Разработка урока по математике "Числовая последовательность и способы ее задания" 9 класс

Урок алгебры по теме: "Числовая  последовательность и способы ее задания".  Тип урока: урок обобщающего повторения и систематизации знаний. Цель: закрепить навыки словесного, аналитического, рекуррентного и графического  задания числовой последовательности. Задачи: Образовательная: проверить умение работы с числовыми рядами, проверить полноту и  осознанность усвоения знаний учащихся по теме. Развивающая: развить умение обосновывать свойства числовых последовательностей:  возрастание, убывание, ограниченность, развитие самостоятельности, взаимопомощи при  работе в группе, сообразительности. Воспитательная: воспитывать культуру общения; воспитание активности и аккуратности. Форма урока:  групповая. Подготовка к уроку:  учитель готовит подобие билетов с цифрами от 1 до 20 (билетов  столько, сколько учащихся в классе); карточки с названием свойств числовых  последовательностей; раздаточные задания для трех групп. Ход урока:  1. Мотивация урока. «Числа   управляют   миром»,­   говорили   древнегреческие   ученые.     «Все   есть   число». Согласно их философскому мировоззрению, числа управляют не только мерой и весом, но также   явлениями,     происходящими   в   природе,     и   являются   сущностью   гармонии, царствующей   в   мире,   душой   космоса.   Так   первым   четырем   числам   –   1,   2,   3,   4   – приписывалось: 1 – означает огонь, 2 – землю, 3 – воду, 4 – воздух. Сумма этих чисел – число 10 – изображало весь мир.  Но числа дают возможность самому человеку управлять миром.   Сегодня на уроке мы продолжим работать с числами. ­  какова тема урока?  (Числовые последовательности) ­ сформулируйте цель урока?  (Имея закономерности, уметь определять следующие числа в ряду по определенному правилу) ­ а, что нам необходимо знать, чтобы решать такие задачи? (Ввести обозначения, способы задания последовательности) 2. Актуализация знаний. Тестовая проверочная работа (из базы воуд) 1.Последовательность задана формулой an=5n+2 . Чему равен её третий член? а) 3 б)17 в) 12 г) 22 2 . Выпишите 5 первых членов последовательности, заданной формулой an=n­3 а) ­3,­2,­1,0,1 б) ­2,­1,0,1,2 в) 0,­2,­4,­16,­50 г) 1,2,3,4,5 3. Найдите сумму 6­ти первых членов числовой последовательности: 2,4,6,8, а) 66 б) 36 в) 32 г) 42 4. Определите правило составления числовой последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; … . Задайте формулой общий член этой последовательности. А) an=2n+1;  Б)an=3n­2;  В)an=2n+2;  Г)an=2n­1;   Д)an=n+1. 5. Записать последовательность, состоящую из кубов чисел натурального ряда. А)  1; 8; 27; 64; … Б) 1; 8; 27; 36; …  В) 1; 6; 9; 12; …  Г) 1; 6; 27; 64 Д) 1; 8; 16; 24; … Ответы: 1б,2б, 3г,4г,5а Самопроверка с доской Деление на условные группы: На доске записана числовая последовательность  натуральных чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 При входе в класс, вы вытянули билетики с номерками. Сейчас мы с вами условно  поделимся на группы. Поднимите руки те, у кого число в билете кратно 3?(По ходу  ответов, довешиваю данные в таблицу). Вы будете относиться к группе альфа, кстати, а  как я задала вашу последовательность билетов? (словестный способ задания числовой  последовательности) К группе  « »  будут относиться учащиеся у которых номер билета  . Итак, поднимите руки те, у кого номер билета можно найти по данной формуле  формуле? Это учащиеся с билетами 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20. Каким способом я задала вашу  последовательность билетов?