Четыре урока по теме Рациональные неравенства. Алгебра 9 класс по УМК Мордковича.(4 ч)
У р о к 1
Цели: ввести понятие системы неравенств, решения системы неравенств; повторить и закрепить знания решения неравенств.
У р о к 2
Цели: способствовать развитию навыков решения систем неравенств; учить находить общее решение системы неравенств; научить решать систему, содержащую квадратные неравенства; повторить метод интервалов.
У р о к 3
Цели: закрепить навыки решения неравенств и систем неравенств; учить решать более сложные системы неравенств; развивать логическое мышление учащихся.
У р о к 4
Цели: упражнять учащихся в решении двойных неравенств и нахождении области определения выражения; научить решать системы неравенств, содержащих модули; развивать логическое мышление учащихся
СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
(4 ч)
У р о к 1
Цели: ввести понятие системы неравенств, решения системы неравенств;
повторить и закрепить знания решения неравенств.
Ход урока
I. Актуализация опорных знаний учащихся.
1. Собрать у учащихся домашние контрольные работы.
.а
х
.
х
8
4
х
8 0,
х
0.
2. Вспомнить, как найти область определения выражения f(х) =
3. Рассмотреть нахождение области определения выражения
f(х) = 5
Сделать в ы в о д: задача сводится к решению системы неравенств
5
4
II. Изучение нового материала.
1. Определение системы неравенств.
2. Определение решения системы неравенств.
3. Решить систему неравенств – значит найти все ее частные решения.
4. Устно решить № 4.1 (а; б).
5. Учитель объясняет решение № 4.3 (а–г) и показывает с помощью
штриховки нахождение общего решения.
6. Повторить правила для решения неравенств и объяснить решение № 4.6
(в; г).
2
t
4 0
4 3
0
t
в)
t
2
4
3
t
t
2
4
t
3
4
1 0
6 0
5
t
3
t
г)
5
t
1
3
6
t
1
t
5
t
2О т в е т: (– ∞; – 2] или х ≤ – 2.
III. Закрепление изученного материала.
1. Решить № 4.5 (в; г) на доске и в тетрадях.
2. Решить № 4.7 (б; г) с комментированием на месте.
О т в е т: [2; ∞) или х ≥ 2.
в)
г)
О т в е т: нет решений.
3. Решить № 4.8 (в; г). Двое учащихся самостоятельно решают на доске,
остальные в тетрадях. Учитель при необходимости помогает в решении.
О т в е т: z = 12.
х
3
4 4
1
х
1 12
х
2 6
х
в)
0
15
х
10
2
х
0
х
х
0,2
3
х
7 2
х
2 5
х
4
х
2 3
г)
х
1
5
х
х
1
5
х
О т в е т: нет решений.
4. Решить № 4.21 (б) на доске и в тетрадях.
О т в е т: – 5 <х ≤ – 1 или (– 5; – 1].
х
)
х
(
3)(
х
4)
2
х
4
х
3
х
12
12 10
х
х
2
х
8) 4(7
3(
(
5)
2)(
х
б)
24 28 4
х
3
х
2
5
х
10
х
28 24
4
х
3
х
2
2
3
х
х
х
4
7
х
х
2
4
х
7
х
1
2
х
х
1.
4
7
О т в е т:
5. Решить № 4.22 (б; г).
Сначала решение объясняет учитель, затем несложную систему неравенств
решают учащиеся самостоятельно.
2 | 4
х
х
х
х
4
1
2
в)
8
4
х
х
х
3(
1) 2(
3
х
8
3
3 2
х
х
2
3
1| 6
х
2) 6
4 6
1| 2
х
х
1
2
х
5 | 3
3
г)
2
х
х
15
х
х
1
15
х
1 2
О т в е т: 1 <х< 15.
8
х
3
13
5
х
2
3
3
5
х
2
2
х
2
2 .
3
О т в е т: х ≥
IV. Итоги урока.
1. Что называется системой неравенств? Решением системы неравенств?
2. Что значит решить систему неравенств?
Домашнее задание: изучить материал учебника на с. 29–35; решить № 4.6
(а; б); № 4.7 (а; б), № 4.8 (а; б), № 4.21 (а); № 4.22(а; б), № 31 (на с. 8).
