Тема: Понятие выражения с параметром. Параметр как «временная» переменная. Область изменения параметров

Тема: Понятие выражения с параметром. Параметр как «временная» переменная. Область изменения параметров

Цель: осуществлять постепенную адаптацию учащихся к понятию параметра через осознание его как «временной» переменной, формировать умение решать задачи с параметрами, обогащать математическую культуру и развивать логическое мышление учащихся.

Ход занятия

I. Организационный этап

II. Актуализация опорных знаний

1. Повторение теоретических сведений

1) Какие уравнения называют однотипными?

2) Как можно обобщить однотипные уравнения?

3) Как называют неизвестную, отличную от переменной уравнения?

III. Изучение нового материала

Что же такое «временная» переменная или параметр в уравнениях и выражениях? Поговорим об этом подробнее.

Проанализируем обобщение однотипных уравнений из предыдущего урока.

x + xa = 90.

Решим его при a> 0:

х(1+а)=90,           

Это уравнение содержит множество уравнений, но их можно решить с помощью одного записанного уравнения, причем неизвестным в уравнении является x, а букву a мы назвали «временной» переменной, она при определенных условиях становится числом.

«Временную» переменную называют параметром.

В уравнениях параметр обозначают и другими буквами: m, n, p, k, b ...

Параметр (греческое слово «παραμετρων» - тот, что отмеряет) - это постоянная величина, значение которой служат для установления различия между элементами некоторого множества «переменных».

Числа, обозначенные буквами (значение которых не указано, но которые считают известными и заданными на некотором числовом множестве - области изменения параметров), входящие в уравнения (неравенства, системы уравнений, системы неравенств), кроме неизвестных величин, называют параметрами.

Выяснить, что такое «величина постоянная», что такое «величина переменная» и означает «решить задачу с параметром».

Если нагревать газ в закрытом сосуде, то масса газа будет величиной постоянной, а температура и давление газа - переменными.

Если нагревать газ, находящийся в сосуде, закрытом поршнем, который может свободно двигаться, то давление газа и его масса - постоянны, а температура и объем - переменные величины.

Нетрудно представить опыт, когда объем будет постоянным, а, например, значение давления в жидкости будет меняться.

Говорят, что величина является:

-                   постоянной, если она приобретает в этом рассмотрении одно и то же значение;

-                   переменной, если она приобретает в этом рассмотрении различные значения.

Решить задачу с параметром означает, что нужно указать в ответе семейство решений относительно неизвестной величины (неизвестные переменные) для всех возможных рассмотрений постоянных величин (параметров).

Свойства области изменения параметров

1. При решении задач с параметрами область изменения параметров может быть заданной. Если пределы изменения параметров не указаны, то считают, что параметр приобретает все свои допустимые значения.

2. Подчеркнем, что параметр в ответе должен «пробегать» всю числовую ось или все значения, указанные условием задачи.

IV. Закрепление новых знаний

1. При каком значении параметра a уравнение:

1) 3ax + 96=0 имеет корень x = 8;

2) 1- а/4х = - 1/2 имеет корень x = 2;

3) 4(а-3)х=72 имеет корень x = 6?

Ответ. 1) При a = -4; 2) при a = 3; 3) при a = 6.

2. При каком значении параметра m уравнения:

1) 2(x + 3) =36 и  x/3 + 2m=19;

2) (8 - х)7= 28 и 5(2x - 3m) =0;

3) (x/3 + 8)2m=48  и  будут иметь общий корень?

Ответ. 1) При m = 7; 2) при m = 2 2/3; 3) при m = 2.

3. При каких значениях параметра k уравнения:

1) x² = k;

2) |x| + k = 0

3) k + 2х = 2(х - 3) не имеют корней?

Ответ. 1) При k <0; 2) при k <0; 3) при k ≠ -6.

4. При каких значениях параметра a уравнение:

1) 2(х - 1) = 4 - х  и ах = х + а

2) (1 - а) х = х и х² = 0   равносильны?

Ответ. 1) При a = 2; 2) при любом значении a.

5. Выражение

равна 4 при x = - 1. Чему равно выражение при x = 5?

Решение. Находим значение параметра a:

С помощью равносильных преобразований получим:

-3+3а – 1+6 = 8, 3а = 6, а=2.

Следовательно, при x = 5 значение выражения равно

Ответ. 16.

6. Найдите значения параметров a и b, при которых пара чисел (-2;3) является решением системы уравнений

Ответ. При a = 9, b = 5.

V. Подведение итогов занятия

Фронтальная беседа

1. Что называют параметром?

2. Какими буквами обозначают параметры в уравнениях?

3. Что такое область определения параметра?

4. Назовите свойства области определения параметра в уравнении.

V. Домашнее задание

1. Проработать конспект в тетради.

2. Выполнить задания.

1) Покажите, что при любом значении a уравнение

(а+2)х – (а+3)х = 5

имеет один корень. Найдите этот корень.

2) При каких значениях параметра a уравнение ax = 12 не имеет корней?