(аналитическим) К группе   « » мы отнесем учащихся, у которых   вычисляются по формуле  задала числовую последовательность? . Какие это номера билетов? Каким способом я номера билетов  β γ вычисляются по   группа « »α    группа « »β  группа « »γ В билетах номера кратны 3. В билетах номера вычисляются по формуле  В билетах номера вычисляются по формуле 3, 6, 9, 12, 15, 18 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 Словесное задание  Аналитическое задание  Рекуррентное задание с помощью математических терминов, можно задать числовую последовательность если приведена формула ее n-го члена указывается правило, позволяющее последовательности, если указаны ее несколько первых членов (как вычислить n-й член минимум один первый член) и предыдущим членам вычислить ее формула, позволяющая по следующий член. Термин вычислении членов рекуррентный произошло от латинского слова recurrere, что означает возвращаться. При последовательности по этому правилу мы как бы все время возвращаемся назад, вычисляя следующий член на основе предыдущего. 3. Обобщение и систематизация знаний по теме. I задание.   Проверка у доски                                                                                                          группа « »α 1.  Напишите пять первых членов последовательности: а) нечетных натуральных чисел, делящихся на 7; б) четных натуральных чисел, не делящихся на 6; в) натуральных чисел, кратных и 3 и 8 одновременно; г) квадратов простых чисел; д) натуральных чисел, которые при делении на 10 дают остаток 8. 2. Опишите словесно следующие последовательности: а) 1, 4, 9, 16, 25,…;                б) 1, 3, 5, 7, 9, 11,…; в) 1, 4, 8, 16, 32, 64,…;          г)  2, ­2, 2, ­2, 2, ­2,…; д)  1, 7, 31, 127, 511,….   группа « »β 1. Напишите первые пять членов последовательности заданной формулой  ­ го члена: а)   д)   . ;         б)   ; в)   ;    г)   ;  Задание 2 Выведите формулу определяющую данную числовую последовательность а)  4, 16, 36, 64, 100,…;                      б) 19, 32, 45, 58,…;                              в) 3, 1, 3, 1, 3, 1,…;                             г)  2, ­2, 2, ­2, 2, ­2,…;                        д)  6, 12, 24, 48, 96,…. группа « »γ 1.  Напишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно: а)   ; б)   в)   г)   д)   ; ; ; . Задание 2 Выведите формулу определяющую данную числовую последовательность а)  1, 4, 1, 4, 1, 4,…;                    б) 1, 3, 12, 60,…;                         в) ­5, 5, ­5, 5, ­5,…;                     г)  1024, 512, 256,…;                  д)  ­4, 3, ­4, 3,….                             II задание ­ Перечислите, какими свойствами обладают числовые последовательности? Учащиеся перечисляют свойства числовых последовательностей, а учитель, по мере  вспоминания, вывешивает на доске таблички с названиями. монотонная                                                                                                                                возрастающая  3, 5, 7, … убывающая   5, 1, ­3, ­7, …  не являются  ни  возрастающими, ­1, 2, ­4, 8, …        ни убывающими    9, 1, 7, 1, 5,1, …                                                                                                            2,2,2,2, …           ­ стационарная;    1, 3, 5, 7, …             – бесконечная;  1, 3, 5, 7. – конечная Задания №1: Проверьте на монотонность числовые последовательности, заданные формулой  члена. Ответ обоснуйте с места. ­ го   группа « »α  группа « »β группа « »γ Задания №2: Является ли ограниченной последовательность, заданная формулой  обоснуйте. ­ го члена. Ответ                группа « »α    группа « »β  группа « »γ III задание.Продолжите числовой ряд и  задать последовательность следующими  способами: – Формулой n­го члена; – Словесным описанием.   Ответ обоснуйте у доски группа « »α                                                     ответ 1. 18, 20, 24, 32,?,…;                                        48 2.  6, 8, 10, 11, 14, 14,?,…;                               18 3.  7, 13, 24, 45,?,…;                                         86 4.  4, 5, 7, 11, 19,?,….                                       35   группа « »β 1.  6, 7, 9, 13, 21,?,…;                                        37 2.  64, 48, 40, 36, 34,?,…;                                  33 3.  15, 13, 12, 11, 9, 9,?,…;                                6 4.  7, 14, 10, 12, 14, 9,?,….                                19 группа « »γ 1.  172, 84, 40, 18,?,…;                                       7 2.  