У р о к 2
Цели: способствовать развитию навыков решения систем неравенств; учить
находить общее решение системы неравенств; научить решать систему,
содержащую квадратные неравенства; повторить метод интервалов.
Ход урока
I. Анализ домашней контрольной работы.
1. Указать ошибки, допущенные в работе.
2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.
II. Выполнение упражнений.
1. Вспомнить формулу разложения квадратного трехчлена на множители.
2. Повторить, в чем заключается метод интервалов при решении квадратных
неравенств.
3. Решить № 4.9 (г). Решение объясняет учитель.
х
2
3
х
г)
10 5
5
х
5
6 0
х1) Решим неравенство 3х – 10 > 5х – 5; 3х – 5х> – 5 + 10; – 2х> 5;
х< – 2,5.
2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1 = – 3;
х2 = – 2; тогда (х + 3)(х + 2) < 0.
Имеем – 3 <х< – 2.
3) Найдем решение системы неравенств
2,5;
х
х
3
2.
О т в е т: – 3 <х< – 2,5.
4. Решить № 4.9 (в) самостоятельно с проверкой.
О т в е т: нет решений.
5. Решить № 4.10 (г). Объясняет учитель. Предварительно повторить теорему
о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом.
22
х
х
3(6
3
х
1) 2
2 0
х
х
г)
1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = – 7 <
0. По теореме неравенство верно при любых значениях х.
2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х< – 3; –
21х<– 3; х>
1
.
7 Решение данной системы неравенств х>
1
7
.
1
7
.
О т в е т: х>
6. Решить № 4.10 (в) на доске и в тетрадях.
25
х
2(
х
2
х
3)
1 0
(
х
8) 4
в)
Решим неравенство 5х2 – 2х + 1 ≤ 0. 5х2–2х + 1 = 0;D = 4 – 20 = –16 < 0.
По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система
не имеет решений.
О т в е т: нет решений.7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие
в тетрадях, потом проверяется решение.
х
10 0
2
х
2
2
5
16
х
в)
1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 > 0. 2х2 + 5х + 10 = 0; D = –55 < 0.
По теореме неравенство верно при всех значениях х.
2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4;
х = – 4.
Решение х ≤ –4 и х ≥ 4.
х
х
любое число;
4;
4.
х
Решение
Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6.
О т в е т: –2; 6.
х
1
5
х
1
4
1
3
2
3| 12
2,5 | 10
3) Решение системы неравенств
О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4.
8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях.
х
х
2
3
6
12
х
х
3
х
10
5
6(
х
х
2(3
1) 2
4
х
1) 25;
х
х
4 2(3
5
х
10
6
2 2
х
6
х
х
4
х
х
2 25;
5
4 6
х
10
х
30,
5
х
11
х
6
х
1) 36,
6 36,
27;
х
2
х
5
11
2
5
11
х
6.9. Повторение ранее изученного материала.
1) Решить № 4.11 (а; б) на с. 24 устно.
2) Решить, построив графики функций (с. 24).
х
3
1
.
х
Строим графики функций
у
х и y = –1 – x.
3
О т в е т: –2.
III. Итоги урока.
1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух
неравенств.
2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно
неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений.
3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство
выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит
решение второго неравенства системы.
Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с.
46–48 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; б), № 4.10 (а; б), №
4.11 (а; б), № 4.32 (а).
У р о к 3
Цели: закрепить навыки решения неравенств и систем неравенств; учить
решать более сложные системы неравенств; развивать логическое мышление
учащихся.Ход урока
I. Устная работа.
1. Двое учащихся работают на доске, решая № 4.10 (б) и № 4.11 (б) из
домашнего задания.
25
2. С остальными учащимися устно решить № 4.1 (в), № 4.2 (а) и № 4.5 (а; б).
II. Решение более сложных систем неравенств.
1. Решить № 4.12 (в; г) на доске и в тетрадях.
