Текстовые задачи на уроках избранных вопросов математики

Задачи как средство воспитания интереса. Роль задач в обучении математике очень разнообразна и сложна, решение задач является   и   средством,   и   результатом   обучения.   Задачи   используются   и   для мотивации изучения того или другого раздела, и для выработки навыков вычислений и преобразований, и для развития мышления и пространственного воображения, и для показа применения знаний, и для других целей, среди которых важное место занимает использование задач для воспитания интереса к изучению математики. В   соответствии   с   указанными   дидактическими   целями   задачи   можно подразделить   на   абстрактные   (тренировочные)   и   конкретные   (показывающие применение   знаний),   на   стандартные   (решаемые   по   образцу)   и   нестандартные (требующие поиска решения). Выполняя задание, необходимо соблюдать следующие требования: 1. подобранные задачи должны быть разнообразными по способам решения;  2. тематика задач должна быть разнообразной, т.е. относится к разным областям человеческой деятельности;  3. желательно, чтобы конкретные задачи были составлены на местном материале;  4. оригинальные   задачи,   задачи­шутки,   исторические   задачи   должны   отвечать учебным целям, т.е. должны быть связаны с изучаемой темой.  Из истории использования текстовых задач в России В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек   Древнего   Вавилона   и   других   древних   письменных   источников,   то   есть имеет   родственные   корни.   С   другой   —   пристальное   внимание   обучающих   к текстовым задачам, которое было характерно для России, — почти исключительно российский феномен.  Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями.   Первоначально   обучение   математике   велось   по   образцам.   Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило».  Подтверждением тому служит фрагмент из книги И. Бёшенштейна (1514 г.), в котором сначала дается «определение» тройного правила, формулируется правило, потом приводится задача и рецепт ее решения по правилу.  «Тройным   правилом   называется   regula   magistralis,   или   regula   aurea   (т.   е. магистерское правило, или золотое правило), с помощью которого совершаются все торговые   расчеты   всех   ремесленников   и   купцов;   оно   называется   в   гражданском обиходе de try или de tree, ибо содержит в себе три величины, при помощи которых можно вычислить все.  …   Заметь   еще   числа,   стоящие   сзади   и   спереди.   Надо   стоящее   сзади   число помножить на среднее и разделить на переднее». Далее то же правило дано в зарифмованном виде и приведен пример на его применение:  Я купил 100 фунтов шерсти за 7 гульденов. Что стоят 29 фунтов?                                фунты                                 100                       7 Помножь 29 на 7, затем раздели на 100, что получится и будет стоимостью 29               гульдены              фунты                                  29 фунтов [1, с. 11].  Это   была   обычная   практика.   По­другому   в   те   времена   учить   не   умели.   Не случайно в «Арифметике»  Л.Ф. Магницкого  (1703 г.), вобравшей в себя переводы лучших иностранных авторов того времени, мы находим аналогично построенный учебный текст. Обучение «по правилам» было обычным и для России. Желая описать методику   обучения   решению   задач   времен   Л.Ф.   Магницкого,   сошлемся   на  С.И. Шохор­Троцкого:  «Насколько   преизобиловали   правилами   книги   по   арифметике   в старину — можно судить по весьма почтенному для своего времени труду Леонтия Магницкого... В книге первой... кроме множества правил о целых и дробных числах, изложены правила, называемые автором «подобными» (ныне называемые тройными)... автор   различает:   правило   тройное   в   целых,   правило   тройное   в   долях,   правило тройное   сократительное,   правило   «возвратительное»   (обратно­пропорциональное), правило пятерное, правило «семиричное»..., а затем, в виде применения этих правил, предлагает   ряд   «статей»:   статью   тройную   торговую   («в   целых»   и   «в   долях»), тройную торговую о куплях и продажах, тройную торговую в товарных овощах и «с вывескою»   (то   есть   о   вычислении   тары   товара),   о   «прикупах»   и   о   «накладах», «вопросную» о тройном правиле, «вопросную же со времены», «деловую в тройном правиле», торговую «меновную в тройном правиле».  Далее   С.И.   Шохор­Троцкий   приводит   фрагмент   из   «Арифметики»   Л.Ф. Магницкого,   из   которого   видно,   что   рецептурный   стиль   изложения   материала, характерный   для   более   ранних   европейских   источников,   в   первом   российском учебнике   арифметики   еще   не   был   преодолен.   В   этом   фрагменте,   посвященном применению пятерного правила, сначала дается «определение» правила и пример на его применение (текст задачи здесь выделен курсивом), потом рецепт для получения ответа; в других случаях рекомендуется поступать так же. «Пятерное правило есть, егда случаются таковые сметы творити, яже не могут иным   чином   или   правилом   уразуметися,   токмо   через   сие   пятерное   или пятиперечневое, глаголется же и тройно­сугубое... понеже пять перечней [чисел — А. Ш.] в правиле поставляется, а шестый изобретается...: некто име сто рублев в купечестве един год, и приобрете ими токмо 7 рублей, и паки отдал в купечество 1000 рублев на 5 годов, колико ими приобрящет, и ты твори сице, поставив почину тройнаго правила:                                                            год                                           100 –––––– 1 –––––– 7 –––––– 1000 –––––– 5 И умножай два перечня иже от левыя руки между собою, также прочыя три иже к правой руке, такожде между собою порядком умножай, и произведение их раздели тем произведением еже от дву первых произведеся: яко же зде».                                              год О возможности использования задач такого рода в процессе обучения разговор еще впереди, а пока получим верный ответ, следуя правилу: (7∙1000∙5):(100∙1) = 350 (р.). В   давние   времена   обученным   считался   тот,   кто   умел   решать   задачи определенных типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и пр.). При этом учащие мало заботились о сознательном усвоении учениками того или иного способа действия. Считалось, что понимать­то едва ли нужно было. «Это ничего, что ты   ничего   не   понимаешь,  ты   и   впереди   также   многого   не   будешь   понимать»,  — утешал   бывало   наставник   своего   питомца,   и   вместо   понимания   рекомендовал   не заноситься, а выучить наизусть все, что задают, и потом стараться применить это к делу. Так в 1923 г. В. Беллюстин описывал старинную практику обучения решению текстовых задач.  