Системы неравенств.

СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ (4 ч) У р о к  1  Цели:  ввести   понятие   системы   неравенств,   решения   системы   неравенств; повторить и закрепить знания решения неравенств. Ход урока I. Актуализация опорных знаний учащихся. 1. Собрать у учащихся домашние контрольные работы. .а  х . х   8 4   х 8 0,   х 0. 2. Вспомнить, как найти область определения выражения f(х) =  3. Рассмотреть нахождение области определения выражения f(х) =  5 Сделать  в ы в о д:  задача сводится к решению системы неравенств  5  4  II. Изучение нового материала. 1. Определение системы неравенств. 2. Определение решения системы неравенств. 3. Решить систему неравенств – значит найти все ее частные решения. 4. Устно решить № 4.1 (а; б). 5.   Учитель   объясняет   решение   №   4.3   (а–г)   и   показывает   с   помощью штриховки нахождение общего решения. 6. Повторить  правила  для  решения неравенств и объяснить решение № 4.6 (в; г).    2 t 4 0    4 3 0 t  в)    t 2 4     3 t    t 2   4  t 3 4   1 0   6 0  5 t  3 t  г)   5 t 1   3 6 t   1 t  5   t 2 О т в е т:  (– ∞; – 2] или х ≤ – 2. III. Закрепление изученного материала. 1. Решить № 4.5 (в; г) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.7 (б; г) с комментированием на месте. О т в е т: [2; ∞) или х ≥ 2. в)   г)  О т в е т:  нет решений. 3.  Решить   №   4.8  (в;   г).   Двое   учащихся   самостоятельно   решают   на   доске, остальные в тетрадях. Учитель при необходимости помогает в решении. О т в е т: z = 12.   х 3   4 4 1 х   1 12 х   2 6 х  в)     0 15 х    10 2 х   0 х    х  0,2 3 х    7 2 х 2 5   х  4 х   2 3  г)    х 1    5 х    х 1    5 х  О т в е т: нет решений. 4. Решить № 4.21 (б) на доске и в тетрадях. О т в е т: – 5 <х ≤ – 1 или (– 5; – 1]. х ) х (  3)( х  4)  2 х  4 х  3 х  12 12 10  х     х 2    х 8) 4(7 3(    ( 5) 2)( х б)      24 28 4 х 3    х 2 5 х 10 х      28 24 4 х 3 х  2 2  3 х х х   4 7 х     х 2    4 х  7   х 1 2 х     х  1. 4 7 О т в е т:  5. Решить № 4.22 (б; г). Сначала решение объясняет учитель, затем несложную систему неравенств решают учащиеся самостоятельно.    2 | 4 х х х  х 4 1       2 в)     8 4 х х    х 3( 1) 2(   3 х 8  3 3 2 х    х 2  3   1| 6 х  2) 6    4 6   1| 2  х х 1    2  х    5 | 3  3 г)      2 х х   15 х  х 1   15 х 1 2 О т в е т: 1 <х< 15.   8 х  3   13 5 х  2 3 3 5      х  2 2 х 2 2 . 3 О т в е т: х ≥  IV. Итоги урока. 1. Что называется системой неравенств? Решением системы неравенств? 2. Что значит решить систему неравенств? Домашнее задание:  изучить  материал  учебника на с. 29–35; решить № 4.6 (а; б);  № 4.7 (а; б),  № 4.8 (а; б),  № 4.21 (а);   №  4.22(а; б),   № 31 (на с. 8). У р о к  2 Цели:  способствовать развитию навыков решения систем неравенств; учить находить   общее   решение   системы   неравенств;   научить   решать   систему, содержащую квадратные неравенства; повторить метод интервалов. Ход урока I. Анализ домашней контрольной работы. 1. Указать ошибки, допущенные в работе. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. II. Выполнение упражнений. 