1, 5, 13, 29,?,…;                                             61 3.   0, 3, 8, 15,?,…;                                              24 4.  4, 7, 9, 11, 14, 15, 19,?,….                             19 Задание III конкурса для командного решения. Когда задания внутри группы будут  решены, выходит учащийся, но сразу не дает ответа, а предлагает другим командам  сначала  продолжить числовой ряд. 4. Рефлексия.  Не каждую последовательность можно задать всеми известными способами,  среди  рекуррентно заданных последовательностей выделяют два особо важных случая:  аn+1 = аn + d,             вn+1 = вnq .  Их называют арифметической и геометрической прогрессиями, где d и q – заданные числа, но про  них подробно Вы узнаете далее на последующих уроках, а вот второй  последовательности, которая, как мы знаем теперь, называется геометрической  прогрессией, я предлагаю Вам уделить более пристальное внимание. 5. Итог урока.  Домашняя работа:  Вам предлагается тест, после его выполнения вы составите фамилию итальянского математика, в честь которого   назвали один из способов задания числовой последовательности.   А   доклад   о   данном   ученом,   нам   подготовит   Ботагоз,   который зачитает нам на следующем уроке. Я желаю вам всегда работать с радостью и удовольствием. Спасибо вам за урок.  Урок окончен. До свидания!  Домашняя работа Тест     1. Найти второй член последовательности, заданной рекуррентным способом   уn  = 1,         yn = yn­1 + 2      (n = 2,3,4, …)        И  (2)                   Ф  (3)                М  (5)  2. Выберите член последовательности (уn ), который следует за  yn+9 Е  (у10)                    О  (уn+8)                     И  (yn+10)  3. Выберите член последовательности (уn ), который предшествует члену y2n  Б  (у2n ­1)              О  (у2n +1)                      Р  (уn) 4.  По   заданной   формуле  n­го   члена   последовательности   вычислите   первые   3   члена последовательности              yn = n2 – 4     О  (­3, 0, 5)               Н  (­2, 0, 2)                  Д  (3, 0, 5)  5. Найти третий член последовательности                  yn= n+1 n2−8   Н  (4)                         О  (­2)                  К   1 4    6. Найти четвёртый член последовательности    уn  = 2n О  (8)                А  (16)                С  (20)  7. Подберите формулу n­го члена последовательности  3, 6, 9, 12, 15, … Ч  (3n)               В  (n + 3)             Т  (2n + 1)  8. Исследовать на монотонность последовательность  yn = 2n ­ 2 Ь  (убывающая)          И  (немонотонная)           Ч  (возрастающая)  9. Какая из следующих последовательностей является убывающей И   n   + 1             М  1 ­      1              Ч    5   n              n                         2n                  n + 1   Домашняя работа 1. Найти второй член последовательности, заданной рекуррентным способом   уn  = 1,         yn = yn­1 + 2      (n = 2,3,4, …)        И  (2)                   Ф  (3)                М  (5)  2. Выберите член последовательности (уn ), который следует за  yn+9  Е  (у10)                    О  (уn+8)                     И  (yn+10)  3. Выберите член последовательности (уn ), который предшествует члену y2n  Б  (у2n ­1)              О  (у2n +1)                      Р  (уn) 4.  По   заданной   формуле  n­го   члена   последовательности   вычислите   первые   3   члена последовательности              yn = n2 – 4     О  (­3, 0, 5)               Н  (­2, 0, 2)                  Д  (3, 0, 5)  5. Найти третий член последовательности                  yn= n+1 n2−8   Н  (4)                         О  (­2)                  К   1 4    6. Найти четвёртый член последовательности    уn  = 2n О  (8)                А  (16)                С  (20)  7. Подберите формулу n­го члена последовательности  3, 6, 9, 12, 15, … Ч  (3n)               В  (n + 3)             Т  (2n + 1)  8. Исследовать на монотонность последовательность  yn = 2n ­ 2 Ь  (убывающая)          И  (немонотонная)           Ч  (возрастающая)  9. Какая из следующих последовательностей является убывающей И   n   + 1             М  1 ­      1              Ч    5   n              n                         2n                  n + 1 III задание. Продолжите числовой ряд  и  задайте последовательность словесным  описанием.  