Решение экономических задач на оптимизацию. (11 rkfcc)

Урок математики в 11 классе . Преподаватель Сафаргалиева Ф.А.  Тема: Решение экономических задач на оптимизацию.  Цель:  рассмотрение   решения   задач   типа   17   ЕГЭ­2018   с   помощью   исследования функции   на   наибольшее   (наименьшее)   значение   или   методами   математического анализа                                      « В мире не происходит ничего,  в чем бы ни был виден смысл  какого­нибудь максимума или минимума!» Леонард Эйлер  Тема моего урока «Решение экономических задач на оптимизацию».  Мотивация.  Задачи   оптимизации   очень   часто   встречаются   в   управленческой, финансовой   и   научной   деятельности.   Они   позволяют   отыскать   наилучшее (оптимальное)   решение,   дающее   максимальную   прибыль   или   обеспечивающее минимальные   затраты.   При   этом   требуется   учитывать   ряд   дополнительных ограничений на значения используемых параметров.   Впервые в 2015 году в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня появились экономические   задачи   на   банковские   вклады,   кредиты,   которые   решались составлением уравнения. Такие задачи относятся к задачам повышенного уровня. Ненулевые   баллы   по   этому   заданию   получили     около   15%   выпускников.   Это неплохой   показатель.   Несмотря   на   это,   в   методических   рекомендациях   для учителей,   подготовленных   на   основе   анализа   типичных   ошибок   участников   ЕГЭ 2015   года   по  математике     авторами   КИМов    И.В.Ященко,   А.В.Семеновым, И.Р.Высоцким и опубликованных на сайте ФИПИ, выявляются ключевые проблемы, среди   которых:   неумение   проводить   анализ   условия,   искать   пути   решения, применять известные алгоритмы в измененной ситуации.   Авторы   предлагают   включить   в   рабочие   программы   практико­ориентированные задания, выстроить систему изучения практической, жизненно важной математики во все школьные годы. Это элементы финансовой и статистической грамотности, умение принимать решения на основе расчетов, навыки самоконтроля с помощью оценки возможных значений величин на основе жизненного опыта.    В   2018   году   наряду   с   такими   задачами   можно   встретить   задачи   на   выбор оптимального распределения ресурсов: поле и фермер, предприниматель и отель, добыча алюминия и никеля и производство сплава и другие. Понятно, что никаких экономических знаний для решения таких задач не требуется. Необходимо лишь понять смысл задачи, перевести его на язык математики и решив математическую задачу  вернуться к условию, правильно сопоставив полученное решение с условием задачи. При решении такого вида задач можно составить уравнение и найти его решение в натуральных или целых числах.   Мы же с вами будем   решать задачи такого   типа   методами   математического   анализа,   т.е.   составлением   функции   и исследованием ее на наибольшее (наименьшее) значение.   Итак, переходим к уроку. 1 этап урока. Актуализация опорных знаний Начнем   с   повторение   теоретического   материала,   используемого   на   уроке. Предлагаю работу в парах.  А) Таблица производных Б) Правила нахождения производных. Производная сложной функции В) Какова связь между монотонностью некоторой функции и ее производной Какие точки экстремума существуют и как определить их вид. Г) Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего)  значения функции   f(x) [a;b] отрезке   Д)  Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего)  значения функции   f(x)   на   на интервале (а; в) (слайд   5)  Вспомним   алгоритм   решения   задач   на   оптимизацию   с   помощью математического моделирования: 1 этап. Составление математической модели задачи. 2 этап. Работа с составленной моделью. 3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи. 2 этап урока.    Применение знаний при решении задач. Рассмотрим задачу из открытого банка заданий по математике ЕГЭ ­2018 В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко­часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко­часов   труда.   Обе   области   поставляют   добытый   металл   на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором   на   1   кг   алюминия   приходится   2   кг   никеля.   При   этом   области договариваются   между   собой   вести   добычу   металла   так,   чтобы   завод   мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? Впервые встретившись с этой задачей, у меня возникло замешательство: как решать.  