1. Вспомнить  формулу  разложения  квадратного  трехчлена  на  множители. 2. Повторить, в чем заключается метод интервалов при решении квадратных неравенств. 3. Решить № 4.9 (г). Решение объясняет учитель.    х 2 3 х г)    10 5 5   х 5   6 0 х 1) Решим неравенство 3х – 10 > 5х – 5;  3х – 5х> – 5 + 10; – 2х> 5; х< – 2,5. 2) Решим неравенство  х2  + 5х  + 6 < 0;   х2  + 5х  + 6 = 0;   D  = 1;  х1  = – 3; х2 = – 2;  тогда (х + 3)(х + 2) < 0.  Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств   2,5; х      х    3 2.     О т в е т:  – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (в) самостоятельно с проверкой. О т в е т: нет решений. 5. Решить № 4.10 (г). Объясняет учитель. Предварительно повторить теорему о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом.      22  х  х 3(6 3 х 1) 2   2 0   х х г)  1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0;  – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях  х. 2) Решим неравенство  –3(6х – 1) – 2х<х;  – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х< – 3;  – 21х<– 3;  х> 1 . 7  Решение данной системы неравенств х> 1 7 . 1 7 . О т в е т: х> 6. Решить № 4.10 (в) на доске и в тетрадях.    25 х 2( х  2 х   3)   1 0  ( х 8) 4  в)  Решим неравенство 5х2 – 2х + 1 ≤ 0. 5х2–2х + 1 = 0;D = 4 – 20 = –16 < 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. х  10 0  2 х 2   2 5    16 х в)  1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 > 0. 2х2 + 5х + 10 = 0; D = –55 < 0.  По теореме неравенство верно при всех значениях х. 2) Решим неравенство   х2  ≥ 16;     х2  – 16 ≥ 0;     (х  – 4)(х  + 4) ≥ 0;     х  = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4  и  х ≥ 4.   х   х  любое число; 4;  4. х Решение  Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6.   х 1 5 х  1 4 1  3    2   3| 12 2,5 | 10 3) Решение системы неравенств  О т в е т:  х ≤ – 4;  х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях.    х х 2  3 6 12    х х 3   х  10 5       6( х х 2(3 1) 2 4 х       1) 25; х х 4 2(3 5 х 10          6 2 2 х 6 х х 4 х       х 2 25; 5 4 6 х 10 х   30, 5 х    11 х   6 х    1) 36, 6 36,   27;   х 2 х 5 11  2 5 11   х 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.11 (а; б) на с. 24 устно. 2) Решить, построив графики функций (с. 24). х   3 1  . х Строим графики функций  у х   и y = –1 – x. 3 О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2.   Если   в   системе   из   нескольких   неравенств   с   одной   переменной   одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 46–48  и  записать  решение  в  тетрадь;  решить № 4.9 (а; б),  № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.32 (а). У р о к  3 Цели:  закрепить   навыки   решения   неравенств   и   систем   неравенств;   учить решать   более   сложные   системы   неравенств;   развивать   логическое   мышление учащихся. Ход урока I. Устная работа. 1.   Двое   учащихся   работают   на   доске,   решая   №   4.10   (б)   и   №   4.11   (б)   из домашнего задания. 