Ответ обоснуйте у доски группа « »α                                                      1. 18, 20, 24, 32,?,…; 2. 6, 8, 10, 11, 14, 14,?,…; 3. 7, 13, 24, 45,?,…; 4. 4, 5, 7, 11, 19,?,…. группа «β» 1. 6, 7, 9, 13, 21,?,…; 2. 64, 48, 40, 36, 34,?,…; 3. 15, 13, 12, 11, 9, 9,?,…; 4. 7, 14, 10, 12, 14, 9,?,…. группа « »γ 1.  172, 84, 40, 18,?,…;                                        2.  1, 5, 13, 29,?,…;                                              3.   0, 3, 8, 15,?,…;                                               4.  4, 7, 9, 11, 14, 15, 19,?,….                              III задание. Продолжите числовой ряд  и  задайте последовательность словесным  описанием.   Ответ обоснуйте у доски группа « »α                                                      1.18, 20, 24, 32,?,…;                                         2.  6, 8, 10, 11, 14, 14,?,…;                                3.  7, 13, 24, 45,?,…;                                          4.  4, 5, 7, 11, 19,?,….                                         группа « »β 1.  6, 7, 9, 13, 21,?,…;                                         2.  64, 48, 40, 36, 34,?,…;                                   3.  15, 13, 12, 11, 9, 9,?,…;                                 4.  7, 14, 10, 12, 14, 9,?,…. группа « »γ 1.  172, 84, 40, 18,?,…;                                        2.  1, 5, 13, 29,?,…;                                              3.   0, 3, 8, 15,?,…;                                               4.  4, 7, 9, 11, 14, 15, 19,?,….                              III задание. Продолжите числовой ряд  и  задайте последовательность словесным  описанием.  Ответ обоснуйте у доски группа « »α                                                      1. 18, 20, 24, 32,?,…; 2. 6, 8, 10, 11, 14, 14,?,…; 3. 7, 13, 24, 45,?,…; 4. 4, 5, 7, 11, 19,?,…. группа «β» 1. 6, 7, 9, 13, 21,?,…; 2. 64, 48, 40, 36, 34,?,…; 3. 15, 13, 12, 11, 9, 9,?,…; 4. 7, 14, 10, 12, 14, 9,?,…. группа « »γ 1.  172, 84, 40, 18,?,…; 2.  1, 5, 13, 29,?,…;                                              3.   0, 3, 8, 15,?,…;                                               4.  4, 7, 9, 11, 14, 15, 19,?,….                             Тестовая проверочная работа (из базы воуд) 1.Последовательность задана формулой an=5n+2 . Чему равен её третий член? а) 3 б)17 в) 12 г) 22 2 . Выпишите 5 первых членов последовательности, заданной формулой an=n­3 а) ­3,­2,­1,0,1 б) ­2,­1,0,1,2 в) 0,­2,­4,­16,­50 г) 1,2,3,4,5 3. Найдите сумму 6­ти первых членов числовой последовательности: 2,4,6,8, а) 66 б) 36 в) 32 г) 42 4. Определите правило составления числовой последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; … . Задайте  формулой общий член этой последовательности. А) an=2n+1;  Б)an=3n­2;  В)an=2n+2;  Г)an=2n­1;   Д)an=n+1. 5. Записать последовательность, состоящую из кубов чисел натурального ряда. А)  1; 8; 27; 64; … Б) 1; 8; 27; 36; …  В) 1; 6; 9; 12; …  Г) 1; 6; 27; 64 Д) 1; 8; 16; 24; … Тестовая проверочная работа (из базы воуд) 1.Последовательность задана формулой an=5n+2 . Чему равен её третий член? а) 3 б)17 в) 12 г) 22 2 . Выпишите 5 первых членов последовательности, заданной формулой an=n­3 а) ­3,­2,­1,0,1 б) ­2,­1,0,1,2 в) 0,­2,­4,­16,­50 г) 1,2,3,4,5 3. Найдите сумму 6­ти первых членов числовой последовательности: 2,4,6,8, а) 66 б) 36 в) 32 г) 42 4. Определите правило составления числовой последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; … . Задайте  формулой общий член этой последовательности. А) an=2n+1;  Б)an=3n­2;  В)an=2n+2;  Г)an=2n­1;   Д)an=n+1. 5. Записать последовательность, состоящую из кубов чисел натурального ряда. А)  1; 8; 27; 64; … Б) 1; 8; 27; 36; …  В) 1; 6; 9; 12; …  Г) 1; 6; 27; 64 Д) 1; 8; 16; 24; … Тестовая проверочная работа (из базы воуд) 1.