Сборник практических работ по предмету "Численные методы"

Пояснительная записка. Курс «Численные  методы» является  одной из  основных дисциплин,   необходимых   для   подготовки   программистов среднего звена. Он имеет своей целью изучение учащимися основ и   методики   решения   задач   прикладной   математики   с приближенными   вычислениями   и   численными   методами математического   анализа   в   объеме,   необходимом   технику­ программисту для работы на ЭВМ. В результате изучения этого курса учащиеся должны знать численные   методы,   уметь   применять   их   при   решении   задач   и примеров. Настоящий   сборник   составлен   на   основе   рабочей программы и может быть рекомендован учащимся второго курса по   специальности   1304000   «Вычислительная   техника   и программное обеспечение».  2 Практическая работа №1. Тема: «Вычисление погрешности. Правила округления». Цель:  научиться   округлять   числа   с   заданной   точностью, определять   верные   и   сомнительные   цифры   в   приближенных числах,   вычислять   абсолютную   и   относительную   погрешности, выполнять арифметические действия. Вариант I. 1. Определить   абсолютные   и   относительные   погрешности приближенных чисел: х  410 375,0х 72,2          4. При измерении длины одного отрезка с точностью до 5м получено 23,37км, а при измерении длины другого с точностью до   0,5см   получено   3м.   Какое   измерение   по   своему   качеству лучше?       5. Найти с точностью до 0,01    564,375+7489,296+1114,206+748,601 26,35+1400+729,3+745,68 ,0  85,0 3862 Вариант II. 3             2.   Измеряя   длину   площадки   с   точностью   до   5см,   было найдено   значение   49,3м.   Определить   границу   относительной погрешности измерения. 3. Записать числа в виде двойного неравенства. Определить верные и сомнительные цифры чисел.    а а а 04,0 649  28,14  15,729  03,0 1.   Определить   абсолютные   и   относительные   погрешности приближенных чисел: 2105,14  х х = 64,27                  2.   Измеряя   длину   площадки   с   точностью   до   3см,   было найдено   значение   53,5м.   Определить   границу   относительной погрешности измерения. 3. Записать числа в виде двойного неравенства. Определить верные и сомнительные цифры чисел. 003 а а а 298  ,1 ,0 53,749  1428  05,0        4. При измерении длины одного отрезка с точностью до 3м получено 18,23км, а при измерении длины другого с точностью до   0,3см   получено   5м.   Какое   измерение   по   своему   качеству лучше?       5. Найти с точностью до 0,01    172,350+113,215+712,305+546,554 318,7864+211,1246+76,1613+106,1914 0,2315 73,0 Практическая работа №2. Тема:  «Отделение   корней   графическим   и   аналитическим методом. Уточнение  корней методом половинного деления». Цель:  научиться определять корни уравнения и уточнять их с помощью метода половинного деления (дихотомии). Вариант I 1. Найти графически корень уравнения:  6 2. Отелить корни уравнения   аналитическим методом.  х 4 2 х  2 3 0   4 5 3 2 х x   3 2 4 х x 5  0  0 5 2 4 3 х 3. Методом половинного деления уточнить до   уравнения   х 4 4. Дополнительно: Методом   половинного   деления   уточнить   до   уравнения   0  01 5 6 х х  3 310    корень 310    корень Вариант II 1. Найти графически корень уравнения:   0 2. Отелить корни уравнения   аналитическим методом.  