Сложение и умножение числовых неравенств

Тема урока: Сложение и умножение числовых неравенств Класс: 8 Дата проведения Технологическая карта урока № 70 АЛГЕБРА. ­ обучающие: изучить формулировки и доказательства теорем о почленном сложении и умножении неравенств; формировать умения применять данные  теоремы при решении задач  ­ развивающие: развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание; ­   воспитательные:  развивать   познавательный   интерес   через   игровые   моменты   взаимоконтроля,   взаимопроверки,   способствовать   пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения, положительного эффекта настойчивости для достижения цели. Тип урока: урок изучения новых знаний Место проведения: учебный кабинет Оборудование: Учебник:  Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций/А45 (Ю.Н. Макарычев и др.под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2015.  Этапы урока Организационный  момент  Задачи этапа Создать  благоприятный  психологический настрой  на работу  Деятельность учителя Актуализация  знаний и умений  Актуализация опорных  знаний и способов  действий  Проверка ДЗ Проверочная работа Приложение 1 Целеполагание и  мотивация  Обеспечение мотивации  учения детьми, принятия ими целей урока Изучение нового  З а д а ч а 1. Длина прямоугольника больше 12 см, а его ширина больше 3 см. Можно ли утверждать, что периметр этого прямоугольника больше 30 см? Р е ш е н и е Пусть a и b – длина и сторона прямоугольника соответственно, тогда периметр равен 2a + 2b. a> 12; 2a > 24; b > 3; 2b > 6. Доказать, что 2a + 2b > 30. Учащиеся могут интуитивно сложить Деятельность учащихся и ПРООП Включаются в деловой ритм урока:  планируют, контролируют,  выполняют свои действия по  заданному плану учителем.  Цель нашего урока: материала  почленно неравенства и получить следующий результат: 2a + 2b > 24 + 6; 2a + 2b > 30. Следует отметить, что так можно поступать, но необходимо провести доказательство, используя известные теоремы, выражающие свойства числовых неравенств. : 2a > 24;2a + 2b > 24 + 2b. (1). 2b > 6; 2b + 24 > 6 + 24; 24 + 2b > Из неравенств (1)и (2) по теореме 2 30. (2). следует, что 2a + 2b > 30. Далее просим учащихся ими сформулировать утверждение в общем виде и записать его аналитическую модель: «открытое» Если a < b и c < d, то a + c < b + d. Теорема 5. Доказательство теоремы можно разобрать по учебнику, так как в нём повторяется ход рассуждений для решения задачи 1. З а д а ч а 2. Длина прямоугольника больше 15 дм, а его ширина больше 6 дм. Можно ли утверждать, что его площадь больше 90 дм2? Р е ш е н и е Можно предложить учащимся провести утверждения с доказательство самостоятельно по аналогии предыдущей задачей. Пусть a и b – длина и сторона прямоугольника, тогда его площадь равна a · b. a > 15; b > 6. Доказать, что ab > 90. : a > 15; b > 0, значит, a · b > 15 · b. (1). b > 6; b · 15 > 6 · 15; 15b > 90. (2). Из неравенств (1) и (2) по теореме 2 следует, что ab > 90. справедлива Просим учащихся дать общую формулировку утверждения. Замечаем, что теорема о почленном умножении неравенств для положительных чисел. Если среди чисел есть отрицательные, то при почленном умножении неравенств может получиться неверное неравенство. Просим учащихся привести контрпримеры. На доску выносится запись: Если a < b и c < d, где a, b, c, d – положительные числа, то ac < bd. Теорема 6. Доказательство разбираем по учебнику. 2. Следствие из теоремы 6 также разбираем по учебнику. Обращаем внимание учащихся, что для почленного сложения или умножения неравенств удобнее их записывать друг под другом. 1. № 765, № 766. 2. № 767 (а); № 768. Р е ш е н и е № 767. а) а2 > b2, значит, а2 – b2 > 0; (a – b)(a + b) > 0. a и b – положительные числа, значит, a + b > 0. Разделим обе части неравенства на a + b, получим a – b > 0, значит, a > b. Планировать, контролировать и  выполнять действия с  использованием основных свойств и правила вычитания. Уметь выделять полученную  информацию из текста и  ориентироваться на разнообразие  способов решения задач. Организация Установление первичного закрепления Выявление правильности осознанности изучения темы    и пробелов   первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления  в памяти детей   знаний   и способов   действий, им которые   необходимы для самостоятельной работы   по   новому материалу.    