Разработка урока по математике на тему "Основные понятия комбинаторики"

КГБПОУ "Красноярский колледж отраслевых технологий и предпринимательства" Боенко Алена Викторовна, преподаватель Основные понятия комбинаторики Цель:   ввести   понятие   комбинаторики,   познакомить   с   историй   возникновения теории комбинаторики. Тип урока: урок ознакомления с новым материалом Содержание урока:  1. Организационный момент 2. Знакомство с новым материалом 3. Решение комбинаторных задач 4. Подведение итогов Ход занятия Организационный момент Знакомство с новым материалом С   комбинаторными   задачами   люди   столкнулись   в   глубокой   древности.   В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел. Комбинаторные   задачи   возникли   и   в  связи   с  такими   играми,  как   шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.  В древности для облегчения вычислений часто   использовали   камешки.   При   этом   особое   внимание   уделялось   числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной фигуры. К концу XVI века накопились знания, относящиеся к:  свойствам фигурных чисел,  построению магических (и иных числовых) квадратов, КГБПОУ "Красноярский колледж отраслевых технологий и предпринимательства" Боенко Алена Викторовна, преподаватель  свойствам биномиальных коэффициентов.  Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinate, которое означает   «соединять»,   «сочетать».   Термин   "комбинаторика"   был   введён   в математический   обиход   знаменитым   Лейбницем.  В   течение   всей   своей   жизни Лейбниц   многократно   возвращался   к   идеям   комбинаторного   искусства. Комбинаторику он понимал весьма широко, именно, как составляющую любого исследования,   любого   творческого   акта,   предполагающего   сначала   анализ (расчленение   целого   на   части),   а   затем   синтез   (соединение   частей   в   целое). Комбинаторике Лейбниц предрекал блестящее будущее, широкое применение.  В   XVIII   веке   к   решению   комбинаторных   задач   обращались   выдающиеся математики.   Так,   Леонард   Эйлер   рассматривал   задачи   о   разбиении   чисел,   о построении магических и латинских квадратов. Пример: Записать первые три квадратных числа. Решение:  каждое   квадратное   число   может   быть   сложено   из   камешков   в форме квадрата:  . Таким образом, первые три квадратных числа 1, 4,   9.  Замечаем   закономерность,   что  n­ое   квадратное   число   вычисляется   по формуле  Nкв=n2 . Комбинаторика, пройдя  многовековой   путь  развития,  обретя  собственные методы исследования, с одной стороны, широко используется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. ­ в период, когда возникла теория вероятности. В XX веке комбинаторика подверглась мощному процессу алгебраизации. Выявление   роли   упорядоченных   множеств,   свойств   функции   Мёбиуса, абстрактных   свойств   линейной   зависимости   при   решении   комбинаторных   задач способствовали обогащению комбинаторных методов исследования и дальнейшей интеграции комбинаторики в современную математику. Комбинаторикой называется   область   математики,   в   которой   изучаются вопросы   о   том,   сколько   различных   комбинаций,   подчиненных   тем   или   иным условиям,   можно   составить   из   элементов   заданного   множества.   Составляя комбинации, мы фактически выбираем из этого множества различные элементы и объединяем   их   в   группы   по   нашим   потребностям,   поэтому   вместо   слова "комбинации", часто используют слово "выборки" элементов.  Примеры комбинаторных задач Пример 1.   Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека — Антонов,   Григорьев,   Сергеев   и   Федоров,   тренер  выделяет   пару   для   участия   в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары? КГБПОУ "Красноярский колледж отраслевых технологий и предпринимательства" Боенко Алена Викторовна, преподаватель Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ. Выпишем   теперь   пары,   в   которые   входит   Григорьев,   но   не  входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ. Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входят Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ. Других   вариантов   составления   пар   нет,   так   как   все   пары,   в   которые входит Федоров, уже составлены. Итак, мы получили шесть пар: АГ, АС, АФ, ГС, ГФ, СФ. Значит,   всего   существует   шесть   вариантов   выбора   тренером  пары теннисистов из данной группы. Способ   рассуждений,   которым   мы   воспользовались   при   решении   задачи, называют перебором возможных вариантов. Пример 2.   Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 используя в записи числа каждую из них не более одного раза? Чтобы ответить на вопрос задачи, выпишем все такие числа. Пусть   на   первом   месте   стоит   цифра   1.   На   втором   месте   может  быть записана любая из цифр 3, 5, 7. Запишем, например, на втором месте цифру 3. Тогда в качестве третьей цифры можно взять 5 или 7. Получим два числа 135 и 137. Если на втором месте записать цифру 5, то в качестве третьей цифры можно взять цифру 3 или 7. В этом случае получим числа 153 и 157. Если же, наконец, на   втором   месте   записать   цифру   7,   то   получим   числа   173   и   175.  Итак,   мы составили все числа, которые начинаются с цифры 1. Таких чисел шесть: Аналогичным   способом   можно   составить   числа,   которые   начинаются   с 135, 137, 153, 157,  173, 175. цифры 3, с цифры 5, с цифры 7. Полученные результаты запишем в четыре строки, в каждой  из которых шесть чисел: 135, 315, 513, 713, 137, 317, 517, 715, 153, 351, 531, 731, 157, 357, 537, 735, 173, 371, 571, 751, 175, 375, 573, 753. Таким образом, из цифр 1, 3, 5, 7 без повторения цифр можно составить 24 трехзначных числа. Проведенный перебор вариантов проиллюстрирован на схеме, изображенной на рисунке. Такую схему называют деревом возможных вариантов. КГБПОУ "Красноярский колледж отраслевых технологий и предпринимательства" Боенко Алена Викторовна, преподаватель Пример 3.     Из  города А  в  город В  ведут две  дороги,  из города В  в город С — три дороги, из города С до пристани ­две дороги (рис.  12).  Туристы хотят проехать из города А через города  В   ц   С  к   пристани.    Сколькими   способами   они   могут выбрать маршрут? Пристань Путь   из  А  в  В  туристы   могут   выбрать   двумя   способами.   Далее   в каждом   случае   они   могут   проехать   из  В  в   С   тремя   способами.   Значит, имеются 2 • 3 вариантов маршрута из А в С. Так как из города С на пристань можно   попасть   двумя   способами,   то  всего   существует  2 ­ 3 ­ 2 ,   т.е.   12, способов выбора туристами маршрута из города А к пристани. Письменная работа 1. Перечислите   знакомые   виды:   а)   четырехугольников;   б)   треугольников. Сколько всего видов. (5, 7) 2. Перечислите первые двенадцать квадратных чисел. 3. В   кафе   предлагают   два   первых   блюда:   борщ,   рассольник   –   и  четыре вторых   блюда:  гуляш,     котлеты,     сосиски,     пельмени.  Укажите   все обеды   из   двух   блюд,   которые   может   заказать   посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов. 4. У   Ирины   пять   подруг:   Вера,   Зоя,   Марина,   Полина   и   Светлана.   Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите всевозможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов? 5. Стадион   имеет   четыре   входа:  А,   В,   С  и  D.  Укажите   все   возможные способы,   какими   посетитель   может   войти   через   один  вход,   а   выйти через другой. Сколько таких способов? 6. Составьте   все   возможные   двузначные   числа   из   указанных   цифр, используя   в   записи   числа   каждую   из   них   не   более   одного   раза: а)  1, 6, 8;          б) 0, 3, 4. КГБПОУ "Красноярский колледж отраслевых технологий и предпринимательства" Боенко Алена Викторовна, преподаватель 7. Из   цифр   1,   2,   3   составьте   все   возможные   двузначные   числа  при условии, что: а) цифры в числе не повторяются; б) допускается повторение цифр в числе. 8. Используя   цифры   0,   2,   4,   6,   составьте   все   возможные   трехзначные числа, в которых цифры не повторяются.  9. В шахматном  турнире участвуют  9 человек. Каждый  из них  сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно? 10.Сколько   существует   семизначных  телефонных   номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля? 11.Сколько   различных   трехзначных   чисел   (без   повторения цифр) можно составить из цифр  1, 2, 3, 4, 5, таких, которые являются: а) четными; б) кратными 5? 12.В   классе   7   человек   успешно   занимаются   математикой. Сколькими способами   можно   выбрать   из   них  двоих  для участия в математической олимпиаде? 13.В     магазине    «Филателия»    продается      8      различных     наборов  марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора? 14. 15. Сколькими   способами   может   разместиться   семья   из   трех   человек   в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет? Номер машины в некотором городе состоит из двух различных букв, взятых из набора М, Н, К, Т, С, и трех различных цифр. Сколько машин можно обеспечить такими номерами? Подведение итогов