Статья "

РАЗНЫЕ УРОВНИ ОБОБЩЕННОСТИ ПРИЗНАКА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ И ТЕОРЕМЫ О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ Тема «Перпендикулярность в пространстве» ­ интереснейшая тема курса  стереометрии, изучение перпендикулярности в  пространстве важно не только само по себе, как одно из основных отношений,  определяющее взаимосвязь элементов многогранников, но и для определения  углов и расстояний, вычисления площадей поверхностей и объемов  многогранников и фигур вращения. Но традиционное строгое научное  изложение этой темы в учебных пособиях привело к утрате интереса  учащихся к ней. В связи с этим учащиеся плохо владеют данным понятием  при решении стереометрических задач: не могут доказать  перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и  плоскости. Введение ФГОС в систему школьного образования является  хорошей возможностью изменить формальный подход в изучении темы на  подходы, активизирующие учебную деятельность учащихся. Изменение как  внешних форм (изменение структуры плана­конспекта), так и внутренних  должно заставить каждого учителя пересмотреть устоявшиеся и не всегда  эффективные методы введения понятия «перпендикулярность в  пространстве».  Признак перпендикулярности прямой и плоскости и теорема о трех  перпендикулярах  ­ фундаментальное теоретическое ядро стереометрии.  Теоремы должны знать все учащиеся. Но на базовом уровне решать задачи на  узнавание и проговаривание формулировки,   применять  их для нахождения  элементов в правильных пирамидах, призмах . А на углубленном уровне ­  через систему задач доходить до решения задач профильного уровня ЕГЭ.  Большую помощь в этом случае мы получили от Ковалевой Галины Ивановны, подготовившую сборник « Задачи по готовым чертежам для 10­11 класса» и  диск.  прямая,   пересекающая   плоскость, У Погорелова  А.В.  определение  прямой, перпендикулярной   плоскости   называется звучит   так: перпендикулярной   этой   плоскости,   если   она   перпендикулярна   любой прямой,   которая   лежит   в   данной   плоскости   и   проходит   через   точку пересечения. Это определение, на мой взгляд, избыточно и требует работы по его   усовершенствованию.   Во­первых,   прямая   перпендикулярная   плоскости пересекает эту плоскость. Данное предложение можно доказать с учащимися методом   от   противного.   Во­вторых,   применение   понятия   угла   между скрещивающимися прямыми позволяет отказаться от условия, чтобы прямые, лежащие в плоскости, проходили через точку пересечения данной прямой и плоскости. Но Погорелов А.В.  угол между скрещивающимися прямыми рассматривает только в конце 10 класса. Организовать   работу   учащихся   по   открытию   признака перпендикулярности   прямой   и   плоскости   можно,   реализуя   идею,   что непосредственное применение определения мало пригодно для обоснования перпендикулярности   прямой   и   плоскости,   в   силу   бесконечности   прямых лежащих   в   плоскости.   Необходим   признак,   позволяющий   свести   решение этого вопроса к выполнению конечного числа проверок. Сколько прямых в плоскости   необходимо   взять,   чтобы   из   их   перпендикулярности   к   данной прямой, сделать вывод о перпендикулярности прямой и плоскости?   Начнем рассмотрение с наиболее простого случая: пусть прямая  а перпендикулярна  одной  прямой  b,   лежащей   в   плоскости.   Контпример , показывает, что одной прямой недостаточно.  Возьмем две прямые.   ,  ,  c , не следует, что  b . Контр пример, когда прямые b и с a  c b a a  параллельны. А  если  прямые  b  и  с  пересекаются? После  такой  работы учащиеся   сами   формулируют   признак   перпендикулярности   прямой   и плоскости. Формулировка указанного признака в учебнике Погорелова А.В. так же содержит условие, чтобы прямые, лежащие в плоскости, проходили через точку пересечения данной прямой и плоскости. Атанасян   Л.С.   рассматривает   угол   между   прямыми   после   изучения параллельности,   что   позволяет   ему   дать   следующее   определение:  прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой   прямой,   лежащей   в   этой   плоскости.  Формулировка   признака перпендикулярности прямой и плоскости так же лаконична и доказательство содержит   случай,   когда   прямая  а  не   проходит   через   точку   пересечения прямых b и с. Логика   изложения   материала   нарушается   у   Атанасяна   Л.С.   когда   он формулирует   теорему   о   трех   перпендикулярах:  прямая,   проведенная   в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. Обратная теорема так   же   требует,   чтобы  прямая   проходила   через   основание   наклонной. Поэтому   решение   задач,   где  прямая   не   проходит   через   основание наклонной, вызывает у учащихся затруднение. Следует   отметить,   что   Погорелов   А.В.   все­таки   выходит  на   второй уровень обобщенности. Так в пункте 160 (§18) рассматривается  задача № 33:   докажите,   что   любая   прямая   на   плоскости,   перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна   и   проекции   наклонной.   Но   это   задача!  Такое расположение   материала   оставляет   одну   из   главных   теорем   курса незамеченной. Задача разбирается с целью показать, как можно использовать понятие угла между скрещивающимися прямыми, то есть служит средством для усвоения другого материала. Теорема о трех перпендикулярах в такой формулировке   не   отрабатывается   на   задачах.   Остается   открытым   вопрос: будет ли вообще учитель рассматривать эту задачу или возьмет другую? Все зависит   от   методической   подготовки   нас,   учителей,   от   осознания   им важности и удобства использования теоремы о трех перпендикулярах на втором уровне обобщенности. Выгодно в этом плане отличается учебник  Потоскуева Е.В., Звавича Л.И. Одна   из   формулировок   теоремы   о   трех   перпендикулярах   звучит   так: наклонная к плоскости тогда и только тогда перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, когда проекции наклонной перпендикулярна данной прямой. Учащиеся с удовольствием используют эту теорему при решении задач. B 1 B D 1 D A 1 A C 1 C Например, задача:  найдите угол между диагональю куба и непересекающейся с   ней   диагональю   боковой   грани, становится для них устной. DC1  –   проекция  B1D  на   плоскость DD1C1C,   как   диагонали   DC 1  CD 1 квадрата. Следовательно,  . DB 1  CD 1 Более того, акцентируется внимание учащихся на то, что теорема о трех перпендикулярах позволяет построить проекцию наклонной к плоскости, не   опуская   на   эту   плоскость   перпендикуляра,   если   в   плоскости   дана прямая, перпендикулярная наклонной. В этом случае достаточно через основание наклонной провести в плоскости прямую, перпендикулярную данной   прямой.  Этот   прием   так   же   вызывает   восхищение   у   учащихся простотой своего применения.