1 этап.     Составление математической модели задачи (слайд 8) Область Всего  Алюминий Никель 1  2  50 чел. 50 чел. х  у Кол­во, чел Масса, кг  0,2∙х∙10=2х √10у Кол­во, чел Масса, кг 50­х 50­у (50­х)∙0,1∙10 =50­х √10(50−у) (слайд 9) Всего алюминия 2х+ √10у Всего никеля (50­х)+ √10(50−у) По   условию,   на   производство   сплава   требуется   никеля   в   2  раза   больше,   значит 2(2х+ √10у ) = (50­х)+ √10(50−у),отсюда х=¿  10 + 0,2  √10(50−у) ­ 0,4 √10у . Рассмотрим функцию, определяющую массу всего металла  (х,у)=   2х+ √10у+¿ (50­х)+ √10(50−у)=¿ ...=   60+1,2 √10(50−у)+0,6√10у , f  получили f (у). 2 этап. Работа с составленной моделью. (слайд 10) Исследуем   функцию  f(у)=60+1,2 √10(50−у)+0,6√10у   на   наибольшее   значение. D(f) = [0;50] f'(у)= 3 √10у   ­ 6 √10(50−у)   ,  f'(у)=0   при   у=10.   Определим,   как   ведет   себя производная при переходе через точку у =10  f '(у)                                                  0[_________+___________10____________ −¿ ____________]50 f (у)                              точка  max 3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.  (слайд 11) Значит, наибольшее значение функция принимает при у=10. Найдем  f(10)= 60+1,2 √10(50−10)+0,6 √10∙10  = 60+1,2∙20+6=90.  Ответ: 90 кг сплава  3 этап урока.  Самостоятельная работа. А сейчас предлагаю решить аналогичную задачу таким же способом.  Задача такая.  В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко­часов, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко­часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются   между   собой   вести   добычу   металла   так,   чтобы   завод   мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?  У вас на столах лежат бланки для решения данной задачи. Заполните, пожалуйста, их. Область Всего  Алюминий Никель 1  100 чел. Кол­во, чел Масса, кг  0,3∙х∙10=3х х  100 чел. у 2  Всего алюминия 3х+ √10у Всего никеля (100­х)+ √10(100−у) √10у Кол­во, чел 100­х 100­у Масса, кг (100­х)∙0,1∙10 =100­х √10(100−у) По условию, на производство сплава требуется алюминия в 2 раза больше, значит 3х+ √10у  = 2((100­х)+ √10(100−у) ¿,отсюда х=¿  40 + 0,4  √10(100−у) ­ 0,2 √10у . Рассмотрим функцию, определяющую массу всего металла  f (х,у)= 3х+ √10у+¿ (100­х)+ √10(100−у)=¿ ...= 180+1,8 √10(100−у)+0,6√10у , получили f (у).  2 этап. Работа с составленной моделью.  Исследуем функцию f(у)=180+1,8 √10(100−у)+0,6√10у  на наибольшее значение. D(f) = [0;100] f'(у)= 3 √10у  ­ 9 √10(100−у)  , f'(у)=0 при у=10.  f '(у)                                                  0[_________+___________10____________ −¿ ____________]100 f (у)                              точка  max 3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.  Значит, наибольшее значение функция принимает при у=10. Найдем f(10)= 180+1,8 √10(100−10)+0,6√10∙10  = 180+1,8∙30+6=240.   Ответ: 240 кг сплава 4 этап урока. Домашнее задание.  В качестве домашнего задания вам предлагается разобрать решение   задачи №2 и аналогичную задачу решить самостоятельно.  5 этап урока. Рефлексия.   Обратите еще раз внимание на эпиграф к уроку: «В мире не происходит ничего, в  чем бы ни был виден смысл какого­нибудь максимума или минимума!» На уроке мы решали  задачи, связанные с деятельностью человека. При решении задач  переходили от реальных ситуаций к их математическим моделям. Мы убедились, что такое абстрактное понятие, как производная, помогает        решать различные жизненные задачи.  Я желаю всем, чтобы ваши знания, умения       помогали вам преодолевать препятствия на  жизненном пути. Приложение Целесообразность использования презентации на уроке   определена следующими факторами:    1. интенсификацией учебно­воспитательного процесса:  улучшением  наглядности изучаемого материала,  увеличением количества предлагаемой информации,  уменьшением времени подачи материала;      2.повышением эффективности усвоения учебного материала за счет групповой  и самостоятельной деятельности учащихся.  Возможные варианты применения иллюстрированных решений 1. Используется учителем для объяснения решений данных заданий на уроках обобщающего повторения или на занятиях по подготовке к ЕГЭ. 2. Применяется учащимися в качестве самопроверки полученного решения. 3. Для дистанционного обучения учащихся.