х 2 х 2 3   5 3 4 5 х x   4 5 5 3 х x  7 0  01 3 х 3. Методом половинного деления уточнить до   уравнения   х 3 4. Дополнительно: Методом   половинного   деления   уточнить   до   уравнения   01  01 3 2 х х  3 310    корень 310    корень Практическая работа №3. Тема:  «Уточнение   корней   методом   касательных   и   методом хорд». Цель:  закрепить   навыки   определения   корней   уравнения   и научиться уточнять их с помощью методов хорд и касательных. Вариант I. Уточнить до =0,001 корень уравнения  а) методом хорд б) методом касательных   на отрезке   0 3     на отрезке   0 7  x 3 2  2 x     x x 3 3 2;3  2;3  5 Вариант II. Уточнить до =0,001 корень уравнения  а) методом хорд б) методом касательных    на отрезке  0      на отрезке    4  5 0  2 2 x  x 6   x x 3;2 1;0 3 3 Практическая работа №4. Тема: «Операции над матрицами (сложение, умножение матриц,   умножение матриц на число». Цель:  научиться   складывать,   вычитать,   умножать   матрицы, вычислять определители 2­го и 3­го порядков. Вариант I. 1. Найти сумму матриц:   а)  А  б)  А  4   2   1   3   6       7 3 5 7 8      5 1       В     2 1              В          3 8    ;         5 4   2 4 1        3 6 7 2. Найти разность матриц: ;        А    В    а)      1 5 2 1 0            42  86   0   5   2  3. Найти произведение матриц: 3 7 1 2 3 3 3 0      б)      В А    1 3 4   2 6 1         6 а)   А  4  65     В       2 3 1      ;       б)   А     1 3   2 4      В     65 87    ; в)  А       301 080 504      В       040 706 080      4. Вычислить определители  2­го и 3­го порядков: а)  35 67 ;      б)  24 39 ;      в)   1 3 2 6  ;      г)  121 112 211 ;   д)  3 2 1    2 3 2  1 1  3 ;       е)  1 4 3 3 4 15 23   5. Вычислите 2(А+В)(2В­А), если   1 0 2 3 2 4 5  01  1 2 7                       ;     В А 5 0 1 3 42       1. Найти сумму матриц:       а)  А В          3  7  31 42 03          В 2. Найти разность матриц:           1 5 2 1 0  4   2   1   3   6  б)  А а)  А  б)  А Вариант II. 42 86 0 3 2          ;      01 65 14              7 3 5 7 8      5 1       В     2 1              В          3 8    ;         5 4   2 4 1        3 6 7 7 3. Найти произведение матриц: а)  А  2  13    В А       3 2 1  3       В     63 54    ;      ;   б)   1   3   5  050 706 090 в)  А       201 060 503         В            4. Вычислить определители  2­го и 3­го порядков: а)  21 63 ;     б)  4 0 10 5 ;     в)   д)  321 654 987 ;      е)  2 4 6  3 5  2  2 4 1  1 4 1 5  ;    г)  221 112 211 ;     5. Вычислите 2(А+В)(2В­А), если        А       4 3 4 5  1 2  2 0 7      ;     В       12 10 75  1 3 3      Практическая работа №5 Тема:   «Вычисление   миноров     и   алгебраических     дополнений. Вычисление обратной матрицы». Цель:  научиться находить миноры, алгебраические дополнения, вычислять обратные матрицы. Вариант I. 1. Найти миноры матрицы.       2 1 0    31 42 03      А 8 2.  Найти алгебраические дополнения матрицы третьего порядка А       0 3 2    01 65 14      3. Найти обратную матрицу для данной матрицы:          3 2 3    4 3 5 5 1  1                Вариант II. 1. Найти миноры матрицы. А       301 080 504      2.  Найти алгебраические дополнения матрицы третьего порядка А       4 3 4 5  1 2  2 0 7      3. Найти обратную матрицу для данной матрицы:         1 3 2    23 04 35      Практическая работа №6 Тема: «Обращение матриц методом окаймления». Цель: научиться выполнять действия над матрицами с помощью разбиения их на клетки и методом окаймления. 1. Найти А+В,  Вариант I. ВА   разбив А и В на квадратные клетки: 9 А        1 0 3 1 4 1  31 0 1 52   3   1   2  1         В        1 1 1 6 1 4 10 10 11 32 63 41       2. Найти А+В,  ВА   разбив А и В на клетки окаймлением:    А        5436 3222 2333 3322                  В        1 2 3 3     121 252 262 242       1. Найти А+В,  Вариант II. ВА   разбив А и В на квадратные клетки:     А        5434 3213 2132 1321                 В        0 1 2 4  21 1 5 3 1  3 0  1 1 2 3       2. Найти А+В,        А        2 5 3 4  ВА   разбив А и В на клетки окаймлением: 2 4 0 2 1122 2211 1043 4433 1 3 1 1        5 2 2 3                  В         1.