Одна   из   причин   заключается   в   том,   что   исторически   долгое   время   целью обучения   детей   арифметике   было   освоение   ими   определенным   кругом вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия   арифметики   —   линия   числа   —   еще   не   была   разработана,   а   обучение вычислениям   велось   через   задачи.   В   «Арифметике»   Л.Ф.Магницкого,   например, дроби рассматривались как именованные числа (не просто 1/2, а 1/2 рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучались в процессе решения задач. Эта традиция сохранялась довольно   долго.   Даже   много   позже   встречались   задачи   с   неправдоподобными числовыми данными типа  «Продано 317/19  кг сахара по 21/17  рубля за килограмм…» или «Заяц в 1,35 часа пробегает 14,13855 км…», которые были вызваны к жизни не потребностями   практики,   а   потребностями   обучения   вычислениям.   Упомянутые традиции   обучения   вычислениям   через   задачи,   на   наш   взгляд,   сказываются   на обучении математике до сих пор. Как, например, в самых массовых учебниках для 5 классов «доказывается» равенство 2:3 =  2/3? Очень просто — берут два яблока и делят каждое из них на три равные части.  Вторая   причина   повышенного   внимания   к   использованию   текстовых   задач   в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ   передачи   с   помощью   текстовых   задач   математических   знаний   и   приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения,   связанные   с   анализом   текста,   выделением   условий   задачи   и   главного вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых   можно   получить   на   него   ответ,   проверкой   полученного   результата. Немаловажную роль играло также приучение школьников к переводу текста на язык арифметических   действий,   графических   образов. Использование   арифметических   способов   решения   задач   способствовало   общему развитию   учащихся,   развитию   не   только   логического,   но   и   образного   мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России, и им отводилось так много времени при обучении математике в школе.   неравенств,   уравнений, К середине XX века в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики этой методики обоснованно отмечали,   что   учителя,   стремясь   ускорить   процесс   обучения,   разучивали   с учащимися   способы   решения   типовых   задач,   как   бы   следуя   своим   давним предшественникам. Они считали также, что в процессе обучения решению текстовых задач школьников учили способам действий, которые не применяются или почти не применяются в жизни.  Например, из программы 5­6 классов задач исключили задачи на совместную работу ввиду их «нежизненности»! «Убийственный» аргумент критиков утрированно можно сформулировать в виде вопроса: «Где вы видели трактористов, которые не знают площади вспаханного ими поля, и должны решать задачу, чтобы определить время окончания работы?»  Здесь   очень   уместен   вопрос:   так   ли   были   глупы   китайцы,  дававшие   во  II   в. следующую задачу? Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного   моря   до   южного   моря   летит  9   дней.   Теперь   дикая   утка   и   дикий   гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся?  Вдумаемся!   Средства   связи   того   времени   не   позволяли   ни   осуществить одновременный старт утки и гуся, ни проконтролировать момент их встречи! Так почему китайцы давали решать во II в. своим детям такие задачи? Может быть, их интересовало не непосредственное приложение к практике полученного результата, а нечто иное — результат, оставляемый процессом мышления в голове ребенка?  Мы   вовсе   не   идеализируем   массовую   практику   обучения   решению   задач   в отечественной   школе.   Но   обращаем   внимание   на   то,   что   идеи,   заложенные   в методику   обучения,   возможности   этой   методики   и   практическая   реализация методики — не одно и то же. Вот как описывал И.В. Арнольд практику обучения решению задач, сложившуюся в нашей стране к середине 40­х годов: «Учеников — в том или ином порядке — знакомят с соответствующими «типами» задач, причем обучение решению задач сплошь и рядом сводится к рецептуре и «натаскиванию», к пассивному   запоминанию   учениками   небольшого   числа   стандартных   приемов решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или   ином   случае.   Количество   задач,   которые   ученики   решают   действительно самостоятельно, с тем напряжением мысли, которое и должно являться источником полезности процесса решения задачи, ничтожно. В итоге — полная беспомощность и неспособность ориентироваться в самых простых арифметических ситуациях, при решении чисто практических задач...». К середине 50­х годов XX в. текстовые задачи были хорошо систематизированы, методика   их   применения   в   учебном   процессе   разработана,   но   при   проведении реформы   математического   образования   конца   60­х   годов   отношение   к   ним изменилось.   Одним   из   аргументов   к   предлагаемым   изменениям   была   критика негодной практики обучения решению задач. Соавторы Н.Я. Виленкина по первому варианту   ныне   действующих   учебников   К.И.   Нешков   и   А.Д.   Семушин,   критикуя практику обучения решению задач до введения их учебника, совершенно справедливо задавались   вопросом:   «Разве   возможно   проявление   хотя   бы   незначительных элементов   сообразительности   при   решении   задач   по   заученной   схеме?»   Ответ напрашивался   сам   собой:   «Невозможно!»   Но   правда   заключается   в   том,   что правильная методика обучения и не требовала решать задачи по заученной схеме, т. е.  менять   надо   было   не   методику,   а  негодную   практику   ее   применения.   Вторым аргументом к изменениям был поиск резерва времени, необходимого для обновления содержания математического образования.  Пересматривая   роль   и   место   арифметики   в   системе   школьных   предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более раннего введения уравнений   и   функций,   математики   и   методисты­математики   посчитали,   что   на обучение   арифметическим   способам   решения   задач   тратится   слишком   много времени.  «Авторитетное» на этот счет мнение приведено в книге Н.А. Менчинской и М.И. Моро:   «Академики   С.Л.   Соболев,   А.Л.   Минц   и   другие   заявляют,   что   обучение математике   в   школах   проводится   вопреки   «правилам   оптимальной   стратегии»,   и основной недостаток состоит в том, что детей обучают арифметике, а в дальнейшем им   приходится   затрачивать   силы   «на   переучивание   абстрактному   мышлению   в алгебраических образах». Под наибольшим ударом, с этой точки зрения, оказываются именно   арифметические   задачи.   По   мнению   С.Л.   