Курс «Численные методы» является одной из основных дисциплин, необходимых для подготовки программистов среднего звена. Он имеет своей целью изучение учащимися основ и методики решения задач прикладной математики с приближенными вычислениями и численными методами математического анализа в объеме, необходимом технику-программисту для работы на ЭВМ.Сборник практических работ по предмету "Численные методы" предназначен для учащихся технических специальностей и содержит практические задания в соответствии с учебной программой.
Пояснительная записка.
Курс «Численные методы» является одной из основных
дисциплин, необходимых для подготовки программистов
среднего звена. Он имеет своей целью изучение учащимися основ
и методики решения задач прикладной математики с
приближенными вычислениями и численными методами
математического анализа в объеме, необходимом технику
программисту для работы на ЭВМ.
В результате изучения этого курса учащиеся должны знать
численные методы, уметь применять их при решении задач и
примеров.
Настоящий сборник составлен на основе рабочей
программы и может быть рекомендован учащимся второго курса
по специальности 1304000 «Вычислительная техника и
программное обеспечение».
2Практическая работа №1.
Тема: «Вычисление погрешности. Правила округления».
Цель: научиться округлять числа с заданной точностью,
определять верные и сомнительные цифры в приближенных
числах, вычислять абсолютную и относительную погрешности,
выполнять арифметические действия.
Вариант I.
1. Определить абсолютные и относительные погрешности
приближенных чисел:
х
410
375,0х
72,2
4. При измерении длины одного отрезка с точностью до 5м
получено 23,37км, а при измерении длины другого с точностью
до 0,5см получено 3м. Какое измерение по своему качеству
лучше?
5. Найти с точностью до 0,01
564,375+7489,296+1114,206+748,601
26,35+1400+729,3+745,68
,0
85,0
3862
Вариант II.
3
2. Измеряя длину площадки с точностью до 5см, было
найдено значение 49,3м. Определить границу относительной
погрешности измерения.
3. Записать числа в виде двойного неравенства. Определить
верные и сомнительные цифры чисел.
а
а
а
04,0
649
28,14
15,729
03,01. Определить абсолютные и относительные погрешности
приближенных чисел:
2105,14
х
х = 64,27
2. Измеряя длину площадки с точностью до 3см, было
найдено значение 53,5м. Определить границу относительной
погрешности измерения.
3. Записать числа в виде двойного неравенства. Определить
верные и сомнительные цифры чисел.
003
а
а
а
298
,1
,0
53,749
1428
05,0
4. При измерении длины одного отрезка с точностью до 3м
получено 18,23км, а при измерении длины другого с точностью
до 0,3см получено 5м. Какое измерение по своему качеству
лучше?
5. Найти с точностью до 0,01
172,350+113,215+712,305+546,554
318,7864+211,1246+76,1613+106,1914
0,2315
73,0
Практическая работа №2.
Тема: «Отделение корней графическим и аналитическим
методом. Уточнение корней методом половинного деления».
Цель: научиться определять корни уравнения и уточнять их с
помощью метода половинного деления (дихотомии).
Вариант I
1. Найти графически корень уравнения:
6
2. Отелить корни уравнения аналитическим методом.
х
4
2
х
2
3
0
4
5
3
2
х
x
3
2
4
х
x
5
0
0
5
2
43
х
3. Методом половинного деления уточнить до
уравнения
х
4
4. Дополнительно:
Методом половинного деления уточнить до
уравнения
0
01
5
6
х
х
3
310
корень
310
корень
Вариант II
1. Найти графически корень уравнения:
0
2. Отелить корни уравнения аналитическим методом.
х
2
х
2
3
5
3
4
5
х
x
4
5
5
3
х
x
7
0
01
3
х
3. Методом половинного деления уточнить до
уравнения
х
3
4. Дополнительно:
Методом половинного деления уточнить до
уравнения
01
01
3 2
х
х
3
310
корень
310
корень
Практическая работа №3.
Тема: «Уточнение корней методом касательных и методом
хорд».
Цель: закрепить навыки определения корней уравнения и
научиться уточнять их с помощью методов хорд и касательных.
Вариант I.
Уточнить до =0,001 корень уравнения
а) методом хорд
б) методом касательных
на отрезке
0
3
на отрезке
0
7
x
3 2
2
x
x
x
3
3
2;3
2;3
5Вариант II.
Уточнить до =0,001 корень уравнения
а) методом хорд
б) методом касательных
на отрезке
0
на отрезке
4
5
0
2 2
x
x
6
x
x
3;2
1;0
3
3
Практическая работа №4.
