Решение задач на проценты и процентные отношения

МБОУ «СОШ №42 с углублённым изучением английского языка и математики» г. Петрозаводск Решение задач на  проценты и процентные  отношения Рулева Татьяна  Геннадьевна,  учитель математики

Содержание  Закон сохранения объема и массы  Немного теории  Задача №1  Задача №2  Задача №3  Решение задач с помощью графиков  «Правило креста»  Задачи для самостоятельной работы

Закон сохранения объема  и массы        Человеку часто приходится смешивать различные жидкости,  порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что­ либо водой. В задачах такого типа эти операции приходится  проводить мысленно и выполнять расчеты. Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав  (раствор), то  V = V1 + V2  и m = m1+ m2– сохраняется объем и масса. Примеры: 1.Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4:7, то в этом  сплаве 4/11 частей от массы сплава составляет масса свинца, а 7/11­  масса меди. 2.Если имеется 40%­й раствор соли, то в этом растворе 0,4 объема  занимает «чистая» соль. Значит, объемная концентрация соли в  растворе равна 0,4.

Немного теории  Абсолютное содержание вещества в смеси – это  количество вещества, выраженное в единицах  измерения (грамм, литр и др.)   Относительное содержание вещества в смеси – это  отношение абсолютного содержания и общей массы  (объему) смеси.  Относительное содержание вещества в смеси называют  процентным содержанием или концентрацией.

ЗАДАЧА №1 100% 90% 300г 270г 300*90:100 100% 30% 900г 270г 300*90:100 300+900 100% 45% 540*100:1200 1200г 540г 270+270 Смешивают 300г 90%­го  раствора соли и 900г 30%­го  соли в полученном растворе.                                                                              Ответ: 45% раствора той же соли. Определите процентное содержание  100%100%300г900гСмешивают 300г 90%­го раствора соли и 900г 30%­го раствора той же соли.Определите процентное содержание соли в полученном растворе.

М     С 15% х 15% =0,15 ЗАДАЧА №2 Cu Zn Cu Zn 30% М     С 65% 200 ­ х 65% =0,65 Имеются два сплава меди со  свинцом. Один сплав содержит  15% меди, а другой 65%.  Сколько нужно взять каждого  сплава, чтобы получилось 200г  сплава, содержащего 30% меди? 200 0,15х+0,65(200­х) = 0,3*200 0,15х ­ 0,65х = ­130 + 60 ­ 0,5х = ­70 х = 140                   200 ­ 140 = 60                             Ответ: 140г первого и 60г  второго Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?CuZnCuZn15%65%30%200х200 ­ х

ЗАДАЧА №3 Песок Цемент Щебень Ответ: 93 ведра бетона Чтобы залить фундамент требуется  бетон. Для его приготовления нужен  цемент, песок, щебень и вода. Вода  составляет 75% от количества цемента,  песка нужно взять в 2 раза больше, а  щебня в 4 раза больше цемента.  Сколько можно получить бетона из 12 ведер цемента? Чтобы залить фундамент требуется бетон. Для его приготовления нужен цемент, песок, щебень и вода. Вода составляет 75% от количества цемента, песка нужно взять в 2 раза больше, а щебня в 4 раза больше цемента. Сколько можно получить бетона из12 ведер цемента?

Смешали 30%­й раствор соляной кислоты с 10%­м  раствором и получили 600 г 15%­го раствора. Сколько  граммов каждого раствора надо было взять?   Решение 1. Обозначим x массу первого раствора, тогда масса  второго (600 ­ x). Составим уравнение:       30x + 10* (600 ­ x) = 600 *15         x = 150  Решение 2: с использованием графика.      Приравнивание площадей  равновеликих прямоугольников:                                                                        15x = 5 (600­ x)                                                                                 x =150 n (%) 30 S1= S2 S2 S1 15   10 0 x                                                                  Ответ: 150г 30% и 450г 10% раствора                                                                           600 m(г)

Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля  5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из  этих сортов, чтобы получить140 т стали с  содержанием 30% никеля?  С использованием графика: (приравнивание площадей  равновеликих прямоугольников)       10*х = 25*(140 – х)              х = 100        140 – 100 = 40     Ответ: 100 т и 40 т   n(%) 40 30    5 0 S1 S1= S2 S2 x 140  m(г)

«Правило креста»   При решении задач на смешивание растворов разных  концентраций используется «правило креста». В точке  пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси.  У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают  концентрации составных частей смеси, а справа – разности  концентраций смеси и ее составных частей:  Например, для приготовления 30 г 80% раствора H3PO4  требуется взять 20 г 90% и 10 г 60% растворов кислоты.

