Материал используется при подготовке к ЕГЭ по математике. Данной теме к обычном курсе математике уделяется немного места, поэтому при подготовке к экзамену материал может быть интересен. Можно использовать материал и для учащихся, которые не сдают профильный уровень, а просто им нравится предмет.
Учитель математики: Фролова Марина Александровна.( Общеобразовательное
частное учреждение «Русская школа» г.Москва).
Урок алгебры и начала анализа в 11 классе( в рамках итогового повторения и
подготовки к ЕГЭ).
Тема: Решение иррациональных неравенств.
Тип урока: совершенствование умений и навыков.
Цели урока:
дидактическая: научить применять полученные знания при решении заданий повышенного
уровня сложности, стимулировать учащихся к овладению рациональными приемами и
методами решения;
развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать
формирование математической речи, вырабатывать умение анализировать и сравнивать;
воспитательная: прививать аккуратность и трудолюбие, приучать к эстетическому и
грамотному оформлению записи в тетради.
1.Организационный этап урока. (1мин.)
Приветствие учащихся. Отметить отсутствующих учащихся.
2.Постановка цели урока (3мин.)
Сегодня мы продолжим отрабатывать навыки решения иррациональных неравенств,
используя не только стандартные методы и способы, но и нестандартные.
(Записывается дата, тема урока)
3.Проверка домашнего задания(10 мин.)
На дом было предложено решить иррациональное неравенство:
=5 x
различными методами.
У доски 4 человека показывают свои решения. (Если учащиеся не могут показать все методы
решений, то правильное решение показывается на интерактивной доске.)
1 способ.
Метод равносильных преобразований.
= 5 х,15
Ответ:[15;1].
2 способ.
Метод интервалов.
+x5
Пусть f(x)=
+x5
D(f)=[15;+∞)
f(x)=0, если
x=1.
f(10)>0
f(0)<0,значит f(x)≤0 при 15≤x≤1,т.е.
≤5x при 15≤x≤1.
Ответ :[15;1].
3 способ.
Метод замены переменной.
Пусть
=y, где y≥0, тогда x+15=y2, x=y2 15.Неравенство примет вид:
y≤5(y2 15)
y≤20 y2
y2 +y20≤0
(y+5)(y4)≤0
5≤y≤4, так как y≥0, то 0≤y≤4.
Выполнив обратную замену, получим:
0≤
≤4
0≤x+15≤16
15≤x≤1
Ответ:[15;1]
4 способ.
Функционально –графический.
Рассмотрим функции y(x)=
промежутке [15;+∞). Так как y(х) возрастающая функция, а g(х) убывающая функция, то
при условии существования значения x, при котором значения функций f и g равны, это
значение единственное. Подбором находим x=1единственный корень уравнения
в их общей области определения, т.е. на
и g(x)=
тогда y(x)≤g(x) при 15≤x≤1.
Ответ: [15;1]
В это время остальные учащиеся класса устно отвечают на вопросы:
а)Какие неравенства называются иррациональными?
Ответ: Иррациональными неравенствами называются неравенства, у которых неизвестные
величины находятся под знаком корня.
б)Перечислите методы решения иррациональных неравенств.
Ответ: Метод интервалов, метод равносильных преобразований, метод замены переменной,
функциональнографический метод.
в)Какой метод решения является основным?
Ответ: основным методом решения иррациональных неравенств является метод равносильных
преобразований.г)Что следует помнить при решении иррациональных неравенств?
Ответ: При возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается
равносильное неравенство, а при возведении в четную степень равносильное неравенство
получается лишь, когда обе части неравенства неотрицательны.
4.Выполнение упражнений:
1) устно: найти целые решения неравенства(2 мин): решает один ученик, другие следят за
верностью рассуждений. Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ.
+ 5
<3
Решение:
Т.к. ОДЗ неравенства : 1≤х≤2, то целыми решениями могут быть только числа 1 или
2.проверкой убеждаемся, что х=2 единственное целое решение неравенства.
2)Письменное решение неравенств.
а) У доски один учащийся решает неравенство(4мин) Учитель следит за правильностью
решения и оценивает ответ.
Решить неравенство:
>0
Решение.
Заметим, что x2+2x+3>0 при любом значении переменной. Умножим обе части неравенства
>0
>0 x2x2>0 (x+1) (x2)>0
Ответ:(
.
В это время другой ученик решает индивидуально на боковой доске, затем проверяется
решение, исправляются ошибки. Учитель следит за правильностью решения и оценивает
ответ.
Решить неравенство:
>6x
Решение .
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем.
а)
x>6.б)
2
.
б)Один ученик решает у доски.
Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ.( 4мин)
+
≤
Решение.
Данное неравенство равносильно системе
. Понятно, что эта система решений не имеет.
Ответ: решений нет.
3 ученика работают по карточкам.
№1.
Решить неравенство функциональнографическим методом:
+
<6.
№2.
Решить неравенство:
(x+2)
≥0.
№3.Решить неравенство:
3
–
>1
в) у доски один ученик решает, другие записывают решение в тетрадь. Учитель следит за
правильностью решения и оценивает ответ.(5мин)
Решить неравенство
>1.
Решение.
Пусть 3x2 +5x+2=t, t≥0.
Тогда
–
>1,
> +1.
Это неравенство равносильно системе
Отсюда 0≤ t <4.Теперь достаточно решить систему
3)Самостоятельная работа.
Учащиеся решают самостоятельно, затем решение проверяется по изображению на
интерактивной доске.(8 мин)
Решить неравенство методом интервалов.
≤3x4 .
Решение.
Рассмотрим функцию f(x)=
3x+4.
1)D(x)=R, поскольку x2 3x+6≥0 для любого x;
2)функция f (x) –непрерывна на R;
3) Найдем корни уравнения f(x) =0.
Данное уравнение равносильно системе:
Получаем единственный корень x=2,таким образом, f(x) сохраняет свой знак на промежутках
(Определим знак f(x) на каждом из указанных промежутков:
1)
f(x)>0 на (
+4>0;
2)
f(x)<0 на (2;+
,так как f(3) =
9+4=
5<0.
Ответ: [2;+
5.Домашнее задание.(5 мин) Заранее записано на интерактивной доске. Записывается в
тетрадь, учитель поясняет задание, обращает внимание, что аналогичные были решены на
уроке. Решить неравенства:
1.
2.
3.
4.
< х1
<
+
.
+
>3.
<2x+1.
5.Необязательное задание.
Найти сумму и число целых корней неравенства:
>0
6.Подведение итогов урока.(3 мин).