Поделиться
Уравнение с параметрами.doc
УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ.
Радченко С., обучающийся 8 класса
Никифорова Л. И. учитель математики
МОУ СШ №55 «Долина знаний» Советского района Волгоград
Линейный уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным.
Цель: глубже и основательнее познакомиться с методами и идеями решения уравнений, содержащих параметры самостоятельно, а также используя помощь учителя математики.
Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:
а) в условии сказано: решить уравнение – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя.
б) требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.
Пример 1. Решить уравнение: kx = p, где x –неизвестное, а k , p параметры. Решение:
Найдем область допустимых значений переменной и параметров. ОДЗ(k,p): k,p €R; ОДЗ(x): x €R.
При решении таких уравнений могут быть случаи:
1.
k
0; x
= 
, единственное решение.
2. k = 0 получаем 0*k = p.
а) Если p = 0, то 0*x =0, решением является x – любое число.
б) Если p
то решений нет.
Ответ: 1. k
0; x
= 
, единственное решение.
2. Если k = 0, p = 0, решением является x – любое действительное число.
3. Если k
= 0, p 
то решений нет.
Пример 2. При всех значениях параметра a решить уравнение:
(a2 – 1) x – (2a2 +a – 3) =0.
Решение: ОДЗ(a) : a € R; ОДЗ(x) : x € R.
1.
a2
– 1 
0, a
x
= 
= 
= 
единственное решение.
2.
a2
– 1 
0, a
;
а) a = 1, получим: 0*x =0 - решением является любое действительное число x;
б) a = -1, получим 0*x = -2 – нет решений.
Ответ:
1.
a 
x
= 
единственное решение.
2) a = 1 - решением является любое действительное число x;
3) a = -1– нет решений.
Пример 3. При всех значениях параметра a решить уравнение:
+ 
= 
.
Решение: ОДЗ(m):
m 
1; ОДЗ(x):
x 
.
3mx – 5 +3mx + 9m – 11x – 33 = 2mx – 2x + 7m– 7;
-9x + 4mx = - 2m + 31;
(4m – 9 )x = 31 – 2m;
1)
4m
– 9 
; m
; x
=
.
Согласно ОДЗ(x):
x 
, значит 
.
Решим уравнение: 
;
31 – 2m
= -12m + 27; 10m
= - 4; m = - 
значит m
- 
Если m
1; m
; m
- 
, то уравнение имеет
единственное решение x
= 
.
2)
Если
m 
; m
= - , то уравнение не имеет
решений.
Ответ: 1) Если m
1; m
; m
- , то уравнение имеет
единственное решение x
= 
.
2) Если m
; m
= - , то уравнение не имеет
решений.
Пример 4 . При всех значениях параметра a решить уравнение:
- 
= 
;
Решение: ОДЗ(x):
x 
ОДЗ(b,a):
a,b
-- могут принимать любые значения
- 
= 
;
a2b2 + b2x + a2x +x2 - a2b2 + a2x + b2x – x2 = 4abx + 2a2 – 2b2;
2b2x + 2a2x - 4abx = 2a2 – 2b2;
2x(a – b)2 = 2(a2 – b2);
(a – b)2 x= a2 – b2;
1)
Если
(a – b)2
a
и x
= 
; Так как ОДЗ(x):
x 
b2,
решим два уравнения:
а)
= b2;
a +b = ab2 – b3; a(1 – b2) = -b(1 + b2);
a
=
. Значит a 
.
б)
а)
= - b2;
a + b = - ab2 + b3; a + ab2 = b3 -
b
a(1 + b2) = b(
b2 - 1); a =
. Значит
a 
.
Итак, если a
, a
; a
; b
, то уравнение
имеет единственное решение: x
= 
;
2) (a
– b)2 = 0; то
есть a = b,
тогда получим 0*x = 0, решением
является x – любое число
кроме x = 
Ответ: 1. Если
a
, то a 
; a 
; b
, то
x
= 
единственное решение.
2.
Если
a 
; a
, то уравнение не имеет
смысла.
3.
Если
a = b,
решением является любое действительное число x,
кроме x =
Пример 5 . При всех значениях параметра a решить уравнение:
= 
- 
.
Решение:
ОДЗ( m)
: m 
ОДЗ(x)
: x 
.
3mx – 5 = 2mx + 6m +x +3 – 5mx – 10x + 15m +30;
9x + 6mx = 38 + 21m;
9 +6m)x = 38 + 21m;
Согласно ОДЗ m
Если 9 + 6m
0; m
; то x
=
Учитывая ОДЗ(x)
x 
.
Решим уравнения:
а)
; 38 + 21m
= 27 + 18m; 3m
= -11; значит m 
;
б) 
; 38 + 21m
= - 27 - 18m; 39m = - 65 значит
m 
.
Ответ: При m
m
; m
, уравнение имеет
единственное решение x
=
Пример решения квадратного уравнения с параметрами.
При всех значениях параметра a решить уравнение:
- 
= 
+
Решение: ОДЗ(k)
k 
ОДЗ(x)
x 
;
Преобразуем уравнение:
(k +2)(k – 1)x2 – (2k2 + 2x +5)x + (k + 2)(k – 1) =0;
1. (k +2)(k – 1) = 0, с учетом ОДЗ(k), получаем, что k = -2.
0x2 – 4x = 0 x = 0 – единственное решение.
2.
k 
x1,x2
=
;
x1
=
; x2
= 
; С учетом ОДЗ(x)
x 
;
x1 
x1
=
k
+2 
k
;
x2
; x2
= 
k
– 1 
2k
+ 4; k 
При x
=4 x2
= 
= 
;
При x
= -5 x1
= 
=
Ответ: 1. k
k
k
; x1
=
; при k
= -5 x1
=
2. k
k
k
x2 =
; при k
= 4 x2
= ;
3.k = -2 ; x = 0.
Вывод: при решении уравнений с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметров уравнение имеет решение, и найти все эти решения.
Литература:
1. В.А. Марков Метод координат и задачи с параметрами.
2. Интернет ресурсы http://mathus.ru/math/parameter-lin.pdf
Скачано с www.znanio.ru
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