Тема: «Операции над матрицами (сложение, умножение матриц,
умножение матриц на число».
Цель: научиться складывать, вычитать, умножать матрицы,
вычислять определители 2го и 3го порядков.
Вариант I.
1. Найти сумму матриц:
а)
А
б)
А
4
2
1
3
6
7
3
5
7
8
5
1
В
2
1
В
3
8
;
5
4
2
4
1
3
6
7
2. Найти разность матриц:
;
А
В
а)
1
5
2
1
0
42
86
0
5
2
3. Найти произведение матриц:
3
7
1
2
3
3
3
0
б)
В
А
1
3
4
2
6
1
6а)
А
4
65
В
2
3
1
; б)
А
1
3
2
4
В
65
87
;
в)
А
301
080
504
В
040
706
080
4. Вычислить определители 2го и 3го порядков:
а)
35
67
; б)
24
39
; в)
1
3
2
6
; г)
121
112
211
;
д)
3
2
1
2
3
2
1
1
3
; е)
1
4
3
3
4
15
23
5. Вычислите 2(А+В)(2ВА), если
1
0
2
3
2
4
5
01
1
2
7
;
В
А
5
0
1
3
42
1. Найти сумму матриц:
а)
А
В
3
7
31
42
03
В
2. Найти разность матриц:
1
5
2
1
0
4
2
1
3
6
б)
А
а)
А
б)
А
Вариант II.
42
86
0
3
2
;
01
65
14
7
3
5
7
8
5
1
В
2
1
В
3
8
;
5
4
2
4
1
3
6
7
73. Найти произведение матриц:
а)
А
2
13
В
А
3
2
1
3
В
63
54
;
; б)
1
3
5
050
706
090
в)
А
201
060
503
В
4. Вычислить определители 2го и 3го порядков:
а)
21
63
; б)
4
0
10
5
; в)
д)
321
654
987
; е)
2
4
6
3
5
2
2
4
1
1
4
1
5
; г)
221
112
211
;
5. Вычислите 2(А+В)(2ВА), если
А
4
3
4
5
1
2
2
0
7
;
В
12
10
75
1
3
3
Практическая работа №5
Тема: «Вычисление миноров и алгебраических дополнений.
Вычисление обратной матрицы».
Цель: научиться находить миноры, алгебраические дополнения,
вычислять обратные матрицы.
Вариант I.
1. Найти миноры матрицы.
2
1
0
31
42
03
А
82. Найти алгебраические дополнения матрицы третьего порядка
А
0
3
2
01
65
14
3. Найти обратную матрицу для данной матрицы:
3
2
3
4
3
5
5
1
1
Вариант II.
1. Найти миноры матрицы.
А
301
080
504
2. Найти алгебраические дополнения матрицы третьего порядка
А
4
3
4
5
1
2
2
0
7
3. Найти обратную матрицу для данной матрицы:
1
3
2
23
04
35
Практическая работа №6
Тема: «Обращение матриц методом окаймления».
Цель: научиться выполнять действия над матрицами с помощью
разбиения их на клетки и методом окаймления.
1. Найти А+В,
Вариант I.
ВА разбив А и В на квадратные клетки:
9А
1
0
3
1
4
1
31
0
1
52
3
1
2
1
В
1
1
1
6
1
4
10
10
11
32
63
41
2. Найти А+В,
ВА разбив А и В на клетки окаймлением:
А
5436
3222
2333
3322
В
1
2
3
3
121
252
262
242
1. Найти А+В,
Вариант II.
ВА разбив А и В на квадратные клетки:
А
5434
3213
2132
1321
В
0
1
2
4
21
1
5
3
1
3
0
1
1
2
3
2. Найти А+В,
А
2
5
3
4
ВА разбив А и В на клетки окаймлением:
2
4
0
2
1122
2211
1043
4433
1
3
1
1
5
2
2
3
В
1.Найти А1
Дополнительно:
10б)
а)
А
172
025
243
486
А
1
0
2
3
0
2
3
2
4
1
1
3
00
00
04
31
Практическая работа № 7.
Тема: «Решение матричных уравнений».
Цель: научиться решать простейшие матричные уравнения.
Вариант I.
1. Решить матричное уравнение типа АХ=В
1
2
4
1
2
21
4
1
Х
1
4
2
2. Решить матричное уравнение типа ХА=В
Х
1
2
1
1
1
0
1
1
1
6
6
8
2
1
1
1
1
4
3. Решить матричное уравнение типа АХВ=С
3
5
1
2
Х
65
87
47
59
111. Решить матричное уравнение типа АХ=В
Вариант II.
