Разработка урока по геометрии на тему "Полярные координаты" (9 класс)

9  класс. Тема: Полярные координаты. Значение   математики   сейчас   непрерывно   возрастает.   В   математике рождаются новые идеи и методы. Все это расширяет сферу её приложения. Сейчас   уже   нельзя   назвать   такой   области   деятельности   людей,   где математика не играла бы существенной роли. Александров Александр Данилович  Цели:  Формирование и контроль знания понятия полярной системы координат и умения использовать  приобретенные знания и умения в практической деятельности для построения различных видов  кривых.   Развитие творческих способностей учащихся, интереса к предмету.  Воспитание самостоятельности и коллективизма. Предварительная подготовка: учащиеся заранее готовят рабочий лист, на котором на миллиметровке  нанесены основные табличные  углы от 0 до 2 .π План: 1. Формулирование целей урока. Мотивационная беседа. Многим из вас, наверное, доводилось отвечать на вопрос: «Как пройти к магазину, больнице или где  находится какая­нибудь улица или дом?» И что в таких случаях обычно отвечают?  «Вы пройдете по  этой улице около 100 м, свернете направо, пройдете еще 50 м и будете у цели». Оказывается, отвечая на  вопрос прохожего, вы не только оказываете ему помощь, но и применяете одну из важных существующих систем координат, а именно полярную, где при указании места расположения какого­нибудь объекта  удобнее определять не его декартовы координаты, а направление и расстояние до объекта. При  астрономических наблюдениях также гораздо удобнее использование не декартовых, а полярных координат.  Хочу остановится ещё на одной области человеческой деятельности, где широко используются полярные  координаты. Это судовождение. На рисунке вы видите прибор, где как раз и представлена полярная система  координат. Это очень важный прибор, так как радиолокатор позволяет видеть в темноте и тумане, определять  расстояние и пеленг до берега или до судна, с которым нужно разойтись, а также осуществлять постановку  судна на якорь.   Я думаю, все вы понимаете, насколько важно точно составлять карты, прокладывать маршруты  движения, чтобы избежать чрезвычайных ситуаций. А что же из себя представляет траектория движения? Это же какая­либо кривая. Оказывается, большинство процессов, происходящих вокруг нас можно  представить различными кривыми. Зная свойства этих кривых, можно объяснить большинство явлений нашей  жизни. А также использовать эти свойства для создания различных приборов, направленных на  совершенствование современной техники, на изучение ещё не исследованных явлений. Важно знать понятие  полярных координат и уметь им грамотно пользоваться.  Поэтому сегодня нам предстоит изучить понятие полярных координат, научиться строить кривые в полярной системе и познакомиться с наиболее интересными из них. По ходу изучения новой темы нам предстоит выполнить практическую работу по применению полярных координат на практике, для чего вы и разделились на пары и подготовили предварительно необходимые материалы. 2.  Изучение полярной системы координат и примеров её использования. Рис. 1 Дадим определение полярных координат на плоскости. Пусть на плоскости задана координатная прямая с выделенной   точкой  О  и   единичным  отрезком  ОЕ.  Эта   прямая   в   данном   случае   будет   называться полярной осью. Точка О называется полюсом (рис. 1). Полярными координатами точки А на плоскости с заданной полярной осью называется пара φ ,( r )  — угол между полярной осью и вектором  ОА ,  φ φ  > 0, и по часовой стрелке, если   < 0. отсчитываемый в направлении против часовой стрелки, если  , где r — расстояние от точки А до точки О,  1 При этом первая координата r называется полярным радиусом, а вторая  Полярный угол  φ  можно задавать в градусах или радианах. φ  — полярным углом. Совместное выполнение №4 (группы учащихся выполняют задание на карточках; на доске рисунок с 7 точками, каждая группа находит координаты одной из точек с помощью линейки и транспортира). А теперь обратное задание №2. На плоскости с заданной на ней полярной осью изобразите точки   с   полярными   координатами.   