Решение задач по теме «Длина окружности»

Длиной окружности считают число, к которому стремятся периметры вписанных в эту окружность правильных многоугольников при увеличении числа их сторон.

Следствие. Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных около них окружностей.

Половина длины окружности единичного радиуса обозначается греческой буквой π. Таким образом, длина окружности единичного радиуса равна 2π. Из рассмотренной выше теоремы следует, что длина окружности радиуса R равна 2πR. Таким образом, для длины окружности C радиуса R можем записать следующую формулу: C = 2πR.

Теорема. Отношение длин двух окружностей равно отношению их радиусов.

Центральные углы в 1о разбивают всю окружность на 360 равных секторов. Поэтому длина дуги окружности в 1о составляет часть длины всей окружности, т.е. равна
. Длина l дуги окружности радиуса R в φ градусов будет выражаться формулой

Равенство , выражающее длину дуги единичной окружности, устанавливает соответствие между длиной дуги и ее градусной мерой.

Это позволяет измерять углы не только с помощью градусов, но и с помощью длины дуги соответствующей окружности единичного радиуса. Величина длины дуги называется радианной мерой угла. Единицей радианной меры углов является радиан. Угол в один радиан – это угол, для которого длина соответствующей дуги единичной окружности равна единице.

Что считается длиной окружности?

Ответ. Длиной окружности считают число, к которому стремятся периметры вписанных в эту окружность правильных многоугольников при увеличении числа их сторон.

Как выражается периметр правильного n-угольника через радиус описанной окружности?

Как относятся периметры двух правильных n-угольников?

Ответ. Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных около них окружностей.

Как относятся длины двух окружностей?

Ответ. Отношение длин двух окружностей равно отношению их радиусов.

Что обозначает греческая буква π?

Ответ. Греческая буквой π обозначает половину длины окружности единичного радиуса.

Чему равна длина окружности радиуса R?

Ответ. Длина окружности радиуса R равна 2πR.

Какие неравенства выполняются для числа π?

Каково приближенное значение числа π?

Ответ. Приближенное значение числа π берется равным 3,14.

Чему равна длина дуги окружности в 1о?

Чему равна длина дуги окружности в φ градусов?

Чему равна градусная мера угла в один радиан?

Чему равна длина окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной 1?

Как изменится длина окружности, если радиус окружности: а) увеличить в три раза; б) уменьшить в два раза?

Ответ: а) Увеличится в три раза;

б) уменьшится в два раза.

Найдите длину окружности, описанной около квадрата со стороной а?

Найдите длину дуги окружности радиуса единица, соответствующей центральному углу в: а) 30о; б) 135о; в) 240о; г) 315о.

Каким должен быть радиус окружности, в которой дуга в 1о имеет длину 1 см? Укажите приближенное значение, равное целому числу сантиметров.

Какой длины должна быть хорда в окружности радиуса R, чтобы длины дуг, на которые она разбивает окружность, относились как 2:1?

Найдите периметр правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса R.

Рассмотрев правильные шестиугольники, вписанный и описанный около окружности единичного радиуса, найдите нижнюю и верхнюю оценки для числа π.

Внутри окружности радиуса R расположены три равные окружности, которые касаются друг друга и данной окружности. Найдите их радиус.

Найдите радианную меру углов в: а) 30о; б) 45о; в) 60о.

Ответ: а) 90о;

Найдите градусную меру угла, если его радианная мера равна: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

б) 45о;

в) 22о30';

г) 150о;

д) 70о;

е) 240о.

Найдите радиус земного шара, исходя из того, что 1 м составляет одну сорокамиллионную долю длины экватора.

Вообразите, что земной шар плотно обтянут по экватору веревкой. На сколько нужно увеличить длину веревки, чтобы ее можно было поднять над поверхностью Земли по всей длине на расстояние 1 м?

Ответ: На 2π м.