3
2
2
01
11
41
Х
5
0
15
2. Решить матричное уравнение типа ХА=В
Х
021
123
210
2
3
1
1
2
2
3
2
3
3. Решить матричное уравнение типа АХВ=С
4
3
3
2
Х
12
2
34
3
Дополнительно:
1
2
1
Даны три системы линейных уравнений:
х
5
1
3
х
1
х
2
1
2
х
3
2
х
3
2
х
6
7
х
3
3
х
4
5
3
х
4
5
4
х
4
х
х
3
2
5
х
х
2
х
х
2
,
2
2
5
5
3
6
4
,
х
3
2
7
х
7
х
7
3
х
4
5
8
х
8
х
8
2
х
3
9
2
х
9
5
9
Найти их решения.
Практическая работа №8.
Тема: «Решение систем линейных уравнений методом Крамера».
Цель: научиться решать системы линейных уравнений 3го и 4го
порядков с помощью метода Крамера
Вариант I.
1.Решить систему методом Крамера.
12а)
х
2
z
3
14
y
2
y
x
1
z
2
x
3
z
2
y
13
б)
в)
3
x
2
x
3
x
y
y
2
3
z
5
4
z
5
10
y
z
г)
1.Решить систему методом Крамера.
Вариант II.
1
3
0
y
z
2
x
z
y
2
x
5
3
x
y
z
y
z
t
6
x
2
1
2
t
2
y
x
3
2
2
t
2
y
x
x
y
2
3
1
t
z
z
3
z
а)
2
5
x
x
x
3
3
y
y
8
z
y
10
z
3
4
z
б)
2
x
x
3
5
x
3
y
2
6
y
z
z
1
4
y
z
11
.
в)
2
7
5
x
x
x
y
3
2
4
7
z
z
y
3
y
3
z
4
г)
3
x
y
2
y
x
2
x
3
y
x
y
3
z
t
0
z
1
t
z
3
2
t
2
2
z
t
1
Практическая работа №9
Тема: «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса».
Цель: научиться решать системы линейных уравнений 3го и 4го
порядков с помощью метода Гаусса
131.Решить систему методом Гаусса.
Вариант I.
а)
х
2
z
3
14
y
2
y
x
1
z
x
2
3
2
z
y
13
б)
в)
3
x
2
x
x
3
y
y
2
3
z
5
4
z
5
y
z
10
г)
1.Решить систему методом Гаусса.
Вариант II.
1
0
3
y
z
2
x
z
y
2
x
5
z
3
y
x
2
y
z
t
6
x
y
2
1
t
2
x
3
2
2
t
2
y
x
3
2
1
y
x
t
z
z
3
z
2
5
x
x
x
3
3
y
y
8
z
y
10
z
z
3
4
а)
.
б)
2
x
x
3
x
5
3
y
2
6
y
z
z
1
y
z
4
11
в)
2
7
5
x
x
x
y
3
2
4
7
z
z
y
3
3
y
z
4
г)
3
x
y
2
y
x
x
2
3
y
x
y
z
t
0
3
z
1
t
z
2
3
t
z
2
2
t
1
Практическая работа №10
Тема: Решение задач интерполяции с помощью первой и второй
формул Ньютона для равнооотстоящих узлов интерполяции.
14Цель: научиться вычислять приближенное значение функции в
точке с помощью 1ой и 2ой интерполяционных формул
Ньютона.
I вариант
xf
Дана таблица функции
интерполирование по Ньютону
у
Найти, применяя
а)
X
Y
53.1
36.1
f
f
б)
Х
У
52.1
63.1
f
f
1.3
0.9340
?
?
1,5
0,5118
?
?
1.4
0.9523
1.5
0.9661
1.6
0.9763
1.7
0.9338
1,6
0,4554
1,7
0,3980
1,8
0,3400
II вариант
xf
Дана таблица функции
интерполирование по Ньютону
а)
у
Найти, применяя
X
Y
3,54
2,55
f
f
б)
56
57
55
54
0,430331 0,426401 0,422577 0,418854 0,415227
?
?
58
Х
У
612,0
634,0
f
f
0,62
0,61
0,60
0,5352 0,5468 0,5624
?
?
0,63
0,5822
0,64
0,6064
Практическая работа №11
15Тема: Решение задач интерполяции с помощью 1ой и 2ой
формулы Ньютона для неравнооотстоящих узлов интеполяции.
