Разработка урока по теме "Перестановки" (Математика, 11 класс)

Урок №1­лекция Тема: «Перестановки» Основная цель: Ознакомить учащихся с понятиями перестановки и  соответствующими формулами для подсчета их числа. Знания и умения учащихся: знать основные правила и методы решения  комбинаторных задач, уметь решать простейшие комбинаторные задачи.                                                                                                 Ход урока. I. Часто из элементов некоторого конечного множества приходится  составлять различные комбинации и затем производить подсчёт числа всех  возможных комбинаций, составленных по некоторому  правилу. Такие задачи  получили название комбинаторных, а раздел математики, занимающийся их  решением, называется комбинаторикой. В комбинаторике имеют дело только с конечными множествами. Этот раздел  имеет большое значение в теории вероятности, теории, вычислительной  техники, теории автоматов, в экономических расчётах. Мы рассмотрим начальные сведения из комбинаторики.                                              Перестановки. Начнём с задачи: Сколько различных трехзначных чисел можно записать  с помощью трёх цифр: 3,5,7 не повторяя их?                                                 Решение: 357,375,537,573,735,753. Таких чисел будет 6. Добавим к данным трем цифрам ещё одну, например 8. Тогда задача примет  вид: Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с помощью  цифр 3,5,7,8, не повторяя их?   Всего будет 24: 357       375      537     573     735     753 8357    8375    8537   8573   8735   8753 3857    3875    5837   5873   7835   7853 3587    3785    5387   5783   7385   7583 3578    3758    5378    5738   7358   7538 Рассмотрим ещё такую задачу: Сколькими различными способами можно  посадить за столом четырёх человек, если к этому столу приставлены  четыре стула? По существу эта задача не отличается от предыдущей о четырех цифрах,  поэтому и ответ будет тот же – 24. Пусть дано произвольное множество из n элементов. Упорядочить множество  – значит поставить какой­либо элемент множества  на первое место, какой­ либо другой – на второе и т.д., пока не останется последний элемент, который займёт последнее, n­ е место. Мы установили, это множество из трёх цифр можно упорядочить шестью  способами, а множество из четырёх цифр­24 . Поставим общий вопрос: сколькими способами можно упорядочить  множество из n элементов, где n­ любое натуральное число?  Каждый способ упорядочения множества каких либо элементов  называется перестановкой этих элементов. Спрашивается: сколько перестановок можно составить из n элементов? Ответ даёт такая теорема: Теорема: Число перестановок из n элементов равно произведению n  первых натуральных чисел, т.е. 1∙2∙3...n. Произведение n первых натуральных чисел обозначают n! ( читается: эн  факториал) Например:   1! = 1;      2! = 1∙2 = 2;      3! = 1∙2∙3 = 6      4! = 1∙2∙3∙4 = 24. II. Закрепление изученного материала: решение задач. Задача № 1    Сколькими способами можно составить список из 9  учеников?                        9! = 1∙2∙3...8∙9 = 362880. Задача № 2    Сколькими способами можно составить маршрут  путешествия, проходящего через 7 городов? 