Соболева,   как   правило,   после овладения алгеброй тот же школьник уже не в состоянии решить прежнюю задачу арифметическими приемами. Зачем же тогда обманывать детей, а не приучать их к абстрактному мышлению с самого младшего класса».  Можно только сожалеть, что С.Л. Соболева и А.Л. Минца никто не спросил, как отвечать на детский вопрос «откуда берутся дети?» Надо ли «обманывать» детей, рассказывая им про аиста и капусту, а по мере взросления и готовности осознать сообщаемые   факты,   неторопливо   рассказывать   про   пестики   и   тычинки,   рыбок, бабочек  и   пр.?   Или,  согласно   «правилам   оптимальной   стратегии»,  надо  «честно» выложить крохе все как есть? Это вовсе не риторический вопрос, так как он касается накопления   жизненного   опыта   ребенка,   развития   его   мышления   и   способности   к правильному восприятию сообщаемого.  Если   же   вернуться   к   математике,  то   надо   отметить,  что   из   верной   посылки «после   овладения   алгеброй…»   С.Л.   Соболев   сделал   неверный   вывод,   так   как текстовые задачи и арифметические способы их решения как раз и готовят ребенка к овладению алгеброй. А когда это произойдет, то алгебра доставит ученику более простые,   чем   арифметические,   способы   решения   некоторых   (но   не   всех!)   задач. Другие же арифметические способы решения так и останутся в активном багаже ученика. Например, если ученика учили делить число в данном отношении, то он и в старших классах не будет делить число 15 в отношении 2:3 с помощью уравнения, он выполнит арифметические действия:  1) 15.2/(2 + 3) = 6,                2) 15 – 6 = 9. Наш опыт показывает, что учащиеся, обученные находить арифметически два числа по их сумме и разности или два числа по их отношению и сумме (или разности), с большим трудом переходят к решению тех же задач с помощью уравнения. Они не видят никакого выигрыша, какой доставлял бы им новый способ решения.  Вот   еще   один   пример  разумного   использования   учащимися   арифметического способа решения задачи. Шестому классу дано задание решить с помощью уравнения известную задачу из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого: Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 р. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал   ему   по   достоинству   расчет   5   р.  и   кафтан.   Спрашивается,  а   какой   цены   тот кафтан был? Алгебраическое решение задачи приводит к уравнению 7.(x + 12):12 = x + 5, где x  р.   —   стоимость   кафтана.   Ученица   6   класса   Аня   А.   предложила   вычислять стоимость одного месяца проще: работник не получил 12 – 5 = 7 (р.) за 12 – 7 = 5 (месяцев),  поэтому  за  один  месяц  ему  платили 7:5 = 1,4 (р.),  а  за 7  месяцев  он получил 71,4 = 9,8 (р.), тогда кафтан стоил 9,8 – 5 = 4,8 (р.). Есть   еще   один   момент,   который   невозможно   обойти,   когда   мы   говорим   о решении задач. Обучение и развитие ребенка во многом напоминает этапы развития человечества,   поэтому   использование   старинных   задач   и   разнообразных арифметических   способов   их   решения   позволяет   вести   обучение   математике   в историческом   контексте,   что   повышает   мотивацию   учения,   развивает   творческий потенциал детей. Кроме того, разнообразные способы решения будят их фантазию, позволяют организовывать поиск решения каждый раз новым способом, что создает благоприятный  эмоциональный  фон для обучения. Возьмем старинную китайскую задачу: В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.  Конечно,   следуя   «правилам   оптимальной   стратегии»,   можно   составить уравнение 4x + 2(35 – x) = 94, где x — число кроликов, и получить ответ задачи.  Но   если   мы   обучаем   детей   не   только   с   целью   получения   ответа,   если   нам небезразличны   эмоциональный   фон   обучения,   развитие   фантазии   детей   и   их способности   рассуждать,   то,   может   быть,   с   ними   полезно   провести   диалог, найденный нами у старых мастеров методики математики и вызывающий у детей живейшее участие в решении задачи (в скобках показаны действия, выполняемые для получения ответа на вопрос).  — Дети, представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?  — 70    (35·2 = 70).  — Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные? — Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов.  — Сколько их?  — 24    (94 – 70 = 24). — Сколько же кроликов? — 12    (24:2 = 12). — А фазанов?   — 23    (35 – 12 = 23).  Приведем   последний   пример,   показывающий   возможности   арифметических способов решения задач. На этот раз рассмотрим упрощенный вариант старинных китайских задач и задач из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона:  Мама раздала детям по четыре конфеты, и три конфеты остались лишними. А чтобы дать детям по пять конфет, двух конфет не хватает. Сколько было детей?  Здесь   тоже   можно   использовать   уравнение,   а   можно,   желая   развивать способности детей рассуждать, провести такой диалог. — Представим, что мама раздала детям по четыре конфеты. Сколько конфет у нее осталось?  — Три. —  Если   она   продолжит   раздавать   конфеты,  то   по   сколько   конфет   она   даст каждому?  — По одной (5 – 4 = 1). — Скольким детям хватит еще по одной конфете?  — Троим. — А скольким не хватит?  — Двоим.  — Сколько же было детей?  — Пять (3 + 2 = 5).   Очевидно, что не стоило отказываться от арифметических способов решения, если   они   стимулируют   учащихся   к   поиску   более   простых   решений,   если   с   их помощью   можно   создавать   разнообразные   ситуации,   развивающие   способности учащихся к рассуждениям. В то время как применение уравнений не дает такого разнообразия. Так что из верной посылки «после овладения алгеброй…» вовсе не следует,   что   арифметические   способы   решения   задач   были   излишни   в   обучении математике.  Так  или  иначе, но  в середине  XX  в. в  СССР  возобладал   узко  практический подход к использованию текстовых задач. Тогда считалось, что обучать детей нужно с учетом возможностей применения изученных способов действий на практике или в дальнейшем обучении. Отражение полемики тех лет о текстовых задачах находим у Ю.М. Колягина, который в настоящее время, конечно же, думает иначе, но тогда выразил   мнение,   преобладавшее   в   методических   кругах:   «Заметим,   что   старые традиции весьма живучи и способны к такой внешней трансформации, что иногда их трудно распознать. Отрицательная обучающая роль типовых арифметических задач признана   всеми.   Однако   не   уготована   ли   та   же   участь   задачам   на   составление уравнения?».   Волнения   о   задачах,   решаемых   с   помощью   уравнений,   оказались преждевременными,   но   роль   алгебраического   способа   решения   задач   в   учебном процессе   в   последующие   годы   была   явно   преувеличена   именно   потому,   что   из школьной практики были удалены арифметические способы их решения.  