Разработка урока "Решение иррациональных неравенств"( математике, 11 класс)

Учитель математики: Фролова Марина Александровна.( Общеобразовательное  частное учреждение «Русская школа» г.Москва). Урок алгебры и начала анализа в 11 классе( в рамках итогового повторения и  подготовки к ЕГЭ). Тема: Решение иррациональных неравенств. Тип урока: совершенствование умений и навыков. Цели урока:   дидактическая:  научить применять полученные знания при решении заданий повышенного  уровня сложности, стимулировать учащихся к овладению рациональными приемами и  методами решения; развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать  формирование математической речи, вырабатывать умение анализировать и сравнивать; воспитательная: прививать аккуратность и трудолюбие, приучать к эстетическому и  грамотному оформлению записи в тетради. 1.Организационный этап урока. (1мин.) Приветствие учащихся. Отметить отсутствующих учащихся. 2.Постановка цели урока (3мин.) ­Сегодня мы продолжим отрабатывать навыки решения иррациональных неравенств,  используя не только стандартные методы и способы, но и нестандартные. (Записывается дата, тема урока) 3.Проверка домашнего задания(10 мин.) На дом  было  предложено решить иррациональное неравенство: =5­ x различными  методами.  У доски 4 человека показывают свои решения. (Если учащиеся не могут показать все методы  решений, то правильное решение показывается на интерактивной доске.) 1 способ. Метод равносильных преобразований. = 5­ х, ­15 Ответ:[­15;1]. 2 способ. Метод интервалов.    +x­5 Пусть f(x)=  +x­5 D(f)=[­15;+∞) f(x)=0, если       x=1. f(10)>0 f(0)<0,значит f(x)≤0 при ­15≤x≤1,т.е.   ≤5­x  при ­15≤x≤1. Ответ :[­15;1]. 3 способ. Метод замены переменной.    Пусть   =y, где y≥0, тогда   x+15=y2,  x=y2 ­15. Неравенство примет вид: y≤5­(y2  ­15) y≤20­ y2  y2  +y­20≤0 (y+5)(y­4)≤0 ­5≤y≤4, так как y≥0, то 0≤y≤4. Выполнив обратную замену, получим: 0≤ ≤4 0≤x+15≤16 ­15≤x≤1 Ответ:[­15;1] 4 способ. Функционально –графический.   Рассмотрим функции y(x)= промежутке [­15;+∞). Так как y(х) ­ возрастающая функция, а g(х)­ убывающая функция, то  при условии существования значения x, при котором значения функций f и g равны, это  значение единственное. Подбором находим x=1­единственный корень уравнения   в их общей области определения, т.е. на   и g(x)=   тогда y(x)≤g(x) при ­15≤x≤1. Ответ: [­15;1] В это время остальные учащиеся класса устно отвечают на вопросы: а)Какие неравенства называются иррациональными? Ответ: Иррациональными неравенствами называются неравенства, у которых неизвестные  величины находятся под знаком корня. б)Перечислите методы решения иррациональных неравенств. Ответ: Метод интервалов, метод равносильных преобразований, метод замены переменной,  функционально­графический метод. в)Какой метод решения является основным? Ответ: основным методом решения иррациональных неравенств является метод равносильных преобразований. г)Что следует помнить при решении иррациональных неравенств? Ответ: При возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается  равносильное неравенство, а при возведении в четную степень равносильное неравенство  получается лишь, когда обе части неравенства неотрицательны. 4.Выполнение упражнений: 1) устно: найти целые решения неравенства(2 мин): решает один ученик, другие следят за  верностью рассуждений. Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ. + 5  <3 Решение: Т.к. ОДЗ  неравенства :  1≤х≤2, то целыми решениями могут быть только числа 1 или  2.проверкой убеждаемся, что х=2 ­единственное целое решение неравенства. 2)Письменное решение неравенств. а) У доски один учащийся решает неравенство(4мин) Учитель следит за правильностью  решения и оценивает ответ. Решить неравенство:  >0 Решение. Заметим, что x2+2x+3>0 при любом значении переменной. Умножим обе части неравенства >0  >0 x2­x­2>0 (x+1) (x­2)>0  Ответ:( . В это время другой ученик решает индивидуально  на боковой доске, затем проверяется  решение, исправляются ошибки. Учитель следит за правильностью решения и оценивает  ответ. Решить неравенство: >6­x Решение . Данное неравенство равносильно совокупности двух систем. а)                     x>6. б)  2                         . б)Один ученик решает у доски.  Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ.( 4мин)  +  ≤ Решение. Данное неравенство равносильно системе     .         Понятно, что эта система решений не имеет. Ответ: решений нет. 3 ученика работают по карточкам. №1. Решить неравенство функционально­графическим методом:  +  <6. №2. Решить неравенство: (x+2)  ≥0. №3.Решить неравенство: 3  –   >1 в) у доски один ученик решает, другие записывают решение в тетрадь. Учитель следит за  правильностью решения и оценивает ответ.(5мин) Решить неравенство ­  >1. Решение. Пусть 3x2  +5x+2=t, t≥0. Тогда   –  >1,   >  +1. Это неравенство равносильно системе         Отсюда 0≤ t <4.Теперь достаточно решить систему             3)Самостоятельная работа. Учащиеся решают самостоятельно, затем решение проверяется по изображению на  интерактивной доске.(8 мин) Решить неравенство методом интервалов.  ≤3x­4 .  Решение. Рассмотрим функцию  f(x)=   ­3x+4. 1)D(x)=R, поскольку x2 ­3x+6≥0 для любого   x; 2)функция f (x) –непрерывна на R; 3) Найдем корни уравнения f(x) =0. Данное уравнение равносильно системе:     Получаем единственный корень x=2,таким образом, f(x) сохраняет свой знак на промежутках  ( Определим знак f(x) на каждом из указанных промежутков: 1) f(x)>0  на (­  +4>0; 2) f(x)<0  на  (2;+ ,так как f(3) =  ­9+4=  ­5<0. Ответ: [2;+ 5.Домашнее задание.(5 мин) Заранее записано на интерактивной доске. Записывается в  тетрадь, учитель поясняет задание, обращает внимание, что аналогичные были решены на  уроке. Решить неравенства: 1. 2. 3. 4.  < х­1  <  +  .  +  >3.  <2x+1. 5.Необязательное задание. Найти сумму и число целых корней неравенства:  >0 6.Подведение итогов урока.(3 мин).