х
2)(
(
7)
х х
20
х
20
2)(
х
7)
х х
(
х
10 35
(
5)(
х
(
0
0
х
в)
г)
2
х
0
0
5
х
х
5)
(
х
х
3)
3)
1)
х = 5; х = – 5; х = 0
1)
Отметим точки х = 2, х = – 3,
х = 0, х = – 7
Решение – 5 ≤ х< 0; х ≥ 5.
2) 5х – 10 ≥ 35
5х ≥ 45
х ≥ 9
5
х
9
0;
х
5
х
3)
Решение –7 <х< –3 и 0 <х< 2.
2) 20х ≥ 20
х ≥ 1
7
х
1
3; 0
2
х
х
3)
О т в е т: [9; + ∞) или х ≥ 9.
О т в е т: 1 ≤ х< 2 или [1; 2).2. Решить № 4.13 (в; г). Двое учащихся самостоятельно решают на доске,
остальные в тетрадях, затем проверяется решение.
2
2
х
х
8 0
6
х
36 0
в)
1) х2 – 6х + 8 < 0
(х – 4)(х – 2) < 0
Решение 2 <х< 4
2) х2 – 36 ≥ 0
(х – 6)(х + 6) ≥ 0
Решение х ≤ – 6; х ≥ 6
2
х
х
4
6;
х
6
3)
О т в е т: нет решений.
2
49
2
х
х
1 0
6 0
5
х
г)
1) 49х2 – 1 < 0
(7х – 1)(7х + 1) < 0
1
7 ) < 0 | : 49
1
7 ) ∙ 7(х +
7(х –
1
1
7 ) ∙ (х +
7 ) < 0
(х –
1
7
1
7 <х<
Решение –
2) х2 + 5х + 6 ≥ 0
(х + 2)(х + 3) ≥ 0
Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 2
1
7
х
х
3;
х
1
7
2
3)
1
7 <х<
1
7 .
О т в е т: –3. Решить № 4.20 (б; в).
4
х
у
15 3
х
0;
б)
Функция определена, если
15 3
х
4
х
0;
х
5,
х
4.
4
х
у
15
х
30
в)
Областью определения являются
для которых
все значения
х,
выполняется условие
30 0,
0;
х
15
4
х
2
х
4.
х
О т в е т: – 4 ≤ х ≤ 5.
4. Решить № 4.24 (в; г). Решение одной системы объясняет учитель.
О т в е т: 2 ≤ х ≤ 4.
2
3
х
3
3
х
5
4
х
2
х
1
5
2 0
3 0
3
х
5
х
2 6 2
3
х
1 12
х
4
х
5
х
0
15
0
5
х
3
7
х
х
4
8
х
0
16
5
0
в)
х
3
3
х
5
4
х
5(
х
(
х
1)
2
х
1
5
8
5
3)
)
0
8
5
3
х
х
0
8
;
5 х> 3
х
7(
Решение х<
16
7
5
)
4
4(
х
2)
)
0
х
х
16
7
5
4
05
4 <х<
16
7
;
х
3
Решение
8
х
5
5
4
х
3)
16
7
5
4 <х<
8
5
.
О т в е т:
5. Решить № 4.33 (б; г) на доске и в тетрадях.
х
х
1
1
2
2
б)
| 6
| 10
х
3
х
5
3
5
х
х
3 2
5 2
х
х
3
х
х
5
3
1
х
3.
2
3
Решение системы
О т в е т: целые числа –1; 0; 1; 2.
| 20
1
х
4
х
3
х
5
4
7
х
| 21
5
7
х
х
5 4
х
3
х
12
х
х
5
3
г)
Решение системы 3 <х ≤ 5.
О т в е т: целые числа 4; 5.
6. Решить № 4.27* (в). Учитель объясняет решение.
3
х
1
х
2
х
2
х
х
3
2
3
х
1
0,
3
;
2
х
1
в)
1)
0,
х
2 (
(
х
х
1)
1,5)
2(
х
х
3)(
(
х
1)(
х
1)(
х
2) 2(
(
х
1)
0,
0;
х
2)
(
х
1)(
х
(
х
1)(
2
х
1,5
1
х
х
3)(
2) 3(
х
2)
3)(
х
х
1
1,5
х
1)(
х
(
х
х
0
х
1)(
х
3)
0;
1
2)(
х
3)
0;
1
х
х
2; 1
1,5
3
х
1
О т в е т: – 1 <х< 1.