Традиционные для российской школы арифметические способы решения задач посчитали   анахронизмом   и   перешли   к   раннему   использованию   уравнений.   Такой подход казался, видимо, более современным и научным. Методистов­математиков почему­то волновало не влияние работы с задачами на развитие мышления и речи обучаемых,   на   развитие   их   смекалки   и   сообразительности   (этот   момент   был поставлен под сомнение), а формирование в процессе работы с типовыми задачами «таких умений и навыков, которые в дальнейшем почти не находят практических приложений;   отсутствие   в   школьном   курсе   математики   задач,   решение   которых могло   бы  подготовить   школьника  к  деятельности, характерной  для  современного производства: наладке, управлению, контролю, регулированию, рационализации и т. п.». Такое   упрощенное   понимание   роли   и   места   задач   в   школьной   математике (добавим   сюда   еще   веру   во   влияние   фабулы   задач   на   воспитание   учащихся) преобладало долгие годы. У этого подхода и теперь много сторонников — у нас в России и за рубежом. К их аргументам и задачам мы еще вернемся во второй лекции. Один из авторов первого варианта учебников Н.Я. Виленкина и др. К.И. Нешков писал: «Даже  та исключительная роль «развития сообразительности  и смекалки», которая   приписывалась   арифметическим   задачам,   оказалась   преувеличенной.   В результате   анализа   «сообразительности   и   смекалки»   и   выделения   их   составных частей  оказалось, что  с  этой  ролью  могут  справиться  не только  арифметические задачи. На один из первых планов А.И. Маркушевич выдвинул изучение понятий «множества» и «соотношения».  Не   будем   напоминать,   как   школа   пережила   внедрение   «множеств»   и «соотношений»   —   от   этой   идеи   вскоре   пришлось   отказаться,   а   вот   отказ   от разумного использования прежней методики работы с текстовыми задачами ничем не компенсировали.  Опытные   учителя   уже   тогда   говорили,  что   теперь   пострадает   и геометрия,   задачи   которой   чаще   всего   формулируются   в   виде   текста,   а   для   их решения нужны умения, формировавшиеся раньше при разумном обучении решению текстовых задач.  Пострадала не только геометрия. Можно смело утверждать, что от изменения отношения к текстовым задачам качество школьного математического образования ухудшилось. Насаждение алгебраического способа решения текстовых задач велось вопреки   программе   по   математике,   в   которой   предусматривались   не   только ознакомление   учащихся   с   различными   способами   решения   задач,   но   и   выбор учащимися подходящего способа решения задач. Так было на бумаге (в программе 1971/72   учебного   года),   а   на   деле   отношение   к   задачам   определяли   авторы единственного в то время учебника математики для 4­5 (5­6) классов. Даже через двадцать лет после начала реформы Н.Я. Виленкин писал: «Следует отказаться от многих разделов, сохраняющихся в школьном курсе математики лишь по традиции. Здесь   придется   ломать   сопротивление   тех   методистов,   которые   и   по   сей   день восхваляют решение задач арифметическим способом...». Насколько   противоестественным   для   процесса   обучения   и   развития   детей оказалось   раннее   использование   уравнений,   можно   судить   даже   по   методической аранжировке самых обычных задач. Вот две задачи, взятые из книг для учителей начальной школы. Было несколько яблок, 4 яблока съели, 3 осталось, сколько было яблок?  Решая ее, мы составили такое уравнение: x = 4 + 3.  Маша   сказала:   «Я   своим   трем   подругам   раздала   18   конфет,   всем   поровну. Угадайте, по скольку конфет я дала каждой».  Как записать условие этой задачи с помощью буквы x и как найти число x?  Аналогичное   указание   «Решите   с   помощью   уравнения   задачу»   находим   в учебнике Н.Я. Виленкина.  В   корзине   было   несколько   грибов.   После   того,   как   в   нее   положили   еще   27 грибов, их стало 75. Сколько грибов было в корзине?  Совершенно очевидно, что использование уравнений при решении задач такого типа   противоестественно   и   не   способствует   развитию   представлений   учащихся   о применении четырех арифметических действий и уяснению взаимосвязи между ними. Более   того,   такая   методика   искусственно   разделяет   прямые   и   обратные арифметические   операции:   учащихся   учат   применять   сложение   и   умножение, действуя   непосредственно   с   известными   величинами   или   составляя   уравнения,   а обратные операции — при решении этих уравнений.  Тем не менее «метод уравнений» на долгие годы стал единственным известным учащимся методом решения текстовых задач. Это привело к тому, что учащиеся не получали   должного   развития   речи,   умения   анализировать   текст   задачи,   ставить вопросы, отвечать на них, то есть они были лишены возможности лучше усвоить естественный   язык   —   язык   не   только   общения,   но   и   обучения.   Они   не   учились различать разнообразные типы взаимосвязей известных и неизвестных величин, вести поиск   решения   задачи,   отталкиваясь   от   условий   задачи   или   от   поставленного вопроса. Они получили один единственный способ для решения разнообразных задач, который никак не могут освоить до сих пор.  Как   рассказала   нам   коллега,   в   группе   отстающих   школьников   ее   попросили однажды: «Научите нас, пожалуйста, решать задачи «на пусть» — так дети назвали задачи, решение которых начинается фразой «пусть х ...». Теперь учителя разучивают со   школьниками   практически   единственный   способ   решения   задач   (с   помощью уравнения), но результаты обучения от этого не стали лучше. Более того, теперь не только учителя не помнят, как надо наиболее эффективно для развития детей учить их решать задачи, но даже нашелся автор учебного комплекта по математике для 5­6 классов, который не знает, как без уравнений обучать детей решению задач. Вот как он   пишет   об   арифметических   способах   решения   задач:   «Обучение   решению текстовых задач в известных мне пособиях сводится к обучению тридцати шести уловкам   и   двадцати   четырем   уверткам.   Некоторые   из   них   весьма   остроумны   и чрезвычайно   полезны.   Но   никто   не   знает,   как   научить   выбирать   в   данной педагогической ситуации единственно нужную». Завершая разговор об использовании текстовых задач при обучении математике в   России,   о   разных   подходах   к   обучению   решению   задач   и   прошлых   реформах математического образования в России (тогда СССР), сошлемся на академика В.И. Арнольда,   который,   сравнивая   традиционное   отечественное   преподавание математики   с   американским,   писал:   «Наше   традиционное   отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических   задач.   