В работе представлена методическая разработка урока математики по разделу «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» для учащихся 11 класса по теме «Сочетания». Урок №1-лекция. Тема: «Сочетания» Основная цель: Ознакомить учащихся с понятием сочетания и соответствующими формулами для подсчета их числа ( знать основные правила и методы решения комбинаторных задач, уметь решать простейшие комбинаторные задачи).
Урок №1
Тема: «Сочетания»
Цели урока:
образовательная
обучать решению задач по комбинаторике
развивающая
развивать логическое мышление
расширять математический кругозор
развивать навыки научноисследовательской деятельности
воспитательная
воспитывать культуру письма, речи
развивать умения работать в группе
формировать чувство ответственности за принятое решение
Задачи урока:
дать определение сочетания, основные формулы
показать способы решения задач
Ход занятия
1. Организационный момент, постановка целей и задач урока.
2. Объяснение нового материала.
Сочетанием из данных n элементов по k называют любую группу из k этих
элементов
Например, из трех элементов
сочетания по два элемента:
можно составить следующие
k
1(
n
)
xxx
1
,
,
2
31 xx
,
2
;
1 xx
,
3
;
2 , xx
3
2
4
3
4
2
3
,
3
2
3
;
;
,
,
xxx
1
xxx
1
,
,
,
,
по 3:
;
.
,
xxxx
,
1
2
4
,
xxx
1
4
,
xxx
Других сочетаний из рассматриваемых трех элементов по 2 нет.
Приведем сочетания из четырех элементов
Подчеркнем, что понятие сочетания не связано с расположением
(порядком) элементов. Если в данном сочетании переставить какимлибо
образом его элементы, то оно (как сочетание) не изменится.
Число сочетаний из n элементов по k обозначают C k
Combination – сочетание) и читают: «цэ из эн по ка».
Вычисляя число размещений, мы получили пары, отличающиеся
порядком элементов, например
составить две перестановки, т. е.
так как число размещений
на число перестановок внутри группы
Для любого k количество размещений из n элементов по k можно
вычислить по формуле
21xx
2P упорядоченных пар, поэтому
nA равно количеству групп
. Из двух элементов можно
n (от фр.
12 xx
.2P
и
2
2
n
C
CP
2
nC 2 , умноженному
2
n
,
k
A
n
CP
k
.k
n
(1)
Действительно, из n элементов можно составить
групп по k
элементов, а в каждой группе можно выполнить
образом, число всех размещений
числа перестановок внутри этих групп
Следовательно,
kP перестановок. Таким
k
nA равно произведению числа групп
k
nС и
kP , т. е. справедлива формула (1).
С
k
n
(
nn
)1
k
A
n
P
k
(2)
kn
...
k
(
!
)1
Пример. Сколькими различными способами из семи участников
математического кружка можно составить команду из двух человек для
участия в олимпиаде?Так как порядок, в котором будут выбраны два человека, безразличен,
то число равновозможных случаев составить команду равно
С
2
7
67
!2
.21
Докажем справедливость формул
)!
(3)
!
n
(!
knk
kn
k
n C
n
k
k
1
C
n
n
C
C
C
(4)
(5)
k
.1
1
n
C k
n
Докажем формулу (3)
kn
...
k
nn
(
!
C k
n
)1
)1
(
nn
(
)1
...
(
kn
knk
(!
)!
)(1
kn
)!
!
n
(!
knk
,
что и
)!
требовалось доказать.
Доказать самостоятельно формулу (4)
C
k
n
!
n
(!
knk
)!
!
n
(
kkn
)!
!
kn
n
C
,
( формулу 5 доказать самостоятельно дом. задание для сильных учащихся.)
C
k
n
C
k
n
1
=
kk
(!
)(1
)!
!
n
(!
knk
(!
)1
nn
kn
()!1
(
k
!
n
()!1
kn
kn
)
(
k
)!1
!
n
)!1
(!
knk
)!1
(
n
)1
n
((
k
(
kn
nC
,
.
))!1
(
1
kn
1
)
1
k
!
n
knk
(!
)!1
k
(
kkn
)!1
k
nС определялись для
Замечание. Выше числа
рассматривать число
При k=0 формула (2) не имеет смысла, но формула (3) имеет смысл. В
самом деле, так как считается, что 0! = 1, то
nC по определению равное 1:
Иногда удобно
0 nC
.1k
,0
.1
С k
n
!
n
n
(!0
!
n
!1
n
)!0
.1
Но тогда при k = 0 имеют смысл также и формулы (4) и (5):
C
k
n
C
0
n
!
n
1
n
!
!0!
n
)!
1
Cn
n
nnn
(!
10
C
n
1
!
n
1!
n
1
C
0
n
,Поэтому в дальнейшем при использовании чисел
пользоваться формулой (3), считая, что
k
0
.
n
k
nС будем
3. Проверка усвоения материала (приложение 2).
1. Повторяем «факториал»
1. Вычислите:
а) 6! + 7!;
б)
.
2. Сократите дробь
.
3. Решите уравнение если n N:
(2n – 3)! = 23(2n – 4)!.
2. Упражнения на использование формулы (3)
1. Найдите:
а)
; (4) б)
;( 21) в)
; (5) г)
; (35) д)
, (28) е)
(10).
4. Итоги урока.
Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока, задаются
вопросы по изученным определениям.
Сочетания урок 1.doc