III. Итоги урока. Выставление отметок.
Домашнее задание: решить № 4.12 (а; б), № 4.13 (а; б), № 4.20 (а; г), № 4.24
(а; б), № 4.33 (а; б).
У р о к 4
Цели: упражнять учащихся в решении двойных неравенств и нахождении
области определения выражения; научить решать системы неравенств,
содержащих модули; развивать логическое мышление учащихся.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего
задания.
2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.
3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г).
II. Объяснение нового материала.
1. Двойное неравенство можно решить двумя способами:
а) сведением к системе двух неравенств;б) без системы неравенств с помощью преобразований.
2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами.
Решение – 2 <х< – 1.
6
6
х
х
12,
6;
х
х
2
1
I с п о с о б
II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6)
– 1 >х> – 2, тогда – 2 < х < – 1.
О т в е т: (– 2; – 1).
3. Решить № 4.17 (а; г).
I с п о с о б
а) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств:
1 2
1 2
х
х
2,
2;
1,
2
2
х
х
3;
х
х
1
2
1,5
О т в е т:
х
1,5.
1
2
II с п о с о б
– 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим –
3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда
х
1,5.
1
2
2
5
х
2
г) – 3 <
< 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х
+ 2 < 2. Решим систему неравенств:
х
2 2
2
0
5
5
5
5
х
х
х
х
6
8
х
0
8
5
О т в е т: – 1,6 <х< 0.
III. Выполнение упражнений.
1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях.
2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов.
в)
1) х2 – 9х + 14 > 0; (х – 7)(х – 2) > 0; х = 7; х = 2Решение (–; 2) и (7; +).
2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1
Решение – 1 ≤ х ≤ 8.
3)
О т в е т: –1 х< 2; 7 <х 8.
4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой.
х
).
Решим систему неравенств
х
2)(
(5
х
)(6
(
х
3)
3) 0
) 0
х
в)
(
х
(5
1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3
2)(
х
х
)(6
Решение х ≤ 2 и х ≥ 3.
2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) ∙ (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0
х = 5; х = 6
Решение х ≤ 5 и х ≥ 6.
х
х
2;
х
5;
х
3
6
3)
О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6.
5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение № 4.34 (в).
|
|
х
х
5 | 3,
1| 4.
в)
1) | х + 5 | < 3
Решение – 8 <х< – 2.
2) | х – 1 | ≥ 4
Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5.
8
х
х
х
3;
2
5
3)
О т в е т: – 8 <х ≤ 3.
|
х
3| 5,
|
х
2 | 1.
г)
1) | х – 3 | < 5;
Решение – 2 <х< 8.
2) | х + 2 | ≥ 1
Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1.
2
х
8
х
3 и
х
1
3)
О т в е т: –1 ≤ х< 8.
6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает
на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение.
3
5
1
б)
3
х
х
10
1
3
1
2
х
5
0,3 | 10
0,5(
х
3) | 3
х
6 3
3
х
1 4 2
1 1,5
х
3
х
4,5
5
х
2,5
х
4
0,5
х
х
4
5
1
5
х
1
5
.
Середина промежутка
5
10
1
2
.
Решение
4
5
1
2
.
О т в е т:
7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой
показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся.
О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р> 7.
8. Повторение ранее изученного материала.
Решить № 44.
Пусть первоначальная скорость велосипедиста хкм/ч, после уменьшения
стала (х – 3) км/ч.
х
3
6
1,5;
15
х
15x – 45 + 6x = 1,5x(x – 3);
21x – 45 = 1,5x2 – 4,5x;
1,5x2 – 25,5x + 45 = 0 | : 1,5; тогда х2 – 17х + 30 = 0; D = 169;
х1 = 15; х2 = 2 не удовлетворяет смыслу задачи.
О т в е т: 15 км/ч; 12 км/ч.
IV. Итоги урока. Выставление отметок.
Домашнее задание:
выполнить на отдельных листочках домашнюю
контрольную работу № 1 с № 7 по № 10 на с. 30–31 и еще № 4.34 (а; б), № 4.35
(а; б).