Еще   два   десятка   лет   в   семьях   сохранялись   старинные «купеческие»   задачи.   Теперь   это   утрачено.   Алгебраизация   последней   реформы преподавания   математики   превращает   школьников   в   автоматы.   А   именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим».  Примеры выполненных заданий Задача №1. Вес сосновой шпалы 27,8 кг, а лиственничной – 38,625 кг. Вес 10  доставленных шпал равен 321,3 кг. Сколько среди этих шпал сосновых и сколько  лиственничных?  Ответ: лиственничных 4, а сосновых 6 шпал. Задача №2. Пифагор (ХI в. до н.э.) на вопрос о числе его учеников ответил, по  преданию, так: “Половина учеников изучает математику, четверть ­ музыку, седьмая  часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины”. Сколько  учеников было у Пифагора? Ответ: 28 учеников. Задача №3. 12 человек несут 12 хлебов. Каждый мужчина несет по 2 хлеба,  женщина­ 0,5 хлеба, ребенок ­ по 0,25 хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей? Решение Мужчин было менее 6, так как, если бы их было 6, то не нужно было загружать  женщин и детей. Но их было больше 4, так как если бы их было 4, то они унесли бы 8  хлебов, а оставшиеся 4 хлеба пришлось бы на 8 человек по 0,25 на каждого, т.е. 8  оставшихся были бы женщинами, тогда как часть хлеба несли дети. Таким образом,  мужчин было 5 и они несли 10 хлебов. Оставшиеся 2 хлеба несли женщины и дети,  всего 7 человек. Пусть женщин было х, тогда детей 7­х. Женщины несли 0,5х хлебов,  а дети 0,25(7­х), всего они унесли  0,5х + 0,25(7­х) = 2 0,25 х + 1,3/4 = 2; 0,25х = 0,25;  Х = 1 Ответ: мужчин было 5, женщин – 1 и детей – 6. Задача №4. Из трактата “Цзю ­ чжан” (“десять отделов искусства счета” ­  древнейший китайский математический трактат, составленный до новой эры). Бамбуковая трость в 10 футов вышины надломлена. Если пригнуть верхнюю  часть к земле, то вершина трости будет отстоять от корня на 3 фута. Какой длины  верхняя часть? Ответ: 5,45 фута. Разработка занятия кружка по математике "Решение нестандартных задач" Цели:   Обобщение и систематизация методов решения нестандартных задач.   Развитие познавательного интереса, мышления и творческой активности  учащихся.   Формирование у учащихся умения работать в группе, умения задавать  вопросы, воспитание усердия и трудолюбия.  Оборудование:   Карта острова   конверты с заданиями   плакат с изображением черепахи с загадочным рисунком  талисманы­черепашки   памятные медали.  Ход занятия: 1. Сегодня мы, преодолевая препятствия, помогая друг другу, должны подойти к вершине горы острова знаний, чтобы найти клад. Нашим пропуском к этому кладу должно послужить умение решать трудные задачи. А проверить, следить за вашими работами будет жюри из старшеклассников. Вы идете искать клад двумя командами. Сначала команды познакомьтесь друг с другом.  2. Наш путь начнется с проверки готовности преодолевать трудности. Для этого вы устно ответьте на такие вопросы: а) Найти 20% от 60. (12) в) Как записать общий вид нечетных чисел? (2п­1) с) Общий вид чисел, делящихся на 5 с остатком 2. (5п+2) г) Если сумма двух чисел 40, как записать общий вид этих чисел? (х, 40­х) ___ д) Как записать трехзначное число в позиционной десятичной системе?  (авс) е) Какое число является делителем всех натуральных чисел? (1) ж) Число а увеличили на 30 процентов, какое число получили? (1,3а) Тест   проверки   готовности   прошли.   Мы   готовы   преодолеть   все   трудности встречающиеся в нашем пути. 3.   Перед   нами   раскинулось   широкое   море.   Переплывете   это   море,   если   решите задачу: Задача: Катер по течению плывет некоторое расстояние за 6 дней, против течения это расстояние за 10 дней. За сколько дней проплывет плот это расстояние? (30 дней) Одна из команд первой решила задачу, помогла всем переплыть море. 4. Теперь вы стоите на берегу острова Знаний. Жители этого острова рассказали нам о том, что 4000 лет назад китайский император Ио на берегу реки нашел черепаху с загадочным рисунком. Мудрый император сразу понял суть рисунка. Сумма чисел по строке, по столбцу и по диагонали равны. Такие квадраты применяли в заклинании. В Европе   эти   квадраты   назвали   магическими,  и   они   служили   талисманом.  Если   вы решите   задачу   жителей   острова,  аборигены   вручат   талисман­разрешение   посетить остров. Найти неизвестные числа магического квадрата: а)  2 6 5 4   в) 8 4 5 6 За правильное решение всем вручается талисман­черепашка. 5. Долгий путь вас утомил, вы проголодались. На этом острове есть волшебное озеро, которое дарит рыбу тем, кто решит задачу.  Задача: Если каждый день съесть 0,2 всех имеющихся рыб, то через два дня, сколько процентов рыб останется? (64%) 6.   Отдохнули,   наелись   рыбы   досыта.   Теперь   поборемся   между   собой.   Команды задают друг другу вопросы, подготовленные дома ( творческие домашние задания). 7. К нам пришел старейшина острова ­ мудрый Всезнайка. Входит в класс переодетый в белое, с белой бородой учитель математики: Здравствуйте,   дети!   Я   вижу,   что   сегодня   ко   мне   пришли   очень   смелые   и трудолюбивые дети. Если вы решите задачи, то я вам укажу путь к горе мудрости. I задача: Сумма пяти чисел четное число. Можно ли сказать, что среди этих пяти чисел есть четное число? (Можно. Из пяти чисел или 1, или 3, или 5 четных чисел) II задача: Что длиннее, если положить в один ряд на расстоянии друг от друга в два шага 8 камней или 15 камней на расстоянии один шаг? (эти расстояния равны) III задача: Лодка плывет от южного берега этого острова до северного 6 часов. А от северного берега до южного ­ 8 часов. Если каждый час от южного и от северного берегов   выйдет   по   одной   лодке,  то   сколько   лодок   встретит   лодка,  плывущая   от северного берега? (11 лодок) Все мои задания вы решили верно. Теперь я убедился, что вы не только смелые и трудолюбивые,   но   и   смекалистые.   Желаю   вам   дойти   до   горы   и   преодолеть последнюю трудность. Успеха вам! 8. Получив благословение главы острова знаний, вы поднимаетесь в гору. Перед вами хранитель клада сердитый дракон (переодетый старшеклассник): Очень долго я храню этот клад. Если вы пришли за кладом, то знайте, клад дается только достойным. Мое задание: Двадцать минут назад, два часа прошло в два раза больше, чем время до четырех часов. Сколько времени сейчас? (3ч40мин) Очень верно решили. Вы достойны моего клада. Я даю вам клад. Лидеры групп открывают шкатулку, там шоколадные монетки и памятные бумажные медали. 9.   Слово   дается   магистру   математики,   следившему   за   упорным   трудом путешественников: ­Ребята, вы сегодня, преодолевая трудности в пути, добились поставленной цели. Вам помогли знания, упорство, трудолюбие и сплоченность. Затем   магистр   объявляет   баллы   команд   за   каждое   задание.   