СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ (9 часов)

 В этой главе вводится одно из важнейших понятий - понятие параллельных прямых и дается первое представление об аксиомах и аксиоматическом методе в геометрии.

Изучаются признаки и свойства параллельных прямых. На основе новых геометрических фактов существенно расширяется круг задач.

Теория параллельных прямых дает богатый материал и для внеклассной работы, в частности для ознакомления учащихся с вопросами истории, связанными с пятым постулатом Евклида.

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ (§ 1) (3 часа)

 В результате изучения параграфа 1 учащиеся должны знать определение параллельных прямых, названия углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, формулировки признаков параллельности прямых; понимать, какие отрезки и лучи являются параллельными; уметь показывать на рисунке пары накрест лежащих, соответственных, односторонних углов, доказывать признаки параллельности двух прямых и использовать их при решении задач типа № 186, 187, 188, 189, 191, 194; уметь строить параллельные прямые при помощи чертежного угольника и линейки.

 Урок 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

 Цели: ввести понятие параллельных прямых; рассмотреть признак параллельности двух прямых, связанный с накрест лежащими углами.

I. Анализ контрольной работы.

1. Указать ошибки, сделанные учащимися при выполнении работы.

2. Решить задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

 II. Объяснение нового материала.

1. Повторить возможные случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости, используя при этом готовые чертежи, плакаты или кодопозитивы.

2. Предложить учащимся провести обоснование того факта, что две прямые не могут иметь двух или более общих точек.

3. Дать определение параллельных прямых и соответствующее обозначение: а || в.

4. Ввести понятие параллельных отрезков, отрезка и прямой, луча и прямой, отрезка и луча, двух лучей по рисунку 99 учебника.

5. Ввести понятие секущей по отношению к двум прямым по рисунку 100.

6. Рассмотреть и ввести название различных пар углов, образованных двумя прямыми и секущей: накрест лежащие углы, односторонние углы, соответственные углы (рис. 100).

7. По заранее заготовленным таблицам или рисункам на доске провести работу:

1) По рисунку 1 назовите пары накрест лежащих, односторонних, соответственных углов.

2) На рисунке 2 ∠4 = ∠6. Докажите, что ∠5 = ∠3; ∠8 = ∠6; ∠2 = ∠5.

3) На рисунке 3 ∠1 = ∠5:

а) выпишите все пары накрест лежащих углов и докажите, что в каждой паре углы равны;

б) выпишите все пары соответственных углов и докажите, что в каждой паре углы равны;

в) выпишите все пары односторонних углов и докажите, что сумма углов в каждой паре равна 180°.

8. Повторить признаки равенства треугольников и утверждение о том, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются (п. 12).

9. Вспомнить еще раз определение параллельных прямых и отметить, что так как прямые бесконечны, то невозможно непосредственно убедиться в том, что они не имеют общей точки. Поэтому желательно иметь какие-то признаки, по которым можно сделать вывод о параллельности прямых. С понятием «признак» мы уже встречались, когда изучали признаки равенства треугольников. Теперь же предстоит познакомиться с признаками параллельности двух прямых.

 II. Работа с учебником.

1.  Проведение по тексту учебника доказательства теоремы - признака параллельности двух прямых, использующего накрест лежащие углы (рис. 101).

Это доказательство не является традиционным - во многих учебниках этот признак доказывается методом от противного.

В процессе доказательства необходимо акцентировать внимание учащихся на назначении дополнительных построений (рис. 101, в учебника).

2.  Теорема является важной и сама по себе, и потому, что на нее опираются доказательства других признаков параллельности прямых.

3.  Устно решить задачу № 187 (рис. 107) и задачу № 189 (по рис. 108 или по ранее заготовленным плакатам).

IV. Закрепление изученного материала.

1.  Задача. Найти пары параллельных прямых (отрезков) и доказать их параллельность (по готовым чертежам на доске (см. рис. 1-3):

2. Решить задачу № 191 на доске и в тетрадях учащихся.

Дано: ΔABC; ВК - биссектриса ВМ = МК.

Докажите, что КМ || АВ.

 Доказательство: По условию ВМ = МК, тогда треугольник ВМК — равнобедренный (по определению), значит, ∠MBK = ∠MKB (углы при основании равнобедренного треугольника равны). По условию ВК — биссектриса ∠B, то ∠MBK = ∠ABK.

Следовательно, ∠ABK = ∠MBK = ∠MKB, a ∠ABK и ∠MKB — накрест лежащие углы, тогда АВ || КМ.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить пункты 24-25 (только первый признак); решить задачи № 186, 188.

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

 Цели: закрепить знание свойств параллельных прямых в ходе выполнения упражнений и решения задач; систематизировать знания учащихся; развивать логическое мышление учащихся.

I.  Проверочная работа (10 мин).

Вариант I

1. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

2. Какая теорема называется обратной данной теореме? Приведите примеры теорем, обратных данным.

3. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны.

Вариант II

1. Объясните, какие утверждения называются аксиомами. Приведите примеры аксиом.

2. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными?

3. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°.

 II. Выполнение упражнений.

1. По готовому на доске чертежу рисунка 1 решить задачи:

1) Дано: а || в, с - секущая; ∠1 = 4∠2. Найти ∠1 и ∠2.

2) Дано: а || в, с - секущая; ∠1 - ∠2 = 30°. Найти ∠1 и ∠2.

3) Дано: а || в, с - секущая; ∠1 : ∠2 = 4 : 5. Найти ∠1 и ∠2.

4) Дано: а || в, с - секущая; ∠2 составляет 80% от ∠1. Найти ∠1 и ∠.

2. На доске и в тетрадях решить задачи № 203 (б), 211 (в).

Решение задачи № 211 (в)

Дано: а || в; с - секущая, AM - биссектриса ΔДАК; ДВ - биссектриса ∠АДМ.

Доказать: AM ⊥ ДВ.

 Доказательство: По условию AM — биссектриса угла ДАК, тогда ∠1 = ∠2, но ∠2 = ∠5 (внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых a || в и секущей AM).

Значит, ∠1 = ∠5, следовательно, треугольник АДМ - равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По условию ДВ - биссектриса угла АДМ, тогда и ДВ - биссектриса равнобедренного треугольника АДМ, проведенная к основанию AM, следовательно, ДВ - высота равнобедренного треугольника АДМ, поэтому ДВ ⊥ АМ.

3. Устно по готовому чертежу на доске (см. рис. 3) решить № 220.

 Решение:

Пусть при пересечении двух прямых а ив секущей накрест лежащие углы 1 и 2 не равны: ∠1 ≠ ∠2. Предположим, что прямые а и в параллельны. Тогда согласно свойству параллельных прямых ∠1 = ∠2, что противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно и прямые а и в пересекаются.

4. Решить задачу № 221.

Решение: Пусть О и Д — середины сторон АС и АВ. Треугольники АОМ и СОВ равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ОС, ВО = ОМ, ∠АОМ = ∠СОВ), поэтому ∠АОМ = ∠СВО, значит, AM || ВС. Аналогично ΔANД = ΔВСД, и, значит, AN || ВС. Итак, через точку А можно провести только одну прямую, параллельную ВС. Следовательно, прямые AM и AN совпадают, то есть точки М, А и N лежат на одной прямой.

 III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить изученный материал пунктов 24-29; ответить на вопросы 1-15 на с. 68 учебника; подготовиться к устному опросу; решить задачи № 203 (a), 208, 211 (a).

Скачано с www.znanio.ru