25 2. С остальными учащимися устно решить № 4.1 (в), № 4.2 (а) и № 4.5 (а; б). II. Решение более сложных систем неравенств. 1. Решить № 4.12 (в; г) на доске и в тетрадях.   х 2)(  ( 7) х х  20 х 20   2)( х  7) х х (  х    10 35      ( 5)( х      (  0  0 х  в)  г)  2 х  0  0 5 х х 5) ( х х 3) 3) 1)  х = 5;  х = – 5;  х = 0 1)  Отметим точки х = 2,  х = – 3,  х = 0,  х = – 7 Решение  – 5 ≤ х< 0;  х ≥ 5. 2) 5х – 10 ≥ 35 5х ≥ 45 х ≥ 9     5   х 9 0;   х  5 х 3)  Решение –7 <х< –3  и  0 <х< 2. 2) 20х ≥ 20 х ≥ 1      7   х 1 3;   0   2 х х 3)  О т в е т: [9; + ∞) или  х ≥ 9. О т в е т:  1 ≤ х< 2  или  [1; 2). 2. Решить № 4.13 (в; г). Двое учащихся самостоятельно решают на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение.     2 2 х х   8 0  6 х   36 0 в)  1) х2 – 6х + 8 < 0    (х – 4)(х – 2) < 0 Решение 2 <х< 4 2) х2 – 36 ≥ 0    (х – 6)(х + 6) ≥ 0 Решение  х ≤ – 6;  х ≥ 6  2 х   х    4 6;   х  6 3)  О т в е т: нет решений.     2 49 2 х х    1 0   6 0 5 х г)  1) 49х2 – 1 < 0     (7х – 1)(7х + 1) < 0 1 7 ) < 0 | : 49 1 7 ) ∙ 7(х +      7(х –  1 1 7 ) ∙ (х +  7 ) < 0     (х –  1 7 1 7 <х< Решение  – 2) х2 + 5х + 6 ≥ 0    (х + 2)(х + 3) ≥ 0 Решение  х ≤ – 3  и  х ≥ – 2   1   7   х    х 3;   х 1 7  2 3)  1 7 <х< 1 7 . О т в е т: – 3. Решить № 4.20 (б; в). 4  х у  15 3  х  0; б)  Функция определена, если    15 3 х    4 х 0;   х 5,   х 4.  4  х у  15 х  30  в)  Областью   определения   являются   для   которых все   значения  х, выполняется условие 30 0, 0; х      15  4 х   2 х   4. х О т в е т:  – 4 ≤ х ≤ 5. 4. Решить № 4.24 (в; г). Решение одной системы объясняет учитель. О т в е т:  2 ≤ х ≤ 4. 2 3        х 3  3 х 5 4 х 2 х  1  5   2 0   3 0 3 х 5 х          2 6 2  3 х   1 12 х  4 х 5  х  0 15  0   5 х   3   7 х    х 4 8 х    0 16 5  0       в)   х 3  3 х 5 4 х 5( х  ( х 1)    2 х  1  5 8 5 3)  )   0 8 5 3 х  х   0 8 ; 5 х> 3   х 7( Решение х< 16 7 5 ) 4 4( х  2)  )  0 х  х  16 7 5 4  0 5 4 <х< 16 7 ;   х  3 Решение    8 х  5  5     4 х 3)  16 7 5 4 <х< 8 5 . О т в е т:  5. Решить № 4.33 (б; г) на доске и в тетрадях.       х х 1 1  2  2 б)    | 6   | 10 х 3 х 5    3 5 х х   3 2   5 2 х х  3 х    х   5 3    1 х 3. 2 3 Решение системы   О т в е т: целые числа  –1; 0; 1; 2.   | 20 1 х     4  х    3 х 5  4 7 х  | 21    5 7 х х   5 4   х 3 х 12    х х  5  3 г)  Решение системы  3 <х ≤ 5. О т в е т: целые числа 4; 5. 6. Решить № 4.27* (в). Учитель объясняет решение.  3 х    1     х 2 х 2 х    х  3 2  3 х 1   0, 3  ; 2 х 1 в)                1)  0, х 2 (   ( х х 1)  1,5) 2( х   х 3)( ( х  1)( х  1)( х 2) 2(   ( х 1)  0,  0; х  2) ( х  1)(  х ( х  1)( 2  х 1,5  1  х х 3)(   2) 3( х  2) 3)( х   х 1   1,5 х     1)(  х ( х х  0 х  1)( х  3)  0;   1 2)( х  3)  0;     1 х      х 2;   1  1,5 3    х 1 О т в е т:  – 1 <х< 1. III. Итоги урока. Выставление отметок. Домашнее задание:  решить № 4.12 (а; б), № 4.13 (а; б), № 4.20 (а; г), № 4.24 (а; б), № 4.33 (а; б). У р о к  4 Цели:  упражнять   учащихся   в   решении   двойных   неравенств   и   нахождении области   определения   выражения;   научить   решать   системы   неравенств, содержащих модули; развивать логическое мышление учащихся. Ход урока I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами.            