Делает   разбор   более трудных заданий. И вручает медали за первое и за второе места.  1. Велосипедист  должен был проехать весь путь с определенной скоростью за 2  Задачи по теме: «Движение» ч. Но он увеличил скорость на 3 км/ч, поэтому на весь путь затратил 1 ч.  2 3 Найдите длину пути. 2. Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определенной скоростью, намеченный путь он пройдет за 2,5 ч. Но он увеличил скорость на 1 км/ч, поэтому прошел путь за 2 ч. Найдите длину пути. 3. Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определенной скоростью, намеченный путь он пройдет за 1,2 ч. Но он увеличил скорость на 1 км/ч, поэтому прошел путь за 1 ч. Найдите длину пути. 4. Путь от А до В пешеход проходит за 2 ч. Если он увеличит скорость на 2 км/ч,  то уже за 1,8 ч он пройдет на 3 км больше, чем расстояние от А до В. Найдите  расстояние от А до В. 5. Из двух пунктов реки, расстояние между которыми равно 80 км, одновременно навстречу друг другу вышли две моторные лодки, собственные скорости  которых равны. Через 2 ч они встретились. Найдите собственную скорость  лодки, если скорость течения реки равна 4 км/ч. 6. Расстояние по реке между пунктами А и В равно 45 км. Одновременно  навстречу друг другу вышли две моторные лодки, собственные скорости  которых равны. Через 1,5 ч они встретились. Найдите собственную скорость  лодок, если скорость течения реки равна 3 км/ч. 7. Из двух пунктов реки, расстояние между которыми равно 36 км, навстречу  друг другу движутся две моторные лодки. Лодка, идущая по течению,  собственная скорость которой равна 18 км/ч, до встречи шла 0,5 ч, другая  лодка, собственная скорость которой равна 20 км/ч, до встречи шла 1,5 ч.  Найдите скорость течения реки. 8. Из двух пунктов реки одновременно навстречу друг другу вышли две моторные лодки. Через 1,2 ч они встретились. Собственная скорость лодки, которая шла  по течению реки, равна 18 км/ч, а лодки, которая шла против течения реки, 16  км/ч. До встречи одна лодка прошла на 9,6 км больше другой. Найдите  скорость течения реки. 9. Катер на подводных крыльях прошел по течению реки за 2 ч такое же  расстояние, какое он проходит за 2 ч 15 мин против течения. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите собственную скорость катера. 10.Из Москвы в Ленинград отправился пассажирский поезд, скорость которого  равна 80 км/ч. Спустя 20 мин из Ленинграда в Москву отправился скорый  поезд, скорость которого равна 90 км/ч. Через сколько часов после выхода поезда из Москвы произойдет встреча, если считать расстояние от Москвы до  Ленинграда равным 650 км? 11.Из пункта А в пункт В вышел товарный поезд. Спустя 3 ч вслед за ним вышел  пассажирский поезд, скорость. которого на 30 км/ч больше скорости  товарного. Через 15 ч после своего выхода пассажирский поезд, обогнав  товарный, находился от него на расстоянии 300 км. Найдите скорость  товарного поезда. 12.Из города А в город В выехал велосипедист. После того как велосипедист  проехал 18 км, из города А вслед за ним выехал мотоциклист, который прибыл  в В на 0,3 ч позже велосипедиста. Каково расстояние между городами, если  скорость велосипедиста равна 10 км/ч, а скорость мотоциклиста равна 40 км/ч? 13.Половину пути мотоциклист ехал с намеченной скоростью 45 км/ч, затем  задержался на 10 мин, а поэтому, чтобы наверстать потерянное время, он  увеличил скорость на 15 км/ч. Каков весь путь мотоциклиста? 14.Расстояние между двумя пунктами поезд проходит по расписанию с  намеченной скоростью за 5 ч. Через 3 ч после отправления он был задержан в  пути на 15 мин. Поэтому, чтобы прибыть на станцию назначения вовремя, поезд увеличил скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда. 15.Расстояние между двумя пунктами автомобиль должен был пройти за 3ч.  Первые 2 ч он ехал с намеченной скоростью, а затем увеличил ее на 10 км/ч и  поэтому в конечный пункт приехал на 12 мин раньше, чем предполагал.  Найдите первоначальную скорость автомобиля. 16.Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 190 км, выехал  автобус, а через 1 ч вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость  которого в 1,5 раза больше скорости автобуса. Найдите скорость автобуса,  если известно, что он прибыл в пункт В на 40 мин позже легкового автомобиля. 17.Муравьишка был в гостях в соседнем муравейнике. Туда он шел пешком, а  обратно ехал: первую половину пути он ехал на Гусенице – в 2 раза медленнее,  чем шел пешком, а вторую половину пути он ехал на Кузнечике – в 5 раз  быстрее, чем пешком. На какой путь Муравьишка затратил времени меньше: в  гости или обратно? Задачи по теме: «Производство, работа» 18.По плану тракторная бригада должна была вспахать поле за 14 дней. Бригада  вспахивала ежедневно на 5 га больше, чем намечалось по плану, и потому  закончила пахоту за 12 дней. Сколько гектаров ­ было вспахано? Найдите  площадь поля. 19.Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод  выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана, а поэтому выполнил заказ за 18  дней. Сколько машин выпустил завод? 20.Колхоз должен был закончить сен за 5 дней. Колхозники засевали в день на 20  га больше, чем предполагалось по плану, а поэтому закончили сен за 4 дня.  Сколько гектаров должен был засеять колхоз? 21.Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но уже за 18  дней завод перевыполнил план на 6 машин, так как ежедневно выпускал по 3  машины сверх плана. Сколько машин выпустил завод? 22.Бригада рабочих должна была выполнить заказ за 5 дней. Ежедневно  перевыполняя норму на 18 деталей, она за 3,5 дня работы не только выполнила  задание, но изготовила 7 деталей сверх плана. Сколько деталей изготовила  бригада? 23.В трех цехах завода работает 650 человек. Во втором цехе рабочих в 4 раза  больше, чем в первом, а в третьем — столько, сколько в двух первых цехах  вместе. Сколько рабочих работает в каждом цехе? 24.Три цеха изготовили 2648 деталей. Второй цех изготовил деталей в 3 раза  больше, чем третий, а первый — столько, сколько второй и третий вместе.  Сколько деталей изготовил каждый цех? 25.Двое  рабочих различной квалификации получили за работу 436 р. Первый  работал 30 дней, второй — 28 дней. Сколько рублей за день причитается  первому рабочему, если он за 8 дней получил на 22 р. больше, чем второй  рабочий за б дней? 26.Марина с Олей взялись приготовить пирожное “Корзиночка”. Они взяли 1  часть сахара, 1 часть маргарина, 2 части муки, 1,5 части повидла. Сколько  грамм потребуется в отдельности сахара, маргарина, муки, повидла на  приготовление пирожного, если при замесе теста получилось 1100 грамм.  27.Трое изобретателей получили за свое изобретение премию в размере 1410 р.,  причем второй получил 1/3 того, что получил первый, и еще 60 р., а третий  получил 1/3 денег второго и еще 30 р. Какую премию получил каждый? 28.Машинистка должна была напечатать за определенное время 200 страниц.  