В бидон налили 4л молока 1,5% жирности и 6л  молока 2,5% жирности. Сколько процентов  составляет жирность молока  в бидоне? 1,5 2,5 х 2,5 ­ х х – 1,5 Ответ: 2,1 % ­ жирность молока.

Сплавили два слитка серебра:  75 г 600­й и 150 г 864­й пробы.  Определить пробу сплава.      Пусть проба сплава равна х.    Составим диагональную схему:     Получаем:   (864 – х) : (х – 600) = 75 : 150    1728 – 2х = х – 600      х = 776. Ответ: сплав 776­й пробы.

Задачи для самостоятельной работы 1. К 200г раствора содержащего 60% соли, добавили 300г раствора,  содержащего 50% той же соли. Сколько процентов соли содержится  в получившемся растворе?                             Ответ: 54%. 2. Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6кг  сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентное  содержание меди в получившемся сплаве.   Ответ: 65%.  3. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%.  Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы при смешивании с  «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%?  Ответ:12т. 4*. Для приготовления маринада необходим 2% раствор уксуса.  Сколько нужно добавить воды в 100г 9% раствора уксуса, чтобы  получить раствор для маринада?                                        Ответ: 350г. Указание: В 100г 9% раствора содержится 9г уксуса. Если 9г уксуса составляют  2% раствора, то вся масса раствора равна (9:2)*100 = 450(г).

Источники 1.http://landofart.ru/clipart/dva­zolotyih­slitka­risovannyie­kartinka­v­horoshem­kachestve­na­belom­fone 2.http://www.zaitseva­irina.ru/html/f1222583799.html 3. http://yandex.ru/images/search?text=%D0%BF%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%BA&img_url=http%3A%2F %2Fcdn.stpulscen.ru%2Fsystem%2Fimages%2Fproduct%2F007%2F726%2F824_thumb.jpg&pos=17&rp t=simage&uinfo=sw­1920­sh­1080­ww­1903­wh­955­pd­1­wp­16x9_1920x1080 4. http://yandex.ru/images/search?p=2&text=%D1%89%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%BD%D1%8C&img_url =http%3A%2F%2Fcdn.stpulscen.ru%2Fsystem%2Fimages%2Fproduct%2F001%2F405%2F528_thumb.j pg&pos=81&uinfo=sw­1920­sh­1080­ww­1903­wh­912­pd­1­wp­16x9_1920x1080&rpt=simage&_=1 406644733370 5.http://yandex.ru/images/search?text=%D1%86%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD %D1%82&img_url=http%3A%2F%2Fwww.by.all.biz%2Fimg%2Fby%2Fcatalog%2Fsmall %2F107169.jpeg&pos=16&uinfo=sw­1920­sh­1080­ww­1903­wh­912­pd­1­wp­ 16x9_1920x1080&rpt=simage&_=1406643160095&pin=1 6.http://yandex.ru/images/search?p=8&text=%D0%B1%D0%B5%D1%82%D0%BE %D0%BD&img_url=http%3A%2F%2Fmediasubs.ru%2Fgroup%2Fuploads%2Fst%2Fstena­besplatnyih­ obyavlenij%2Fimage2%2FYmE0LWI1O.jpg&pos=267&uinfo=sw­1920­sh­1080­ww­1903­wh­912­pd­1­ wp­16x9_ 7. http://festival.1september.ru/articles/559922/ 8. http://rtg1210.ucoz.ru/ 9. http://project.1september.ru/work.php?id=603631