Найти А­1 Дополнительно: 10 б) а)   А        172 025 243 486 А        1 0 2 3 0 2 3 2    4   1   1  3   00  00   04  31  Практическая работа № 7. Тема: «Решение матричных уравнений». Цель: научиться решать простейшие матричные уравнения. Вариант I. 1. Решить матричное уравнение типа АХ=В      1 2 4 1 2  21 4 1         Х       1 4 2      2. Решить матричное уравнение типа ХА=В Х       1 2 1  1 1 0   1  1   1        6 6 8 2 1 1   1 1 4      3. Решить матричное уравнение типа АХВ=С    3 5   1 2       Х 65 87       47 59    11 1. Решить матричное уравнение типа АХ=В Вариант II.       3 2 2   01 11 41         Х    5 0 15      2. Решить матричное уравнение типа ХА=В Х       021 123 210             2 3 1 1 2 2  3 2 3        3. Решить матричное уравнение типа АХВ=С     4 3  3 2       Х         12 2  34 3  Дополнительно: 1 2    1 Даны три системы линейных уравнений:   х 5 1  3 х  1  х 2  1  2 х 3  2  х 3  2 х 6  7  х 3 3 х  4  5 3 х  4  5 4 х 4 х х 3 2 5 х х 2 х х  2      ,    2 2 5 5  3 6 4  ,   х 3 2       7 х 7 х 7 3 х  4  5 8 х 8 х 8 2 х   3 9 2 х 9  5  9 Найти их решения. Практическая работа №8. Тема: «Решение систем линейных уравнений методом Крамера». Цель: научиться решать системы линейных уравнений 3­го и 4­го порядков с помощью метода Крамера  Вариант I. 1.Решить систему методом Крамера. 12 а)           х 2 z 3 14 y  2 y x 1 z   2 x 3 z 2 y 13                          б)   в)   3 x  2 x  3 x y y 2  3 z  5 4 z  5 10 y z                                 г)   1.Решить систему методом Крамера. Вариант II. 1   3 0 y z 2 x   z y 2 x 5   3 x y z  y z t 6 x 2    1 2 t 2 y x   3 2 2 t 2 y x    x y 2 3 1 t z z 3 z              а)   2 5 x  x  x  3 3 y y  8 z y  10 z  3 4 z                                   б)   2 x x 3 5 x         3 y 2 6  y z  z 1  4 y z 11 . в)   2 7 5 x x x         y 3 2  4 7 z  z y 3   y 3 z 4                             г)     3 x y   2 y x  2 x 3 y  x y  3 z t 0  z 1 t  z 3 2 t  2 2 z t          1 Практическая работа №9 Тема: «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса». Цель: научиться решать системы линейных уравнений 3­го и 4­го порядков с помощью метода Гаусса 13 1.Решить систему методом Гаусса. Вариант I. а)           х 2 z 3 14 y  2 y x 1 z   x 2 3 2 z y 13                          б)   в)   3 x  2 x  x 3 y y 2  3 z  5 4 z  5 y z 10                                 г)   1.Решить систему методом Гаусса. Вариант II. 1   0 3 y z 2 x   z y 2 x 5   z 3 y x  2 y z t 6 x    y 2 1 t 2 x   3 2 2 t 2 y x    3 2 1 y x t z z 3 z             2 5 x  x  x  3 3 y y  8 z y  10 z  z 3 4       а)   .                              б)   2 x x 3 x 5         3 y 2 6  y z  z 1  y z 4 11 в)   2 7 5 x x x         y 3 2  4 7 z  z y 3   3 y z 4                             г)     3 x y   2 y x  x 2 3 y  x y  z t 0 3  z 1 t  z 2 3 t  z 2 2 t        1                       Практическая работа №10 Тема: Решение задач интерполяции с помощью первой и второй  формул Ньютона для равнооотстоящих узлов интерполяции. 14 Цель: научиться вычислять приближенное значение функции в  точке с помощью 1­ой и 2­ой интерполяционных формул  Ньютона. I вариант  xf Дана таблица функции интерполирование по   Ньютону у   Найти, применяя  а)  X Y   53.1   36.1 f f б) Х У   52.1   63.1 f f 1.3 0.9340 ? ? 1,5 0,5118 ? ?     1.4 0.9523 1.5 0.9661 1.6 0.9763 1.7 0.9338 1,6 0,4554 1,7 0,3980 1,8 0,3400 II вариант  xf Дана таблица функции интерполирование по   Ньютону а)  у   Найти, применяя  X Y   3,54   2,55     f f  б) 56 57 55 54 0,430331 0,426401 0,422577 0,418854 0,415227 ? ? 58 Х У  612,0  634,0   f f 0,62 0,61 0,60 0,5352 0,5468 0,5624   ? ? 0,63 0,5822 0,64 0,6064 Практическая работа №11 15 Тема:  Решение   задач   интерполяции   с   помощью  1­ой   и   2­ой формулы Ньютона  для неравнооотстоящих узлов интеполяции. Цель:  научиться вычислять приближенное значение функции в точке   с   помощью   интерполяционной   формулы   Ньютона   для неравноотстоящих узлов интерполяции. у 1. Функция х у х І вариант 3  задана таблицей.   ­1 0,333 0 1,000 0,5 1,732 1 3,000 Построить интерполяционный многочлен, дающий приближенное выражение  этой функции на отрезке   . Пользуясь этим . 72,0 многочленом вычислить  ln  задана таблицей.  2. Функция  3 х у 1,0986 8 2,0794 5 1,6094 1:1 3, x 3 4,0 у Найти значение функции при х=3,5,   х=7  ІІ вариант 1. Построить интерполяционный многочлен для функции которая задана таблично  х у 100 10 121 11 144 12 196 14 у  , x Вычислить, пользуясь полученным многочленом  2. Функция   задана таблицей   xf у  130 , 110  . х у 1,2 2,64 2,4 4,56 3,8 1,86 6,4 5,34 Вычислить значение функции при х=2,  х=3 . 16 Лабораторная работа №12 Тема: «Вычисление производных по формуле Ньютона» Цель:  научить   учащихся   вычислять   производные   по   формуле Ньютона. І вариант 1.Задана табличная функция y=f(x) 0.3 x 0.2 y 0.008 0.027 0.064 0.4 Вычислить значения первой и второй производной в точке х=0,3  2.Функция y=f(x) задана таблицей: x 0.5 y 0,4794 0,5646 0,6442 0.6 0.7 Вычислить   первую   и   вторую   производные   при   всех   значениях аргумента ІІ вариант 1.Задана табличная функция y=f(x) 0.4 x 0.2 y 0,9801 ,09211 0,8253 0.6 Вычислить значения первой и второй производной в точке х=0,2 2.Функция y=f(x) задана таблицей: x 0 0,4 y 0 0,4228 1,0296 0,8 Вычислить   первую   и   вторую   производные   при   всех   значениях аргумента Практическая работа №13 17 Тема:  Численное   интегрирование   с   помощью   методов прямоугольников,  трапеции и Симпсона Цель:   формирование   умениий   и   навыков   при   вычислении приближенных   значений   определенного   интеграла   с   помощью методов приближенного интегрирования I вариант    1 1.   Вычислить   определенный   интергал,   пользуясь   методами прямоугольников и  трапеций, разбив отрезок интегрирования на 10 частей dx      а)   1 x 2.   Симпсона, разбив отрезок интегрирования  n=5 1 dx     а)    0 1 x 0   Вычислить   определенный   интеграл,   пользуясь   методом dx             б)   4x                                                                                                                 2            б)   1 dx 2х 2 5 0 II вариант 3             б)   4 x 1.   Вычислить   определенный   интергал,   пользуясь   методами прямоугольников и  трапеций, разбив отрезок интегрирования на 10 частей 9 dx а)    0 1 x 2.     Вычислить   определенный   интеграл,   пользуясь   методом Симпсона, разбив отрезок интегрирования  n=5 3 dx а)   1 x dx         б)   2x     3 0 3 2  Дополнительно Вычислить   определенный   интеграл, приближенного интегрирования, разбив отрезок на 8 частей.   пользуясь   методами 18 9 dx     А)    0 1 x dx                                                        А)    1x 8 0        Практическая работа №14 Тема: Поиск экстремума. Метод "Золотого сечения". Цель: научиться находить экстремумы функции одной  переменной с помощью метода Золотого сечения I вариант Найти экстремумы функции методом «Золотого сечения»  а)  y б)  y в)  y     2 xex 3 x 2   x x 4 1 14 3 x  24 x  3 Найти экстремумы функции методом «Золотого сечения» II вариант а)  y  3 x б)  y  в)  y  x e x 4 x 27  2 x 3 8 x  22 x 2  24 x  12 Список используемой литературы: 1. Данилина   Н.И,   «Чсленные   методы»,   Москва   «Высшая 2. Хемди   А.   Таха  Глава   3.   Симплекс­метод  школа», 1976г   Введение   в исследование операций. 19 3. Акулич И.Л. Глава 1. Задачи линейного программирования 4. Томас   Х. Математическое программирование в примерах и задачах.   Кормен   и   др.  Глава   29.   Линейное программирование Алгоритмы: построение и анализ. 5. В. И. Валуце, Г.Д. Дилигул «Математика для техникумов», Москва наука 1990 г. 6. П.   Т.   Апапасов,   М.И.   Орлов   «Сборник   задач   по математике» Москва Высшая школа 1987 г. 20