Для   этого   используйте   свои приготовленные материалы (несколько человек работают с учителем на интерактивной доске). ,  ,  Если на плоскости задана декартова система координат, то обычно за полюс принимается начало координат и за полярную ось — ось Ох. В этом случае каждой точке плоскости с декартовыми координатами (х, у) можно сопоставить полярные координаты (r,  .. φ ). При этом декартовы координаты выражаются через полярные по формулам:  x y     r  r  cos ,  . sin Выполним задание №3. (По одному человеку от групп, другие работают на карточках). Наоборот,   полярные   координаты   выражаются   через   декартовы   по формулам:  r  2 x  2 y , cos   x  2 x 2 y sin,   y  2 x . 2 y Полярные координаты оказываются удобными для задания кривых на плоскости, особенно для задания различных спиралей.  Рассмотрим некото­ рые из таких кривых. Окружность в полярной системе координат. Rr  . Окружность радиуса R с центром в точке О задается уравнением  Действительно,   окружность   является   геометрическим   местом   точек,   удаленных   от   точки   О   на Rr  . При этом, если угол увеличивается, то расстояние R. Все такие точки удовлетворяют равенству  соответствующая   точка   на   окружности   движется   в   направлении   против   часовой   стрелки,   описывая круги. Если  же угол    уменьшается,  то соответствующая  точка описывает  круги в направлении  по часовой стрелке. Примеры. φ Вокруг нас много предметов, которые имеют форму окружности. К примеру, колесо машины, дно кружки, кастрюля в срезе имеет форму окружности. Полярная пылевая туманность имеет тоже форму круга. Спираль Архимеда — кривая, задаваемая в полярной системе координат уравнением  некоторое фиксированное число, угол φ задается в радианах. Предположим, что а> 0, и построим график этой кривой. Если φ = 0, то r = 0. Это означает, что кривая проходит через начало координат. Поскольку радиус неотрицателен, отрицательным углам φ никакие точки на кривой не соответствуют. Посмотрим, как изменяется радиус при увеличении угла φ. В этом случае радиус r также будет увеличиваться. Например, при φ =  ; при φ =   получаем r =  а  , т. е. в  имеем r =  r  ,  где а — a  2 а 2 3 2 два раза больше. При φ =  т. д. Соединяя плавной кривой полученные точки, изобразим кривую, которая называется спиралью Архимеда в честь человека, её открывшего и изучившего ее свойства. Рис. 4 значение радиуса r будет в три раза больше и 2 a Примеры. По спирали Архимеда идет звуковая дорожка на грампластинке. Металлическая пластинка с профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной ёмкости. Одна из деталей швейной машины — механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку — имеет форму спирали Архимеда. Логарифмическая спираль задается уравнением в полярных координатах  r  , где а — некоторое фиксированное положительное число,  φ  — угол, измеряемый в радианах. Каждый следующий виток подобен предыдущему и коэффициент подобия равен  2а . Используя это свойство, построив один виток логарифмической спирали, все остальные витки можно получить подобием. Примеры. Это свойство логарифмической спирали используется в различных технических устройствах. Например, в   гидротехнике   по   логарифмической   спирали   изгибают   трубу,   подводящую   поток   воды   к   лопастям турбины, благодаря чему напор воды используется с наибольшей производительностью. Ночные бабочки, ориентируясь по параллельным лунным лучам, инстинктивно сохраняют постоянный угол   между   направлением   полета   и   лучом   света.   