Печатая в день на 5 страниц больше, она завершила работу на 2 дня раньше  срока. Сколько страниц в день печатала машинистка? 29.Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 ч. Если первый мастер будет работать 9 ч, а потом его сменит второй, то он закончит работу через 4 ч. За сколько времени может выполнить заказ каждый из мастеров, работая  отдельно? 30.Два трактора израсходовали 234 л горючего, причем первый расходовал в час  на 0,5 л меньше, чем второй, а работал на 1,5 ч больше. Сколько горючего в час расходовал каждый трактор, если они израсходовали горючего поровну? 31.Одним и тем же количеством сена можно прокормить одну корову в течение 60 дней, а одну лошадь – в течение 36 дней. На сколько дней хватит этого сена  для коровы и лошади вместе при той же дневной норме? 32.Две  бригады лесорубов заготовили в январе 900 м3 древесины. В феврале  первая бригада заготовила на 15%, а вторая — на 12% больше, чем в январе. Известно, что в феврале они заготовили 1020 м3 древесины. Сколько  кубических метров древесины заготовила каждая бригада в январе? 33.Колхоз ежегодно с двух участков собирал 500 т пшеницы. После проведения  агротехнических мероприятий урожай на первом участке увеличился на 30%, а на втором — на 20%. Поэтому колхоз собрал с этих участков 630 т пшеницы.  Сколько пшеницы собирал колхоз с каждого участка до проведения  агротехнических мероприятий? Задачи по теме: «Проценты» 34.На сколько процентов изменилась цена, если она: 35.а) была 100 р., а стала 250 р.; 36.б) была 100 р., а стала 120 р.? 37.В магазине цены были сначала повышены на 10 %, а потом снижены на 10 %.  Как изменились цены? 38.На сколько процентов новая цена меньше старой и на сколько процентов  старая цена больше новой, если: 39.а) цена снижена наполовину; 40.б) цена повышена наполовину; 41.в) цена увеличена в 4 раза; 42.г) цена уменьшена в З раза? 43.Фирма платит рекламным агентам 5 % от стоимости заказа. На какую сумму  надо найти заказ, чтобы заработать 1000 р.? 44.Предприниматель покупает кондитерские изделия по оптовой цене 96 рублей и продает их в розницу с надбавкой в 30 %. Какова розничная цена? 45.Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за прибылью он  увеличил цену на билеты на 25 %. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На  сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она  стала первоначальной? 46.После уплаты всех налогов, которые в сумме составили 30 % от дохода,  предприниматель оставил себе на законном основании 35000 р. Какова была  величина чистого дохода предпринимателя? 47.Определите, какую массу картофеля (сырья) нужно взять для получения 120 кг полуфабриката, если потери при холодной обработке составляют 20 % массы  сырья. 48.В магазине цену на товар снизили с 400 р. до 360 р. На. сколько процентов  снижена цена? 49.В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала  уменьшили на 10 %, а затем увеличили на 10%.Количество воды во второй  бочке сначала увеличили на 10%, а затем уменьшили на 10 %. В какой бочке  стало больше воды? 50.Зарплату рабочему повысили на 10 %, а через год еще на 20 %. На сколько  процентов повысилась зарплата по сравнению с первоначальной? 51.Производительность труда на заводе снизилась на 20 %. На сколько процентов  надо ее теперь повысить, чтобы достигнуть первоначальной? 52.Цена товара была повышена на 12 %. На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную? 53.Определите первоначальную стоимость продукта, если после подорожания на  120 %, 200 % и 100 % его конечная стоимость составила 264 р. 54.После реконструкции завод увеличил выпуск продукции на 30%. Спустя  некоторое время выпуск продукции увеличился на 10 %, а после замены  оборудование еще на 15 %. На сколько процентов увеличился первоначальный  выпуск продукции? 55.Комиссионный магазин продал сданную на продажу вещь со скидкой 12 % от  первоначально назначенной цены и получил при этом 10 % прибыли. Сколько  процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин? 56.Два магазина торгуют одним и тем же товаром. В первом из них цены на 10 %  ниже, но и количество проданных изделий в день на 10 % больше. В каком из  этих магазинов выручка за день больше? 57.На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350р. уценили на  40 %, а через неделю еще на 5 %. В другом магазине шарф такой же стоимости  уценили сразу на 45 %. В каком магазине выгоднее купить шарф? 58.На сезонной распродаже в марте месяце зимние сапоги можно купить за 1875  р., скидка на них составила 25 % от первоначальной стоимости. Через месяц  сапоги подешевели еще на 20 %. Сколько денег сэкономит человек от  первоначальной стоимости сапог, если купит их в апреле? 59.Занятия ребенка в танцевальном кружке родители оплачивают в сбербанке,  внося ежемесячно 350 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого  месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 5  % от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить  родителям, если они просрочат оплату на две недели? 60.Арендатор отдела в магазине забыл вовремя оплатить аренду за место.  Определите размер пени за каждый просроченный день, если за 20 дней  просрочки сумма платежа увеличилась с 10 до 14 тыс. р. 61.Какой должен быть первоначальный капитал, чтобы при начислении 5 % в  месяц получить через полгода 10 тыс. р.? 62.Какой должна быть процентная ставка в банке, чтобы каждые три года капитал увеличивался в четыре раза? 63.За каждый из девяти первых месяцев года цены вырастали на 25 %, а за каждые из трех следующих месяцев на х %. Найдите х, если в целом за год цены  выросли в восемь раз. 64.Банк «Винни­Пух и Пятачок» начисляет своим вкладчикам по 10 %  ежемесячно. Иа сделал вклад в этот банк в размере 1,00 $. Сколько денег он  может снять со своего счета через два месяца? Задачи по теме: «Смеси и сплавы» 65.Сколько граммов воды можно выпарить из 80 г 6 %­го раствора соли, чтобы  получить раствор, содержащий 10 % соли? 66.Имеется два кислотных раствора: один 20 %, другой 30 %. Взяли 0,5 л первого  и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация  кислоты в новом растворе? 67.Смешали 300 г 50 %­го и 100 г 30 %­го раствора кислоты. Определите  процентное содержание кислоты в полученной смеси. 68.Сколько чистой воды надо добавить к 300 г морской воды, содержащей 4 %  соли, чтобы получить воду, содержащую 3 % соли? 69.Имеется два сосуда, содержащие 4 кг и 6  кг раствора кислоты различной  концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 35 %  кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получим раствор,  содержащий 36 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в  каждом растворе? 70.Имеются два раствора серной кислоты в воде, первый 40 %­й, второй — 60 %­ й. Эти растворы смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили 20  %­й раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 80 %­го  раствора, то получили бы 70 %­й раствор. Определите количество 40 %­го и 60 %­го раствора. 