Решение экономических задач на оптимизацию

с Алгоритм   решения   задач   на оптимизацию   помощью математического моделирования: 1   этап.  Составление   математической модели задачи 2 этап. Работа с составленной моделью. 3   этап.   Анализ   решения.   Ответ   на вопрос задачи. Примеры решения задач. Задача 1.  В двух областях есть по 50 рабочих,   каждый   из   которых   готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один   рабочий   за   час   добывает   0,2   кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области   для   добычи х кг   алюминия   в день   требуется х2 человеко­часов  труда, а   для   добычи у кг   никеля   в   день требуется у2 человеко­часов   труда.   Обе области поставляют добытый металл на завод,   где   для   нужд   промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2   кг   никеля.   При   этом   области договариваются   между   собой   вести добычу   металла   так,   чтобы   завод   мог произвести   наибольшее   количество сплава.   Сколько   килограммов   сплава при   таких   условиях   ежедневно   сможет произвести завод? Решение.    Составление   математической 1   этап.   модели задачи  f(х,у)=2х+ √10у+¿ (50­х)+ √10(50−у)=¿ ...= 60+1,2 √10(50−у)+0,6√10у , получили f (у).    Обл асть Всег о  1  2  50 чел 50 чел Масс а, кг  Алюминий Никель Ко л­ во, чел х  Кол­ во, чел 50­х 0,2∙х∙ 10=2х √10у50­у у Масса, кг (50­х)∙0,1∙10 =50­х √10(50−у) Всего алюминия 2х+ √10у Всего никеля (50­х)+ √10(50−у) По   условию,   на   производство   сплава требуется никеля в 2 раза больше, значит 2(2х+ √10у )  (50­х)+ √10(50−у),отсюда х=¿   10   +   0,2   √10(50−у) ­   0,4 √10у . Рассмотрим   функцию,   определяющую массу всего металла  =   2 этап. Работа с составленной моделью.  Исследуем   функцию  f(у)=60+1,2 √10(50−у)+0,6√10у   на   наибольшее значение. D(f) = [0; 50] 3 6 f'(у)= √10у   ­ √10(50−у)   ,  f'(у)=0 при   у=10.   Определим,   как   ведет   себя производная при переходе через точку у =10  f '(у)                                                 0[_______+_____10________ −¿ _____ _]50 f (у)                точка  max Итак, у=10­точка максимума 3   этап.   Анализ   решения.   Ответ   на вопрос задачи. Значит,   наибольшее   значение   функция принимает   при   у=10.   Найдем  f(10)= 60+1,2 √10(50−10)+0,6 √10∙10   60+1,2∙20+6=90.   Ответ: 90 кг сплава   = Задача 2. Предприниматель купил здание и собирается   отрыть   в   нем   отель.   В   отеле могут быть стандартные номера площадью 27   м2  и   номера   «люкс»   площадью   45   м2  .  площадь, которую можно отвести Общая    под   площади,   составляет   855   м2  . Предприниматель   может   поделить   эту площадь   под   номерами   различных   типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000рублей в сутки, а номер «люкс» ­ 3000   рублей   в   сутки.   Какую   наибольшую сумму денег может заработать в сутки на своем отеле предприниматель?  Решение.    1   этап. модели задачи  Пусть  n стандартных номеров, а m номеров «люкс», по условию 27n+45m=855      Составление   математической   Т.к.  f(n,m)=2000n Рассмотрим   функцию +3000m­   прибыль   от   сдачи   в   аренду   по   условию номеров   отеля. 27n+45m=855,   отсюда  m=   19   ­   0,6n. Учитывая   замену,   получим   функцию   от f(m,n)=f(n)   =   2000n+3000m  =   2000n  + 3000(19   ­   0,6n)=   2000n+57000­1800n =200n+57000, 2 этап. Работа с составленной моделью.  f(n)=200n+57000   возрастающая   (k>0).   По смыслу   задачи  f(n)будет   принимать наибольшее   значение   при   наибольшем  n, удовлетворяющим   условию:   3n+5m=95, значение n=30. 3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи. Наиб. f(n)=f(30)=200∙30+57000= 63000 Ответ:63000р. Задачи для самостоятельного решения.  1)  В   двух   областях   есть   по   100   рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов   в   сутки   на   добыче   алюминия   или никеля. В первой области один рабочий за час  добывает  0,3  кг  алюминия  или  0,1   кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия   в   день   требуется х2 человеко­ часов,   а   для   добычи у кг   никеля   в   день требуется у2 человеко­часов   труда.   Обе области   поставляют   добытый   металл   на завод,   где   для   нужд   промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между   собой   вести   добычу   металла   так, чтобы   завод   мог   произвести   наибольшее количество   сплава.   Сколько   килограммов сплава   при   таких   условиях   ежедневно сможет произвести завод? (Ответ: 240 кг) 2)  Предприниматель   купил   здание   и собирается   открыть   в   нем   отель.   В   отеле могут быть стандартные номера площадью 27   квадратных   метров   и   номера   «люкс» площадью   45   квадратных   метров.   Общая площадь,   которую   можно   отвести   под номера,   составляет   981   квадратный   метр. Предприниматель   может   поделить   эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4000   рублей   в   сутки.   Какую   наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем   предприниматель? (Ответ: 86 000 рублей) отеле   Алгоритм и примеры решения задач  на оптимизацию методами « В мире не происходит ничего, математического анализа в чем бы ни был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума!» Леонард Эйлер учитель математики     ГБОУ ООШ с. Малое Ибряйкино м.р. Похвистневский               Самарской области Подготовила  Бурякова Вера Николаевна,