Однако,   если   вместо   луны   они   ориентируются   на близкорасположенный источник света, например на пламя свечи, то инстинкт их подводит. Сохраняя постоянный угол между направлением полета и источником света, они двигаются по скручивающейся логарифмической спирали и попадают в пламя свечи. Раковины многих моллюсков, улиток, а также рога архаров   (горных   козлов)   закручиваются   по   логарифмической   спирали.   Один   из   наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает  ее нити также по логарифмической спирали.   По   этой   спирали   закручены   и   многие   галактики,   в   частности   Галактика   нашей   Солнечной системы. Трилистник — кривая, задаваемая уравнением r = sin 3 .φ Для   построения   этой   кривой   сначала   заметим,   что,   поскольку радиус  неотрицателен,   должно   выполняться   неравенство  sin  3φ  >  0, :φ решая которое; находим область допустимых значений углов  φ φ φ  < 60°; 120° <   < 180°; 240° <   < 300°. φ Итак, пусть 0° <   < 60°. Если угол  0° <  φ  изменяется от нуля до 30°, то sin 3  φ изменяется от нуля до единицы и, следовательно, радиус  r изменяется от нуля до единицы. Если угол изменяется от 30° до 60°, то радиус  изменяется   от   единицы   до   нуля.   Таким   образом,   при  φ от   0°   до   60°   точка   на   плоскости   описывает   кривую,   похожую   на   очертания изменении   угла   лепестка,   и   возвращается   в   начало   координат.   Такие   же   лепестки  получаются, когда угол изменяется в пределах от 120° до 180° и от 240º до 300°. Циклоида. Циклоида представляет собой траекторию точки окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой. При этом окружность называют производящей, а прямую, по которой она катится,— направляющей. Будем считать направляющей прямой ось абсцисс. На производящей окружности радиуса r отметим точку М.   Пусть   в   начальный   момент   времени   точка   М   совпадает   с началом координат О. В результате поворота окружности на угол t точка М  будет иметь координаты    r   r 1   , sin   cos .  x  y  Такое   задание   кривой   называется   параметрическим:   роль   параметра   играет   угол  t.   Когда  t меняется от 0 до 2 , точка М описывает одну арку циклоиды. π Свойства циклоиды:  «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска.   Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде не зависит от амплитуды, этот факт используется в точных механических часах.  3  Детали   машин,   которые   совершают   одновременно   вращательное   и   поступательное  гипоциклоида,   трохоида,  эпициклоида, движение,   описывают   циклоидальные   кривые   (циклоида, астроида).  3.Подведение итогов урока. 1) Какие координаты называются полярными? 2) Где встречается полярная система координат? 3) Что больше всего запомнилось? 4) Какая из приведённых кривых больше привлекает ваше внимание? Чем? 5) Какая кривая, по вашему мнению, самая важная? 6) В какой сфере человеческой деятельности точность измерений играет важнейшую роль? Отметить, что важно всё. Из мелочей и складывается жизнь. 4.Домашнее задание §76 стр. 298 На 3:  № 1,2 На 4: №1,2,3 На 5: № 7.  Нарисуйте кривую, заданную уравнением  3. r  14 3cos    sin4 2  3 . При вычислениях брать   π ≈ 5.  После   такой   напряжённой   работы   нам   просто   необходимо   снять   стресс.   Этот   комплекс   можно выполнить прямо на месте, за столом, практически незаметно для окружающих. 1.Так сильно, как можете, напрягите пальцы ног. Затем расслабьте их. 2.Напрягите и расслабьте ступни ног и лодыжки. 3.Напрягите и расслабьте икры. 4.Напрягите и расслабьте колени. 5.Напрягите и расслабьте бедра. 6.Напрягите и расслабьте ягодичные мышцы. 7.Напрягите и расслабьте живот. 8.Расслабьте спину и плечи. 9.Расслабьте кисти рук. 10.Расслабьте предплечья. 11.Расслабьте шею. 12.Расслабьте лицевые мышцы. 13.