Решение  – 2 <х< – 1.      6 6 х х   12, 6;    х    х  2 1 I  с п о с о б    II  с п о с о б   6 < – 6х< 12 | : (– 6)   – 1 >х> – 2, тогда  – 2 < х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.17 (а; г). I  с п о с о б а) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств:  1 2  1 2 х х     2,  2;      1, 2   2 х х 3;   х     х 1 2 1,5            О т в е т:      х 1,5. 1 2 II  с п о с о б – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда     х 1,5. 1 2 2 5 х  2 г) – 3 < < 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств:  х      2 2    2  0   5 5 5 5 х х х х       6 8 х   0 8 5 О т в е т:  – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в)  1) х2 – 9х + 14 > 0;  (х – 7)(х – 2) > 0;  х = 7;  х = 2 Решение  (–; 2) и (7; +). 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0;  (х – 8)(х + 1) ≤ 0;  х = 8;  х = – 1 Решение  – 1 ≤ х ≤ 8. 3)  О т в е т: –1 х< 2; 7 <х 8. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой.  х ).  Решим систему неравенств х  2)(   (5  х )(6 (   х 3)   3) 0   ) 0 х в)   ( х  (5  1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0;  х = 2;  х = 3 2)( х х )(6 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0;   – 1(х – 5) ∙ (– 1)(х – 6) ≥ 0;   (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5;  х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6.   х   х  2;   х 5;   х  3  6 3)  О т в е т: х ≤ 2,   3 ≤ х ≤ 5,   х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение № 4.34 (в).    | | х х   5 | 3,   1| 4. в)  1) | х + 5 | < 3 Решение  – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 Решение  х ≤ – 3  и  х ≥ 5.      8 х   х х 3;    2  5 3)  О т в е т:  – 8 <х ≤ 3.    | х 3| 5,    | х 2 | 1.  г)  1) | х – 3 | < 5; Решение  – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение  х ≤ – 3  и  х ≥ – 1.     2   х  8 х 3  и   х  1 3)  О т в е т:  –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение.   3   5    1  б)  3 х  х 10  1 3 1 2  х  5  0,3 | 10   0,5( х   3) | 3    х 6 3 3 х        1 4 2  1 1,5 х  3 х 4,5 5   х 2,5 х    4  0,5   х      х  4 5 1 5    х 1 5 .  Середина промежутка    5 10 1 2 . Решение   4 5 1 2  . О т в е т:  7.   Решить   №   4.38   (а;   б).   Учитель   на   доске   с   помощью   числовой   прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3;  р ≥ 3;   б) р ≤ 7;  р> 7. 8. Повторение ранее изученного материала. Решить № 44.  Пусть   первоначальная   скорость   велосипедиста  хкм/ч,   после   уменьшения стала (х – 3) км/ч. х 3   6  1,5; 15 х 15x – 45 + 6x = 1,5x(x – 3); 21x – 45 = 1,5x2 – 4,5x; 1,5x2 – 25,5x + 45 = 0 | : 1,5;    тогда х2 – 17х + 30 = 0;  D = 169; х1 = 15; х2 = 2 не удовлетворяет смыслу задачи. О т в е т: 15 км/ч;  12 км/ч. IV. Итоги урока. Выставление отметок. Домашнее   задание:  выполнить   на   отдельных   листочках   домашнюю контрольную работу  № 1  с № 7 по № 10 на с. 30–31 и еще № 4.34 (а; б), № 4.35 (а; б).