7! = 1∙2...6∙7 = 5040. Задача № 3  Вычислите: а) 6! – 5! = 5! ( 6­1) = 1∙2∙3∙4∙5 = 600 б) 4! ∙ 2! = 24 ∙ 2 = 48  87!6  в)  !6 г)  !8 =  !6  6!5!65  !66 !12 =  !3!9  = 56  )665(!5  =   6!56  10 !9  321!9 1121 д)  = 220  Задача № 4  Сократите дробь  =  36 = 1  36 а)  ! n n )!1 ( =  ( ( n n   )!1 )!1  = n  ! n n (!2 б) )!2                        n в)  )!4  ()!2  ( n n ( 2 =   ( nn  (21 )(1  n )!2  n )!2 =  (  nn 2 )1 )9  ( ( n n    ()!2 n  )(4 n  )(3 n )3  )(3 n )!2  n n   3 4 ( n  )!2 ! n  72 Задача №5  Решите уравнение:   Решение: (n+1) (n+2) =72                  n2 +3n – 70=0                 n1= ­10 (не удовлетворяет условию задачи)                 n2=7 Ответ: n=7 Задача№6. Сколько различных пятизначных чисел можно  записать с  помощью цифр 0,2,4,5,7, не повторяя их? Решение Всего перестановок из пяти цифр будет 5!=120,но перестановки,  начинающиеся с цифры 0,не образуют пятизначное число. Всех чисел, не  начинающихся с нуля, будет столько, сколько можно составить  перестановок из четырех остальных цифр, т.е 4!=24 Ответ 5!­4!=120­24=96 III. Рассмотрим правило умножения: Если элемент А можно выбрать а способами и если после каждого выбора этого элемента существуют в способов выбора элементов В, то  упорядоченную пару элементов (А,В) можно выбрать ав способами. Это правило может быть использовано при решение следующей задачи Задача№7. Сколькими способами можно расставить на полке  12 книг, из  которых   5 книг­ это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов  стояли рядом в произвольном порядке?                                                  Решение Рассмотрим сборники стихов как одну книгу. Тогда надо расставить не 12  книг, а 8. Это можно сделать Р=8!=40320. В каждой из полученных  комбинаций можно выполнить Р . Значит, искомое число перестановок Р   Р=8! 5!=40320 120=483 58400 Задача№8 Сколько различных четных пятизначных чисел, все цифры,  которых различны, можно записать с помощью цифр 1,2,3,4,5?                                                 Решение Если число оканчиваются на 2,то остальные цифры, стоящие перед  2,можно переставить  Р =4!=24 Если число оканчивается на 4,то остальные 4 цифры, стоящие  перед  4,можно переставить Р =4!=24 Тогда всего вариантов:24+24=48 Ответ:48 Задача №9. Выполните действия: 25 5( mm )!1 m 1 m 5(5   )!2 3 5 1        = mm 5( 3  5( 5)(1 m m 5()!  m 5(5)1  )1 m Решение   )!2  3 mm 5( m  5( 5(5)1 )! m  )!2  2 mmm 5(5  . m . 5(321 .  5)(2 5)(1 m m   )!2 )5)(1 m  Задача №10 Из цифр 1,2,3,4,5,6,7 составляют всевозможные семизначные  числа без повторения цифр. Сколько среди них чисел не начинающихся  цифрой 5?                                                 Решение P7 – P6= 7! – 6! = 6!(7­1)= 4320 IV. Число перестановок из n элементов с повторениями                         Формула  P (n1, n2...nk) =  nn ! 1 ! n !... 2 kn ! Задача №11. Сколько семизначных чисел можно составить из  трех  «единиц», двух «пятерок» и двух «девяток»?                                                Решение  . . . . . . . . . .  !7 . 76543.21 . 2121321 !2!2!3                                        .                                       Ответ: 42 числа. V.  Итог урока VI. Задание на дом: конспект   Задача №1 .В пассажирском поезде 14 вагонов. Сколькими способами  можно распределить по вагонам 14 проводников, если за каждым вагоном  закрепляется один проводник?  (Ответ: Р14= 14!) Задача№2. Вычислить:  14                                                   Решение              14 14 14 28 !14!15  !14   15(!14 !14 )1 Задача №3. Сократить дробь: ( n n (   )!1 )!3     Ответ: (n­2)(n­1)  Задача№4. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия,  биология, физкультура, химия, история. Сколькими способами можно  составить расписание на этот день так, чтобы два урока математики стояли  рядом? Ответ:240 способов. Задача№5. Сколько среди всех перестановок букв слова «высота» таких,  которые начинаются с буквы «а»,а оканчиваются буквой «т». Ответ:24 анаграммы.