Посидите спокойно несколько минут, наслаждаясь полным покоем. Когда вам покажется, что  вы медленно плывете, ­ вы полностью расслабились. И последнее, чтобы повысить мотивацию, применим следующий приём: повернитесь к соседу,  легко коснитесь кончиками пальцев точек, расположенных посередине между бровями и линией  роста волос точно над зрачками. Дышите глубоко и свободно 1 минуту.  Ну вот, теперь нам хватит сил на то, чтобы построить кривую из четвёртого задания. Работу выполняем  до конца урока, со звонком сдаём. Кто справится с этой работой до конца урока и выполнит всё  правильно, сможет получить хорошие оценки.  6. Выполнение практической работы (в парах). Вариант  1 №1. Используя транспортир и линейку, найдите полярные координаты точек, изображённых на рисунке. О Е №2. На плоскости с заданной на ней полярной осью изобразите точки с полярными координатами  4 A(3, 0), B(2,5;   3 ) и E(5,    2 ). №3. Полярные координаты точки равны: а) (1, ); б) (3,    №4. Нарисуйте кривую, заданную уравнением  15,2 её название. Вариант  2 №1. Используя транспортир и линейку, найдите полярные координаты точек, изображённых на рисунке. ). Найдите её декартовы координаты. cos . При вычислениях брать   3. Укажите  π ≈   r  2  О Е №2. На плоскости с заданной на ней полярной осью изобразите точки с полярными координатами  B(2,   6 ), D(3, 0) и F(4, –). №3.  Полярные координаты точки равны: а) (1,   4 №4. Нарисуйте кривую, заданную уравнением r =  ); б) (2, –). Найдите её декартовы координаты. 1 φ2. При вычислениях брать  3  3. Вычисления  π ≈   проводить как для положительных, так и для отрицательных углов. Укажите её название. Вариант 3. №1. Используя транспортир и линейку, найдите полярные координаты точек, изображённых на рисунке. О Е №2. На плоскости с заданной на ней полярной осью изобразите точки с полярными координатами  B(3,4;  ), D(1, 0) и F(2, –  2 3 2 ). №3.  Полярные координаты точки равны: а) (2, – №4. Нарисуйте кривую, заданную уравнением r = 2 . При вычислениях брать  Вариант 4. №1. Используя транспортир и линейку, найдите полярные координаты точек, изображённых на рисунке.  ); б) (6, –). Найдите её декартовы координаты. 4 φ  3. Укажите её название. π ≈   О Е №2. На плоскости с заданной на ней полярной осью изобразите точки с полярными координатами  B(4,  ), D(3, 0) и F(1, –  3  2 ). 5 №3.  Полярные координаты точки равны: а) (8,   2 №4. Нарисуйте кривую, заданную уравнением r =   4 ); б) (2, – 1 φ2. При вычислениях брать  2 ). Найдите её декартовы координаты. π ≈    3. Вычисления  проводить как для положительных, так и для отрицательных углов. Укажите её название. Вариант 5. №1. Используя транспортир и линейку, найдите полярные координаты точек, изображённых на рисунке.   О Е №2. На плоскости с заданной на ней полярной осью изобразите точки с полярными координатами  B(2,   6 ), D(3, 0) и F(2,3; –). №3.  Полярные координаты точки равны: а) (1, – №4. Нарисуйте кривую, заданную уравнением r = 0,5 . При вычислениях брать  Вариант 6. №1. Используя транспортир и линейку, найдите полярные координаты точек, изображённых на рисунке.  3 ); б) (4, –). Найдите её декартовы координаты. φ  3. Укажите её название. π ≈   О Е №2. На плоскости с заданной на ней полярной осью изобразите точки с полярными координатами  B(3, – ), D(5, 0) и F(4, ).  6 №3.  Полярные координаты точки равны: а) (3, – №4. Нарисуйте кривую, заданную уравнением  название.  2 ); б) (4, ). Найдите её декартовы координаты.  . При вычислениях брать  cos π ≈    3. Укажите её  12 r Вариант 7. №1. Используя транспортир и линейку, найдите полярные координаты точек, изображённых на рисунке. О Е 6 №2. На плоскости с заданной на ней полярной осью изобразите точки с полярными координатами  B(2,   6 ), D(3, 0) и F(4, –). №3.  Полярные координаты точки равны: а) (1,  №4. Нарисуйте кривую, заданную уравнением  название. Вспомогательные материалы.  4 13 r ); б) (1, 2). Найдите её декартовы координаты.  . При вычислениях брать  cos π ≈    3. Укажите её  7