a > b Имеем: а2 > b2 а2 · а > b2 · b, то есть а3 > b3. № 768. а) 3 < a < 4 b < 5 4 < 7 < a + b < 9 б) a – b = а + (–1) · b в) 3 < a < 4 b < 5 4 < 12 < ab < 20 4 < b < 5 –5 < –b < –4 а < 4 3 + (–5) < а + (–b) < 4 + (–4); –2 < а – b < 0. 3 < a b a  ∙  1 b       г) 4 < b < 5 1 4 1 1        5 b а < 4 3 < 1 1   a  ∙  b 5   ∙ 4  ∙ 3 1 4  a b 1       0,6 3. № 776. Задание повышенной сложности на «прямое» применение теорем 5 и 6.; Р е ш е н и е Запишем соотношение между средним средним арифметическим геометрическим для всех пар чисел: и b c 2 ab ≤ а + 2 bc ≤ b + 2 ac ≤ а +  2 ab ∙ 2 bc ∙ 2 ac ≤ (а c); 8 ( 2 )abc ≤ (а + c 8 ∙ | abc | ≤ ( + c). Так как а ≥ 0, b ≥ 0, с ≥ 0, то | abc | = abc, значит, 8abc ≤ (а + b)(b + c)(а + c), то есть (а + b)(b + c)(а + c) ≤ 8abc. Организация первичного контроля Выявление   качества   и уровня   усвоения   знаний   и способов действий, а также выявление   недостатков   в знаниях   и   способах   установление действий, причин   выявленных недостатков Подведение итогов урока Дать качественную оценку работы класса и  отдельных обучаемых Информация   о домашнем Обеспечение   понимания детьми цели, содержания и В о п р о с ы у ч а щ и м с я: – Сформулируйте теорему о почленном сложении неравенств. – Сформулируйте теорему о почленном Какие умножении ограничения накладываются на числа? неравенств. – Сформулируйте следствие из теоремы о почленном умножении неравенств. – Можно ли применить данные теоремы к более чем двум неравенствам указанного вида? Домашнее задание. 1. № 767 (б), № 769.  Самопроверка задач  самостоятельной работы по образцу Совершенствовать свои критерии  оценки и пользоваться ими в ходе  оценки и самооценки. Уметь строить рассуждения,  владеть общим приемом решения  задач, выбирать средства для  решения математических  задач,  выполнять действия по заданному  условию задачи. Предвосхищать промежуточные и  конечные результаты своих  действий, возможные ошибки,  умение делать выводы. задании Рефлексия  способов домашнего задания   выполнения 2. Докажите, что если а > 5 и b > 6, то а) 2a + b > 15; б) 12a >4b  80. 50. 3. Докажите, что если а > 6 и b < –1, то а) 3a – b > 16; б) b – 12а < – 4. № 776 (б)* (дополнительное задание). Инициировать   рефлексию детей   по   поводу психоэмоционального состояния, мотивации, собственной их и деятельности взаимодействия с учителем   и   другими детьми в классе       Что нового вы сегодня узнали? Какую цель вы ставили перед собой? Вы достигли поставленной цели? Какие знания вы использовали при достижении цели? Как вы открывали новые знания? Успешной была ваша работа на уроке? Синквейн неравенсто Саморегуляция и умение давать  оценку по результатам урока. Задача 1. Длина  прямоугольника больше 12  см, а его ширина больше 3  см. Можно ли утверждать,  что периметр этого прямоугольника больше 30  см? 1. Известно, что 10 < a < 16. Оцените значение В а р и а н т 1 выражения: выражения: 1 2a; б) –3а; в) а – 16. а) 2. Известно, что 2,2 < 5< 2,3. Оцените значение а) 5 5; б) – 5; в) 3 + 5; г) 3 – 5. 1. Известно, что 5 < m < 15. Оцените значение В а р и а н т 2 1 5т; б) –2т; в) т – 6. а) 2. Известно, что 2,6 < 7 < 2,7. Оцените значение а) 2 7 ; б) – 7 ; в) 2 + 7 ; г) 3 – 7 . 1. Известно, что 10 < a < 16. Оцените значение В а р и а н т 1 выражения: выражения: выражения: выражения: 1 2a; б) –3а; в) а – 16. а) 2. Известно, что 2,2 < 5< 2,3. Оцените значение а) 5 5; б) – 5; в) 3 + 5; г) 3 – 5. 1. Известно, что 5 < m < 15. Оцените значение В а р и а н т 2 выражения: 1 5т; б) –2т; в) т – 6. а) 2. Известно, что 2,6 < 7 < 2,7. Оцените значение выражения: а) 2 7 ; б) – 7 ; в) 2 + 7 ; г) 3 – 7 .