палиндром, день и месяц  однозначно находятся по заданному году.  (1): в 2001 году других палиндромов быть не может, а в следующем (2002) году это должен быть 20 день второго месяца.  (2): Чтобы дата была как можно ближе к 2001 году, необходимо брать самый  большой возможный год, меньший 2001. Вторая цифра года должна быть первой  цифрой месяца, то есть 0 или 1, т.к. месяцев не больше 12. В 2000 году палиндрома быть не может (нулевого дня не бывает),  следовательно, первые две цифры года ­ 11 (соответственно, месяц ­ ноябрь).  Третью цифру года нужно взять максимально возможную, т.е. девять, тогда  четвертой (так как в ноябре не больше 31 дня) может быть два. Получится дата­ палиндром 29.11.1192. Ответ.  1) 20 февраля 2002 2) 29 ноября 1192 года.