Цель: научиться вычислять приближенное значение функции в
точке с помощью интерполяционной формулы Ньютона для
неравноотстоящих узлов интерполяции.
у
1. Функция
х
у
х
І вариант
3 задана таблицей.
1
0,333
0
1,000
0,5
1,732
1
3,000
Построить интерполяционный многочлен, дающий приближенное
выражение этой функции на отрезке
. Пользуясь этим
.
72,0
многочленом вычислить
ln задана таблицей.
2. Функция
3
х
у
1,0986
8
2,0794
5
1,6094
1:1
3,
x
3
4,0
у
Найти значение функции при х=3,5, х=7
ІІ вариант
1. Построить интерполяционный многочлен для функции
которая задана таблично
х
у
100
10
121
11
144
12
196
14
у ,
x
Вычислить, пользуясь полученным многочленом
2. Функция
задана таблицей
xf
у
130
,
110
.
х
у
1,2
2,64
2,4
4,56
3,8
1,86
6,4
5,34
Вычислить значение функции при х=2, х=3 .
16Лабораторная работа №12
Тема: «Вычисление производных по формуле Ньютона»
Цель: научить учащихся вычислять производные по формуле
Ньютона.
І вариант
1.Задана табличная функция y=f(x)
0.3
x 0.2
y 0.008 0.027 0.064
0.4
Вычислить значения первой и второй производной в точке х=0,3
2.Функция y=f(x) задана таблицей:
x 0.5
y 0,4794 0,5646 0,6442
0.6
0.7
Вычислить первую и вторую производные при всех значениях
аргумента
ІІ вариант
1.Задана табличная функция y=f(x)
0.4
x 0.2
y 0,9801 ,09211 0,8253
0.6
Вычислить значения первой и второй производной в точке х=0,2
2.Функция y=f(x) задана таблицей:
x 0 0,4
y 0 0,4228 1,0296
0,8
Вычислить первую и вторую производные при всех значениях
аргумента
Практическая работа №13
17Тема: Численное интегрирование с помощью методов
прямоугольников, трапеции и Симпсона
Цель: формирование умениий и навыков при вычислении
приближенных значений определенного интеграла с помощью
методов приближенного интегрирования
I вариант
1
1. Вычислить определенный интергал, пользуясь методами
прямоугольников и трапеций, разбив отрезок интегрирования на
10 частей
dx
а)
1 x
2.
Симпсона, разбив отрезок интегрирования n=5
1
dx
а)
0 1 x
0
Вычислить определенный интеграл, пользуясь методом
dx
б)
4x
2
б)
1
dx
2х
2
5
0
II вариант
3
б)
4 x
1. Вычислить определенный интергал, пользуясь методами
прямоугольников и трапеций, разбив отрезок интегрирования на
10 частей
9
dx
а)
0 1 x
2.
Вычислить определенный интеграл, пользуясь методом
Симпсона, разбив отрезок интегрирования n=5
3
dx
а)
1 x
dx
б)
2x
3
0
3
2
Дополнительно
Вычислить определенный интеграл,
приближенного интегрирования, разбив отрезок на 8 частей.
пользуясь методами
189
dx
А)
0 1 x
dx
А)
1x
8
0
Практическая работа №14
Тема: Поиск экстремума. Метод "Золотого сечения".
Цель: научиться находить экстремумы функции одной
переменной с помощью метода Золотого сечения
I вариант
Найти экстремумы функции методом «Золотого сечения»
а)
y
б)
y
в)
y
2
xex
3
x
2
x
x
4
1
14 3
x
24
x
3
Найти экстремумы функции методом «Золотого сечения»
II вариант
а)
y
3
x
б)
y
в)
y
x
e
x
4
x
27
2
x
3
8
x
22
x
2
24
x
12
Список используемой литературы:
1. Данилина Н.И, «Чсленные методы», Москва «Высшая
2. Хемди А. Таха Глава 3. Симплексметод
школа», 1976г
Введение в
исследование операций.
193. Акулич И.Л. Глава 1. Задачи линейного программирования
4. Томас Х.
Математическое программирование в примерах и задачах.
Кормен и др.
Глава 29.
Линейное
программирование Алгоритмы: построение и анализ.
5. В. И. Валуце, Г.Д. Дилигул «Математика для техникумов»,
Москва наука 1990 г.
6. П. Т. Апапасов, М.И. Орлов «Сборник задач по
математике» Москва Высшая школа 1987 г.
20
сборник.doc