71.Имеются две смеси апельсинового и ананасового соков. Первая смесь  содержит 40 % апельсинового сока, а вторая — 80 %. Сливаются р л первой  смеси и л второй, в результате получается 20 л смеси, содержащей 70 %  апельсинового сока. Определите р и q. 72.Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8 % соли,  чтобы получить 5 % раствор? 73.Сколько граммов 30 %­го раствора надо добавить к 80 г 12 %­го раствора этой же соли, чтобы получить 20 %­й раствор соли? 74.Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г,  содержит 20 % олова. Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько  процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков? 75.Имеется два куска сплава олова и Свинца, содержащие 60 % и 40% олова. По  сколько граммов от каждого куска надо взять, чтобы получить 600 г сплава,  содержащего 45 % олова? 76.Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45 % меди. Сколько  килограммов меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый  сплав содержал 60 % меди? 77.Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащей 45 %  меди. Сколько килограммов олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40 % меди? 78.Два  слитка, один из которых содержит 35 % серебра, а другой 65%, сплавляют и получают слиток массой 30 г, содержащий 47% серебра. Какова масса  каждого из этих слитков? Задачи по теме: «Геометрия» 79.Периметр треугольника равен 11 см. Одна сторона в 2 раза меньше другой и на  З см меньше третьей. Найдите меньшую сторону треугольника. 80.В треугольнике первый угол в 2 раза больше второго и на 20° меньше третьего.  Найдите больший угол треугольника. Сумма катетов треугольника равна 7 см,  а один катет больше другого на 1 см. Найдите площадь треугольника. 81.Сумма двух сторон прямоугольника равна 13 см, а одна из этих сторон больше  другой на 3 см. Найдите площадь прямоугольника. 82.Сумма двух углов треугольника равна 80°, а один из этих углов больше другого на 60°. Найдите углы треугольника. 83.Сумма двух углов треугольника равна 130°, а один из этих углов меньше  другого на 70°. Найдите углы треугольника 84.Площадь квадрата на 12 м2 меньше площади прямоугольника. Одна из сторон  прямоугольника на 6 м больше, а другая на 3 м меньше стороны квадрата.  Найдите стороны прямоугольника. 85.Площадь участка, имеющего форму квадрата, на 550 м2 больше площади  участка прямоугольной формы. Длина участка прямоугольной формы на 10 м  больше, а ширина на 15 м меньше стороны участка, имеющего форму квадрата.  Найдите длину и ширину участка прямоугольной формы. 86.Каждую сторону квадрата увеличили на 20 %. На сколько процентов  увеличилась площадь квадрата? 87.На сколько процентов увеличится объем куба, если его ребро увеличить на 10  %. 88.Длину  прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо  увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась? 89.Ширина прямоугольника в 2 раза короче его длины. Если длину  прямоугольника увеличить на 36 см, а ширину – на 48 см, то ширина составит  2/3 длины. Определить стороны прямоугольника. 90.Длина средней по величине стороны треугольника равна полусумме длин  большей и меньшей сторон, а удвоенная большая сторона на 3 см больше  суммы двух других сторон. Определить стороны треугольника, если его  периметр равен 42 см. 91.Для сада выделен прямоугольный участок земли определенной площади. Длина изгороди, которой будет обнесен сад, окажется меньшей, если прямоугольный  участок заменить квадратным той же площади. Для этого надо длину участка  уменьшить на 40 м, а ширину увеличить на 30 м. Какова длина и ширина  выделенного участка? 92.Длина садового участка на 10 м. больше его ширины. Его площадь решили  увеличить на 400 кв.м. Для этого длину увеличили на 10м., а ширину – на 2м.  Найдите площадь нового участка. 93.Для школьной площадки выделен прямоугольный участок земли определенной  площади. Если его заменить квадратным участком той же площади, то  потребуется меньше материала для его огораживания. Для этого надо длину  участка уменьшить на 12 м, а ширину увеличить на 10 м. Чему равна сторона  квадратного участка? 94.Зрительный зал клуба имел форму прямоугольника длиной 24,8м. Длину зала  увеличили на 2м. за счет подсобных помещений, и тогда площадь увеличилась  на 20 кв.м. Найдите первоначальную площадь зала. Задачи по разным темам 95.В трех поселках 6000 жителей. Во втором поселке вдвое больше жителей, чем  в первом, а в третьем — на 400 жителей меньше, чем во втором. Сколько  жителей во втором поселке? 96.В первом цехе завода рабочих в 1,5 раза больше, чем во втором, во втором —  на 200 человек больше, чем в третьем. Всего рабочих в первом и третьем цехах  вместе 800 человек. Сколько рабочих в третьем цехе? 97.В трех цехах завода работает 650 человек. Во втором цехе рабочих в 4 раза  больше, чем в первом, а в третьем — столько, сколько в двух первых цехах  вместе. Сколько рабочих работает в каждом цехе? 98.Три цеха изготовили 2648 деталей. Второй цех изготовил деталей в 3 раза  больше, чем третий, а первый — столько, сколько второй и третий вместе.  Сколько деталей изготовил каждый цех? 99.На первой и второй полках лежало вместе 90 книг, а на первой и третьей  полках лежало вместе 75 книг. На сколько больше книг лежало на второй  полке, чем на третьей? 100. На соревнованиях по картингу по кольцевой трассе один из картов  проходил круг на 5 мин медленнее другого и через час отстал от него ровно на  круг. За сколько минут каждый карт проходил круг? 101. Сумма лет трех братьев равна 45. Пять лет назад число лет старшего  брата равнялось сумме лет остальных братьев, а через 7 лет лета среднего  брата будут составлять ½ суммы лет остальных братьев. Сколько лет каждому  из братьев? 102. Два товарища купили за 480 руб. радиоприемник, и при этом один из них  отдал все свои деньги, а другой ­ только ¾ своих денег. Если бы первый дал ¾  своих денег, а второй – все свои деньги, то для уплаты за приемник не хватало  бы 15 руб. Сколько денег было у каждого? 103. Турист проехал расстояние между двумя городами за 3 дня. В первый  день он проехал 1/5 всего пути и еще 60 км, во второй ¼ всего пути и еще 20  км и в третий день 23/80 всего пути и оставшиеся 25 км. Найти расстояние  между городами. 104. В двух школах поселка было 1500 учащихся. Через год число учащихся  первой школы увеличилось на 10%, а второй – на 20%, и в результате общее  число учащихся стало равным 1720. Сколько учащихся было в каждой школе  первоначально? 105. Имеется 9 слитков золота и 11 слитков серебра, их взвесили, вес как раз  совпал. Переложили слиток золота и слиток серебра, золото стало легче на 13  ланов. Спрашивается, какой вес слитка золота и слитка серебра каждого в  отдельности?