Последовательность задана формулой an=5n+2 . Чему равен её третий член? а) 3 б)17 в) 12 г) 22 2 . Выпишите 5 первых членов последовательности, заданной формулой an=n­3 а) ­3,­2,­1,0,1 б) ­2,­1,0,1,2 в) 0,­2,­4,­16,­50 г) 1,2,3,4,5 3. Найдите сумму 6­ти первых членов числовой последовательности: 2,4,6,8, а) 66 б) 36 в) 32 г) 42 4. Определите правило составления числовой последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; … . Задайте  формулой общий член этой последовательности. А) an=2n+1;  Б)an=3n­2;  В)an=2n+2;  Г)an=2n­1;   Д)an=n+1. 5. Записать последовательность, состоящую из кубов чисел натурального ряда. А)  1; 8; 27; 64; … Б) 1; 8; 27; 36; …  В) 1; 6; 9; 12; …  Г) 1; 6; 27; 64 Д) 1; 8; 16; 24; … I задание.    группа « »α 1.  Напишите пять первых членов последовательности: а) нечетных натуральных чисел, делящихся на 7; б) четных натуральных чисел, не делящихся на 6; в) натуральных чисел, кратных и 3 и 8 одновременно; г) квадратов простых чисел; д) натуральных чисел, которые при делении на 10 дают остаток 8. 2. Опишите словесно следующие последовательности: а) 1, 4, 9, 16, 25,…;                б) 1, 3, 5, 7, 9, 11,…; в) 1, 4, 8, 16, 32, 64,…;          г)  2, ­2, 2, ­2, 2, ­2,…; д)  1, 7, 31, 127, 511,…. I задание.    группа « »β 1. Напишите первые пять членов последовательности заданной формулой  ­ го члена: а)   ;         б)   ; в)   ;    г)   ;  д)   . I задание.      группа « »γ 1.  Напишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно: а)   ; б)   в)   г)   д)   ; ; ; . II задание Задания №1: Проверьте на монотонность числовые последовательности, заданные формулой  члена. Ответ обоснуйте с места. ­ го   группа « »α  группа « »β группа « »γ Задания №2: Является ли ограниченной последовательность, заданная формулой  обоснуйте. ­ го члена. Ответ                группа « »α    группа « »β  группа « »γ II задание Задания №1: Проверьте на монотонность числовые последовательности, заданные формулой  члена. Ответ обоснуйте с места. ­ го   группа « »α  группа « »β группа « »γ Задания №2: Является ли ограниченной последовательность, заданная формулой  обоснуйте. ­ го члена. Ответ                группа « »α    группа « »β  группа « »γ Дополнительные задания Задание 1 Выведите формулу определяющую данную числовую последовательность а)  4, 16, 36, 64, 100,…;                      б) 19, 32, 45, 58,…;                              в) 3, 1, 3, 1, 3, 1,…;                             г)  2, ­2, 2, ­2, 2, ­2,…;                        д)  6, 12, 24, 48, 96,….                           Задание 2 Выведите формулу определяющую данную числовую последовательность а)  1, 4, 1, 4, 1, 4,…;                    б) 1, 3, 12, 60,…; в) ­5, 5, ­5, 5, ­5,…;                     г)  1024, 512, 256,…;                  д)  ­4, 3, ­4, 3,….      Дополнительные задания Задание 1 Выведите формулу определяющую данную числовую последовательность а)  4, 16, 36, 64, 100,…;                      б) 19, 32, 45, 58,…;                              в) 3, 1, 3, 1, 3, 1,…;                             г)  2, ­2, 2, ­2, 2, ­2,…;                        д)  6, 12, 24, 48, 96,….                           Задание 2 Выведите формулу определяющую данную числовую последовательность а)  1, 4, 1, 4, 1, 4,…;                    б) 1, 3, 12, 60,…;                           в) ­5, 5, ­5, 5, ­5,…;                     г)  1024, 512, 256,…;                  д)  ­4, 3, ­4, 3,….                          Дополнительные задания Задание 1 Выведите формулу определяющую данную числовую последовательность а)  4, 16, 36, 64, 100,…;                      б) 19, 32, 45, 58,…;                              в) 3, 1, 3, 1, 3, 1,…;                             г)  2, ­2, 2, ­2, 2, ­2,…;                        д)  6, 12, 24, 48, 96,….                           Задание 2 Выведите формулу определяющую данную числовую последовательность а)  1, 4, 1, 4, 1, 4,…;                    б) 1, 3, 12, 60,…;                           в) ­5, 5, ­5, 5, ­5,…;                     г)  1024, 512, 256,…;                  д)  ­4, 3, ­4, 3,….