Разработка урока по теме "Сочетания" (Математика, 11 класс)

Урок  №1 Тема: «Сочетания» Цели урока: образовательная   обучать решению задач по комбинаторике развивающая   развивать логическое мышление  расширять математический кругозор  развивать навыки научно­исследовательской деятельности воспитательная  воспитывать культуру письма, речи   развивать умения работать в группе  формировать чувство ответственности за принятое решение Задачи урока:   дать определение сочетания, основные формулы  показать  способы решения задач Ход занятия 1. Организационный момент, постановка целей и задач урока. 2. Объяснение нового материала.  Сочетанием из данных  n элементов по k называют любую группу из k этих элементов  Например,   из   трех   элементов   сочетания по два элемента:   можно   составить   следующие k  1( n ) xxx 1 , , 2 3 1 xx , 2 ; 1 xx , 3 ; 2 , xx 3 2 4 3 4 2 3 , 3 2 3 ; ; , , xxx 1 xxx 1 , , , ,  по 3: ; . ,                                                                       xxxx , 1 2 4 , xxx 1 4 , xxx              Других сочетаний из рассматриваемых трех элементов по 2 нет.  Приведем сочетания из четырех элементов                                                                           Подчеркнем, что понятие сочетания не связано с расположением  (порядком) элементов. Если в данном сочетании переставить каким­либо  образом его элементы, то оно (как сочетание) не изменится.             Число сочетаний из n элементов по k обозначают C k Combination – сочетание) и читают: «цэ из эн по ка».             Вычисляя число размещений, мы получили пары, отличающиеся  порядком элементов, например  составить две перестановки, т. е.  так как число размещений  на число перестановок внутри группы ­               Для  любого k количество размещений из n элементов по k можно  вычислить по формуле  21xx 2P  упорядоченных пар, поэтому  nA   равно количеству групп ­  . Из двух элементов можно  n  (от фр.  12 xx .2P  и  2 2 n C  CP 2 nC 2 , умноженному  2 n ,                                             k A n  CP k .k n                                                                     (1)              Действительно, из n элементов можно составить   групп по k  элементов, а в каждой группе можно выполнить  образом, число всех размещений  числа перестановок внутри этих групп  Следовательно,  kP  перестановок. Таким  k nA  равно произведению числа групп  k nС  и  kP , т. е. справедлива формула (1).                                            С k n  ( nn  )1  k A n P k (2) kn  ... k ( ! )1                                                        Пример. Сколькими различными способами из семи участников  математического кружка можно составить команду из двух человек для  участия в олимпиаде? Так как порядок, в котором будут выбраны два человека, безразличен, то число равновозможных случаев составить команду равно  С 2 7  67 !2  .21                  Докажем справедливость формул    )!  (3)   ! n  (! knk     kn k n C n    k k 1 C n n C C C (4)  (5)    k .1  1 n                                                 C k n                                                                                                                        Докажем формулу (3)   kn ... k nn ( ! C k n  )1 )1  (  nn (  )1  ... ( kn knk (! )!  )(1 kn  )!  ! n  (! knk ,  что и  )! требовалось доказать. Доказать самостоятельно формулу (4) C k n  ! n  (! knk  )! ! n ( kkn )!  !  kn n C , ( формулу 5 доказать самостоятельно дом. задание для сильных учащихся.) C k n  C k n  1 = kk (!  )(1 )!  ! n  (! knk  (! )1 nn   kn ()!1  ( k  ! n  ()!1 kn kn  )  ( k  )!1   ! n  )!1 (! knk  )!1 ( n  )1 n ((  k (  kn nC , . ))!1  ( 1  kn  1  ) 1 k  ! n  knk (!  )!1  k   ( kkn  )!1 k nС  определялись для                Замечание. Выше числа  рассматривать число                                                                          При k=0 формула (2) не имеет смысла, но формула (3) имеет смысл. В  самом деле, так как считается, что 0! = 1, то nC  по определению равное 1:  Иногда удобно  0 nC .1k ,0 .1                                                    С k n  ! n  n (!0  ! n  !1 n )!0  .1             Но тогда при k = 0 имеют смысл также и формулы (4) и (5):                                             C k n                                             C 0 n    ! n   1 n !  !0! n )! 1 Cn n nnn (!  10 C n  1  ! n  1! n  1 C 0 n , Поэтому в дальнейшем при использовании чисел  пользоваться формулой (3), считая, что  k  0 . n k nС  будем  3. Проверка усвоения материала (приложение 2).  1. Повторяем «факториал» 1. Вычислите: а) 6! + 7!; б)  . 2. Сократите дробь    . 3. Решите уравнение если n  N: (2n – 3)! = 23(2n – 4)!.  2. Упражнения на использование формулы (3) 1. Найдите: а)  ;  (4) б)  ;( 21) в)  ; (5) г)  ; (35)  д)  , (28) е)  (10). 4. Итоги урока. Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока, задаются вопросы по изученным определениям.